Изменения

== 1 A* и его ограниченность ==Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>. Рассмотрим <tex>f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A\| \| x \| </tex>. Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^*</tex> и его ограниченность. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>. <tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.  {{Теорема|statement=Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| =\| A \| </tex>.}} == 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex> =={{Определение|definition=Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>. <tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>. Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>. }} {{Утверждение|statement=<tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.}} == 3 Ортогональное дополнение R(A) =={{Теорема|statement= <tex>A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A)= (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>. }} == 4 Ортогональное дополнение R(A*) =={{Теорема|statement= <tex>A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*)= (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>. }} == 5 Арифметика компактных операторов. =={{Определение|definition=Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно}}{{Определение|definition= 6 О компактности Линейный ограниченный оператор <tex>A^*: X \to Y </tex>называется '''компактным''', сепарабельность если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>. }}{{Утверждение|statement = <tex>RA \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A</tex> (произведение, суперпозиция). Тогда: # Если <tex> B </tex>­— ограниченный, <tex> A </tex> ­— компактный, то <tex> C </tex> ­— компактный.# Если <tex> B </tex> ­— компактный, <tex> A </tex> ­— ограниченный, то <tex> C </tex> ­— компактный. }} == 10 (year2012) О компактности А* =={{Определение|definition= 7 Базис Шаудера<tex> C(K) </tex> - совокупность функций непрерывных на метрическом компакте K с равномерной нормой, лемма о координатном пространствет.е. <tex> \| f \| =\max\limits_{x \in K} | f(x) | </tex>}}{{Теорема|author= 8 Почти конечномерность компактного оператора. Арцело-Асколи|statement=\\TODO}}{{Теорема|statement= 9 Размерность <tex> A </tex> компактен <tex>\operatorname{implies A^* </tex> компактен.}} == 9 Размерность Ker}(I-A)компактного A =={{Утверждение|statement=<tex>A</tex> компактного {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>. }} == 10 Замкнутость R(I-A) компактного A =={{Теорема|statement=Пусть <tex>R(T = I-A)</tex> компактного , <tex>A</tex>компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто. }} == 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A =={{Утверждение|statement=Пусть <tex>M_n = \operatorname{Ker}((I-A)^n), n \in \mathbb N</tex> компактного , <tex>A</tex>— компактный оператор. Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} =M_{n_0 + 1} </tex>.}} == 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E =={{Утверждение|statement=Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex>R(E </tex>, <tex> T = I-A</tex>.Тогда <tex> R(T)=E\iff \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>. }} == 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера=={{Теорема|about=альтернатива Фредгольма-Шаудера|statement=Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:# <tex>\operatorname{Ker} T =\{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex># <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>}} == 14 Спектр компактного оператора==Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.  # <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.  Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра: {{Теорема|statement=Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.}} == 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для <tex>(a+ib)I-A=={{Определение|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>}}<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>. , <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} =(\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex> <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> == 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора. =={{Утверждение|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны}} == 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора=={{Теорема|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>}} == 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора=={{Теорема|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| =1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>}} == 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ =={{Определение|definition=<tex>mm_-= \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle, m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex> и }}{{Теорема|statement=Пусть A — самосопряженный оператор 1. <tex>m\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex> 2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>}} == 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма. =={{Утверждение|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>}} == 21 Теорема Гильберта-Шмидта. =={{Теорема|author=Гильберт, Шмидт|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>}} == 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex> ==Теорема Банаха о сжимающем отображении== {{Определение|definition=Пусть на замкнутом шаре <tex>\overline{V} \subset X</tex>, где <tex>X</tex> - метрическое пространство, определён оператор <tex>A: \overline{V} \subset X \to X</tex>. Он называется '''сжатием''' на <tex>\overline{V}</tex>, если <tex>\exists\alpha\in(0; 1)</tex> такой, что для <tex>{\forall}x,y \in M</tex> выполняется <tex>{\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}</tex>.