Изменения
→Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество
{{В разработке}}
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.
# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex>
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex>
В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.
В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.
Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>:
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.
Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> в гильбертовом пространстве называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.
}}
Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.
{{Утверждение
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathcalmathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex>.|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.
<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex>
}}
<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{УтверждениеA})x \|statement^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle =Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны</tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|proof^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle =Рассмотрим </tex> [<tex>\lambda mu \in \mathbb{CR}</tex>, <tex>\lambda mathcal{A}</tex> — самосопряжённый<tex> (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A} )</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex>
Итого: <tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + ge |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex>.
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}— самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>.
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>
* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>:
<tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow implies (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex>
<tex>\overlineoperatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.}} == Теоремы о спектре самосопряженного оператора == === Вещественность спектра === {{Теорема|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>. |proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda\ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A} )x\Rightarrow | \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> <tex>\operatorname{Ker}(\overlinelambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> (всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>). С другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y= (\lambda\mathcal{0I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что <tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> — замкнуто. Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> <tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> — биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>
}}
Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| (\lambda I - A)^{-1} \right\|}</tex>, тогда: <tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| (\lambda I - A)^{-1} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex> <tex>\Longleftarrow</tex>: Существование резольвентного оператора, определенного на <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) </tex> следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]. Покажем, что <tex> R(\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A}) = \mathcal{H} </tex>. По одному из предыдущих утверждений, <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>. Поскольку <tex> \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\| </tex>, то <tex> \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{ 0 \} </tex>. Так как оператор <tex> \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A} </tex> допускает, по условию, априорную оценку решений, то <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>, откуда следует, что резольвентный оператор непрерывен и определен на всем <tex> \mathcal{H} </tex>. Второй пункт — просто логическое отрицание первого.}} Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex> {{Определение|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex> <tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>}} Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex> <tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex> Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}x, x\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex> {{Теорема|statement=Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex># <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>|proof='''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex> Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы <tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 = </tex> <tex>(\mu lambda - m_+ i) \nulangle x, x \rangle =</tex><tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\nulangle \ne0lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex><tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex> Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \implies \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> '''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex> Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы. <tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex> По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex> <tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex> Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>. Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца: <tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex> Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0</tex> <tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex> Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>: <tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex> <tex>\|\mathcal{L}x_n\|^4 = |\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> [по неравенству выше] <tex>\langle\mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n\rangle</tex>. Первый множитель стремится к нулю. Проверив ограниченность второго, убедимся, что <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>. <tex>\langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n \rangle \le </tex> <tex>\|\mathcal{L}^2 x_n\| \cdot \|\mathcal{L}x_n\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2 = </tex> <tex>\|\mathcal{L}^3\| < M</tex> }} === Теорема о спектральном радиусе === {{Утверждение|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex> Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex> Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически. <tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2</tex> По самосопряжённости: <tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex> Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство. <tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\numathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|\cdot\|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex>}} Если <tex>\mathcal{A}</tex> — компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>. Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис. == Теорема Гильберта-Шмидта == {{Теорема|author=Гильберт, Шмидт|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex> — его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex> — ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex> ). Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex> Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>: <tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex> Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda \implies \mathcal{A}x \in M^\bot</tex>
<tex>y \operatorname{Ker} (in M_\lambda: \langle \mathcal{IA}-x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}) y\rangle = \{0langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \}rangle</tex>, <tex>x\operatorname{Cl} R(in M^\lambdabot</tex>, <tex>\mathcal{I}-langle x, y \mathcal{A}) rangle = \mathcal{H}0</tex>
Рассмотрим <tex>R(\lambda\mathcal{IA}-_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex>{{---}} замкнуто
<tex>M^\bot</tex> — гильбертово пространство, <tex>\mathcal{HA} = R_0</tex> — самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\lambda\mathcal{IA}-_0) = \|\mathcal{A})_0\|</tex>
Но все собственные числа <tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на задействованы в <tex>M_\mathcal{H}lambda</tex>. <tex>r_\|sigma(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}_0)x= 0 \| implies \ge |\nu|\cdotmathcal{A}_0\|x= 0 \|implies</tex> гарантирует, что обратный оператор непрерывен. Значит, тривиальный <tex>M^\lambda bot = \in \rho(operatorname{Ker} \mathcal{A})_0</tex>
Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространством, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex>.
}}
=== Разложение резольвенты === Если <stex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов <tex>\varphi_1, \ldots \varphi_n, \ldots</tex>. Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит, <tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>. Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\implies y = \sum\limits_{TODO|tn=на время отпускаю блокировку на статью1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</stex> <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>. Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex>. <tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (в знаменателе нуля быть не может, потому что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>). <tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{TODO|tn=lock1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>. [[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
