Редактирование: Теория Гильберта-Шмидта
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{{В разработке}} | {{В разработке}} | ||
| − | + | {{TODO|t= | |
| − | + | Как обычно, это переписанный с выключенным мозгом конспект. Автор не несёт(пока) ответственности за то, что в статье написан антинаучный бред. Хуже того, чукча не читатель, чукча писатель, и написанное даже не читалось. | |
| + | В параграфе для операторов используется курсивный шрифт (<tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{B}</tex>), а для матриц {{---}} прямой (<tex>A</tex>, <tex>B</tex>). Во-первых, для того, чтобы различать их, а во-вторых, для красоты. Грустно, что тебе, читатель этого, срать на то, написано ли <tex>\mathcal{I}</tex> или <tex>I</tex>, а хочется только сдать экзамен. | ||
| + | }} | ||
| + | {{TODO|t=Расставить точки в конце предложений, а то режет глаз.}} | ||
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>. | В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>. | ||
| Строка 20: | Строка 23: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
| − | |definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> | + | |definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>. |
}} | }} | ||
| Строка 26: | Строка 29: | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
| − | |statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex> | + | |statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex> |
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>. | |proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>. | ||
| Строка 32: | Строка 35: | ||
}} | }} | ||
| − | <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle} \ | + | <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle}</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю. |
Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>. | Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>. | ||
| − | <tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex> | + | <tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex> |
| − | <tex> (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A} | ||
Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>. | Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>. | ||
| Строка 43: | Строка 45: | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
| − | |statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> | + | |statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> |
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex> | |proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex> | ||
| − | * Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> | + | * Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> |
| − | <tex>\lambda \in \mathbb{R} \ | + | <tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> |
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex> | <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex> | ||
| − | * Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex> | + | * Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex> |
| − | из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\lambda \mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex> | + | из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex> |
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>. | <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>. | ||
}} | }} | ||
| − | + | Из этого утверждения вытекает следующая теорема: | |
| − | |||
| − | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
| − | |statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> | + | |statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>. |
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. | |proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. | ||
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> | <tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> | ||
| − | <tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> | + | <tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> |
| − | + | с другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что | |
| − | <tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> | + | <tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> {{---}} всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>. |
| − | Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> | + | А также, <tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> {{---}} замкнуто. Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> |
| − | <tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> | + | <tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> |
}} | }} | ||
| − | |||
| − | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
| − | |statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> | + | |statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда |
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex> | 1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex> | ||
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex> | 2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex> | ||
| Строка 89: | Строка 87: | ||
Докажем первый пункт | Докажем первый пункт | ||
| − | + | 1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Требуемое неравенство{{---}} непрерывность резольвентного оператора | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <tex>\ | + | 2. <tex>\exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| > m\|x\|</tex> {{---}} в силу прошлой теоремы. |
| − | Второй пункт | + | Второй пункт {{---}} проверить самим. Это просто логическое отрицание первого. {{TODO|t=запилите кто-нибудь}} |
}} | }} | ||
| Строка 106: | Строка 98: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex> | |definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex> | ||
| − | |||
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex> | <tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex> | ||
| Строка 116: | Строка 107: | ||
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex> | <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex> | ||
| − | Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A} | + | Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}z, z\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex> |
{{Теорема | {{Теорема | ||
| Строка 132: | Строка 123: | ||
<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex> | <tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex> | ||
| − | Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ | + | Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \Rightarrow \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> |
'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex> | '''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex> | ||
| Строка 154: | Строка 145: | ||
Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex> | Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex> | ||
| − | <tex>\langle \mathcal{L} | + | <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \to 0</tex> |
<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex> | <tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex> | ||
| Строка 160: | Строка 151: | ||
Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>: | Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>: | ||
| − | <tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle| | + | <tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle| \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex> |
| − | <tex> | + | <tex>|\langle \mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 = \|\mathcal{L}x_n\|^4</tex>, <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \to 0</tex>, <tex>\langle\mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle \le \|\mathcal{L}^2x_n\|\cdot\|\mathcal{L}x_n\| \le \|\mathcal\|^3 \cdot \|x_n\|^2[=1] = \|\mathcal{L}\|^3 \le M</tex> |
| − | |||
| − | <tex>\langle \mathcal{L}^ | ||
}} | }} | ||
| − | |||
| − | |||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
| − | |statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> | + | |statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex> |
| − | |proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\ | + | |proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex> |
Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex> | Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex> | ||
| Строка 178: | Строка 165: | ||
Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически. | Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически. | ||
| − | <tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x | + | <tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x = \|\mathcal{A}x\|^2</tex> |
По самосопряжённости: | По самосопряжённости: | ||
| Строка 189: | Строка 176: | ||
}} | }} | ||
| − | Если <tex>\mathcal{A}</tex> | + | Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>. |
Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис. | Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис. | ||
| − | |||
| − | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author=Гильберт, Шмидт | |author=Гильберт, Шмидт | ||
| − | |statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> | + | |statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex> |
| − | |proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex> | + | |proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex>{{---}} ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>). |
Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex> | Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex> | ||
| Строка 205: | Строка 190: | ||
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex> | <tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex> | ||
| − | Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda \ | + | Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\mathcal{A}x \in M^\bot</tex> |
<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex> | <tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex> | ||
| Строка 213: | Строка 198: | ||
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex> | Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex> | ||
| − | <tex>M^\bot</tex> | + | <tex>M^\bot</tex> {{---}} гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> {{---}} самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex> |
| − | Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0 \ | + | Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|\mathcal{A}_0\| = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex> |
| − | Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным | + | Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространосвом, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex> |
}} | }} | ||
| − | + | Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов, соответствующим собственным числам <tex>\varphi_1, \varphi_2, \ldots</tex>. Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит, | |
| − | |||
| − | Если <tex>\mathcal{A}</tex> | ||
| − | |||
| − | Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит, | ||
| − | <tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex> | + | <tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex> |
| − | Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\ | + | Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex> |
| − | <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex> | + | <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex> |
| − | Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex> | + | Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex> |
| − | <tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> ( | + | <tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (нуля быть не может, потому что <tex>y \in \rho(\mathcal{A})</tex>) |
| − | <tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex> | + | <tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex> |
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]] | [[Категория: Функциональный анализ 3 курс]] | ||