}} {{Теорема|statement=(''Банаха о неподвижной точке'')Пусть <tex>T : \overline{V} \to \overline{V}</tex> и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора <tex>T</tex> <tex>\exists !</tex> неподвижная точка.}}[[Теорема Банаха о неподвижной точке]] ==Дифференцирование отображений, неравенство Лагранжа.== Рассмотрим <tex>T : V_r(x_0) \to Y</tex>, где <tex>V_r(x_0) \subset X</tex> и, кроме того, <tex>X, Y</tex> - нормированные пространства. Пусть <tex>\|\delta x \| < r</tex>. Тогда, очевидно, <tex>x + \delta x \in V_r(x_0)</tex>. Обозначим <tex>\delta T(x_0, \delta x) = T(x_0 + \delta x) - T(x_0)</tex>. '''Def.''' Отображение <tex>T</tex> называется дифференцируемым по Фреше в точке <tex>x_0</tex>, если существует оператор <tex>A_{x_0} \in L(X,Y)</tex> такой, что <tex>\delta T(x_0, \delta x) = A_{x_0}(\delta x) + o(\delta x)</tex>, где <tex>o(\delta x)</tex> несёт следующий смысл: <tex>\frac{ {\|o(\delta x)\|}_Y } {{\| \delta x \|}_X} \to 0</tex>. Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: <tex>T_{x_0}' = A_{x_0}</tex>. Подчеркнем, что <tex>T_{x_0}': X \to Y</tex>. Аргументом является "отклонение" некоторой точки <tex>x'</tex> от <tex>x_0</tex>: <tex>x - x_0</tex>. А результат применения оператора: <tex>T(x') - T(x_0)</tex> с точностью до <tex>o(\delta x = x' - x)</tex>. '''Lm.''' (''Неравенство Лагранжа'')Пусть <tex>X, Y</tex> -- нормированные пространства, <tex>V</tex> -- некоторый шар в <tex>X</tex> и дан оператор <tex>T : V \to Y</tex> и на всем этом шаре <tex>\exists T'(x)</tex>. Тогда для любых <tex>a, b \in V : \|T(b) - T(a)\| \le M {\|b - a\|}_X</tex>, где <tex>M = sup_{x \in [a, b]}\|T'(x)\|</tex>. = 23 =Локальная сходимость метода простой итерациитеорема о неявном отображении== '''Th.'''(''о неявном отображении'') Пусть <tex>V</tex> - шар в <tex> X, V \subset X</tex>, а <tex>W \subset Y</tex> - шар в <tex>Y</tex>, и задан оператор <tex>T : {V} \times {W} \rightarrow Y</tex>. Пусть <tex>x_0 \in V,\: y_0 \in W,\: T(x_0, y_0) = 0 \in Y</tex>.  Пусть <tex> \forall x \in V, \forall y \in W \quad \exists T^{'}_y </tex> - дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Пусть также <tex>T^{'}_{y}(x_0, y_0)</tex> - непрерывно обратим. '''Тогда''' задача о неявном отображении для <tex>T(x, y) = 0</tex> c начальным решением <tex>T(x_0, y_0) = 0</tex> разрешима в некоторых окрестностях точек <tex>x_0, y_0</tex>, а именно: для любого <tex>x' \in V_{\delta_1}(x_0)</tex> существует единственное <tex>y' \in V_{\delta_2}(y_0) : T(x', y') = 0</tex> . http://neerc.ifmo.ru/wiki/index. php?title=Локальная_теорема_о_неявном_отображении == 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений. ==<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>{{Утверждение|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>}} == 25 Проекторы Шаудера==<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.  Построим следующую функцию: <tex> \forall j =1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex> <tex> \mu_j(y) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases} </tex> <tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>{{Определение|definition= <tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''. }} == 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке=={{Теорема|author=Шаудер|about=о неподвижной точке|statement=Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.  Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.}} == 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) == {{Утверждение|statement = Пусть <tex> A </tex> ­— компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).}} {{Утверждение|statement = <tex>A</tex> — компактен <tex>\implies</tex> <tex>A^*</tex> — компактен}} == 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве =={{Определение|definition=Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.}} Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.  Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>. {{Утверждение|statement=Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.}} == 8 Почти конечномерность компактного оператора =={{Теорема|about=почти конечномерность компактного оператора|statement=Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что: # <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex># <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>}}== 23 Локальная сходимость метода простой итерации =={{Теорема|about=Локальная теорема о простой итерации|statement=Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) =\overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>. Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.* <tex> x_n \to \overline x </tex>}}