15
правок
Изменения
м
'''Def''': {{Определение|definition=Пусть на замкнутом шаре <tex>\overline{V} \subset X</tex>, где <tex>X</tex> - метрическое пространство, определён оператор <tex>A: \overline{V} \subset X \to X</tex>. Он называется '''сжатием ''' на <tex>\overline{V}</tex>, если <tex>\exists\alpha\in(0; 1)</tex> такой, что для <tex>{\forall}x,y \in M</tex> выполняется <tex>{\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}</tex>.}}
'''Th.'''{{Теорема|statement=(''Банаха о неподвижной точке'')
'''Не было у year2011'''
→10 (year2012) О компактности А*
}}
== 10 (year2012) О компактности А* ==
{{Определение
|definition=
<tex> C(K) </tex> - совокупность функций непрерывных на метрическом компакте K с равномерной нормой, т.е. <tex> \| f \| = \max\limits_{x \in K} | f(x) | </tex>
}}
{{Теорема
|author=Арцело-Асколи
|statement=
\\TODO
}}
{{Теорема
|statement=
<tex> A </tex> компактен <tex> \implies A^* </tex> компактен.
}}
== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X E </tex>, <tex> T = I - A </tex>.Тогда <tex> R(T) = X E \iff \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}
}}
== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=Пусть A — самосопряженный оператор 1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>
2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
==Теорема Банаха о сжимающем отображении==
Пусть <tex>T : \overline{V} \to \overline{V}</tex> и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора <tex>T</tex> <tex>\exists !</tex> неподвижная точка.
}}
[[Теорема Банаха о неподвижной точке]]
==Дифференцирование отображений, неравенство Лагранжа.==
Пусть <tex>X, Y</tex> -- нормированные пространства, <tex>V</tex> -- некоторый шар в <tex>X</tex> и дан оператор <tex>T : V \to Y</tex> и на всем этом шаре <tex>\exists T'(x)</tex>. Тогда для любых <tex>a, b \in V : \|T(b) - T(a)\| \le M {\|b - a\|}_X</tex>, где <tex>M = sup_{x \in [a, b]}\|T'(x)\|</tex>.
==Локальная теорема о неявном отображении==
'''Th.'''(''о неявном отображении'')
Пусть <tex>V</tex> - шар в <tex> X, V \subset X</tex>, а <tex>W \subset Y</tex> - шар в <tex>Y</tex>, и задан оператор <tex>T : {V} \times {W} \rightarrow Y</tex>.
Пусть <tex>x_0 \in V,\: y_0 \in W,\: T(x_0, y_0) = 0 \in Y</tex>.
Пусть <tex> \forall x \in V, \forall y \in W \quad \exists T^{'}_y </tex> - дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных <tex>x</tex> и <tex>y</tex>.
Пусть также <tex>T^{'}_{y}(x_0, y_0)</tex> - непрерывно обратим.
'''Тогда''' задача о неявном отображении для <tex>T(x, y) = 0</tex> c начальным решением <tex>T(x_0, y_0) = 0</tex> разрешима в некоторых окрестностях точек <tex>x_0, y_0</tex>, а именно: для любого <tex>x' \in V_{\delta_1}(x_0)</tex> существует единственное <tex>y' \in V_{\delta_2}(y_0) : T(x', y') = 0</tex> .
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Локальная_теорема_о_неявном_отображении
== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}} ----
== 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) ==
