Материал из Викиконспекты
1 [math]A^*[/math] и его ограниченность.
Пусть оператор [math] A [/math] действует из [math] E [/math] в [math] F [/math], и функционал [math] \varphi [/math] принадлежит [math] F^* [/math].
Рассмотрим [math] f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| [/math].
Получили новый функционал [math] f [/math], принадлежащий [math] E^* [/math]. [math] \varphi \mapsto \varphi A [/math].
[math] \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* [/math]. [math] A^* [/math] — сопряженный оператор к [math] A [/math].
| Теорема: |
Если [math] A [/math] — линейный ограниченный оператор, то [math] \| A^* \| = \| A \| [/math]. |
2 Ортогональные дополнения [math]E[/math] и [math]E^*[/math].
3 Ортогональное дополнение [math]R(A)[/math].
4 Ортогональное дополнение [math]R(A^*)[/math].
5 Арифметика компактных операторов.
6 О компактности [math]A^*[/math], сепарабельность [math]R(A)[/math].
7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.
8 Почти конечномерность компактного оператора.
9 Размерность [math]\operatorname{Ker}(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].
10 Замкнутость [math]R(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].
11 Лемма о [math]\operatorname{Ker}(I-A)^n[/math] компактного [math]A[/math].
12 Условие справедливости равенства [math]R(I-A)=E[/math].
13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера.
14 Спектр компактного оператора.
15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для [math](a+ib)I-A[/math].
16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора.
17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора.
18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора.
19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел [math]m-[/math] и [math]m+[/math].
20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма.
21 Теорема Гильберта-Шмидта.
22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.
23 Локальная сходимость метода простой итерации.
24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений.
25 Проекторы Шаудера.
26 Теорема Шаудера о неподвижной точке.
