1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{В разработке}}
[[Альтернатива Фредгольма — Шаудера|<<]][[О нелинейных операторных уравнениях|>>]]
__TOC__
* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:
из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.
<tex>\implies</tex>: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>, то есть резольвентный оператор определен.
<tex>\left\| \frac{1}{(\lambda I - A)^{-1} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| \frac{1}{(\lambda I - A)^{-1} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex>
Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| \frac{1}{(\lambda I - A)^{-1} \right\|}</tex>, тогда:
<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| \frac{1}{(\lambda I - A)^{-1} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex>
<tex>\Longleftarrow</tex>: Существование резольвентного оператора, определенного на <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) </tex> следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]. Покажем, что <tex> R(\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A}) = \mathcal{H} </tex>. По одному из предыдущих утверждений, <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>. Поскольку <tex> \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\| </tex>, то <tex> \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{ 0 \} </tex>. Так как оператор <tex> \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A} </tex> допускает, по условию, априорную оценку решений, то <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>, откуда следует, что резольвентный оператор непрерывен и определен на всем <tex> \mathcal{H} </tex>.
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространством, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex>.
}}
=== Разложение резольвенты ===
Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов <tex>\varphi_1, \ldots \varphi_n, \ldots</tex>.
