15
правок
Изменения
м
Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) <http://tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) <neerc.ifmo.ru/tex>, то:* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0<wiki/tex>index.* <tex> x_n \to \overline x </tex>}}php?title=Локальная_теорема_о_неявном_отображении
----
'''Не было у year2011'''
→10 (year2012) О компактности А*
}}
== 10 (year2012) О компактности А* ==
{{Определение
|definition=
<tex> C(K) </tex> - совокупность функций непрерывных на метрическом компакте K с равномерной нормой, т.е. <tex> \| f \| = \max\limits_{x \in K} | f(x) | </tex>
}}
{{Теорема
|author=Арцело-Асколи
|statement=
\\TODO
}}
{{Теорема
|statement=
<tex> A </tex> компактен <tex> \implies A^* </tex> компактен.
}}
== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X E </tex>, <tex> T = I - A </tex>.Тогда <tex> R(T) = X E \iff \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}
}}
== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=Пусть A — самосопряженный оператор 1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>
2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>
== 23 Локальная сходимость метода простой итерации Теорема Банаха о сжимающем отображении== {{Определение|definition=Пусть на замкнутом шаре <tex>\overline{V} \subset X</tex>, где <tex>X</tex> - метрическое пространство, определён оператор <tex>A: \overline{V} \subset X \to X</tex>. Он называется '''сжатием''' на <tex>\overline{V}</tex>, если <tex>\exists\alpha\in(0; 1)</tex> такой, что для <tex>{\forall}x,y \in M</tex> выполняется <tex>{\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}</tex>.}}
{{Теорема
|aboutstatement=Локальная теорема (''Банаха о неподвижной точке'')Пусть <tex>T : \overline{V} \to \overline{V}</tex> и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора <tex>T</tex> <tex>\exists !</tex> неподвижная точка.}}[[Теорема Банаха о простой итерациинеподвижной точке]] ==Дифференцирование отображений, неравенство Лагранжа.== Рассмотрим <tex>T : V_r(x_0) \to Y</tex>, где <tex>V_r(x_0) \subset X</tex> и, кроме того, <tex>X, Y</tex> - нормированные пространства. Пусть <tex>\|\delta x \|statement< r</tex>. Тогда, очевидно, <tex>x + \delta x \in V_r(x_0)</tex>. Обозначим <tex>\delta T(x_0, \delta x) =T(x_0 + \delta x) - T(x_0)</tex>.Пусть известно'''Def.''' Отображение <tex>T</tex> называется дифференцируемым по Фреше в точке <tex>x_0</tex>, если существует оператор <tex>A_{x_0} \in L(X,Y)</tex> такой, что существует <tex> \overlinedelta T(x_0, \delta x) = A_{x_0}(\delta x) + o(\delta x)</tex>, где <tex>o(\delta x})</tex> несёт следующий смысл: <tex>\mathcalfrac{ {T}\|o(\overlinedelta x)\|}_Y } {{\| \delta x\|}_X} \to 0</tex>. Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: <tex>T_{x_0}' = A_{x_0}</tex>. Подчеркнем, что <tex>T_{x_0}': X \to Y</tex>. Аргументом является "отклонение" некоторой точки <tex>x'</tex> от <tex>x_0</tex>: <tex>x - x_0</tex>. А результат применения оператора: <tex>T(x') - T(x_0)</tex> с точностью до <tex>o(\delta x = x' - x)</tex>. '''Lm.''' (''Неравенство Лагранжа'')Пусть <tex>X, Y</tex> -- нормированные пространства, <tex>V</tex> -- некоторый шар в <tex>X</tex> и дан оператор <tex>T : V \to Y</tex> и на всем этом шаре <tex>\exists T'(x)</tex>. Тогда для любых <tex>a, b \overlinein V : \|T(b) - T(a)\| \le M {\|b - a\|}_X</tex>, где <tex>M = sup_{x\in [a, b]} \|T'(x)\|</tex>. ==Локальная теорема о неявном отображении== '''Th.'''(''о неявном отображении'') Пусть <tex>V</tex> - шар в <tex> X, V \subset X</tex>, а <tex>W \subset Y</tex> - шар в <tex>Y</tex> , и задан оператор <tex>T : {V} \times {W} \rightarrow Y</tex>. Пусть <tex>x_0 \in V,\: y_0 \in W,\: T(x_0, y_0) = 0 \in Y</tex>. Пусть <tex> \| forall x \in V, \forall y \in W \quad \mathcalexists T^{'}_y </tex> - дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Пусть также <tex>T^{'}_{y}(x_0, y_0)</tex> - непрерывно обратим. '''Тогда''' задача о неявном отображении для <tex>T(x, y) = 0</tex> c начальным решением <tex>T(x_0, y_0) = 0</tex> разрешима в некоторых окрестностях точек <tex>x_0, y_0</tex>, а именно: для любого <tex>x' \overlinein V_{x\delta_1}(x_0)</tex> существует единственное <tex>y' \| in V_{\le q < 1 delta_2}(y_0) : T(x', y') = 0</tex>.
== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}
== 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) ==
# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}
== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.
Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
