Теория Гильберта-Шмидта — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(initial commit)
 
(Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество)
 
(не показано 45 промежуточных версий 9 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
  
В процессе
+
[[Альтернатива Фредгольма — Шаудера|<<]][[О нелинейных операторных уравнениях|>>]]
 +
__TOC__
 +
 
 +
 
 +
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.
 +
 
 +
# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex>
 +
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex>
 +
 
 +
В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.
 +
 
 +
В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.
 +
 
 +
Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>:
 +
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.
 +
 
 +
Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> в гильбертовом пространстве называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex>.
 +
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.
 +
 
 +
<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex>
 +
}}
 +
 
 +
<tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle} \implies \langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.
 +
 
 +
Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>.
 +
 
 +
<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый
 +
<tex> (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex>
 +
 
 +
Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>.
 +
 
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>.
 +
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>
 +
 
 +
* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>:
 +
 
 +
<tex>\lambda \in \mathbb{R} \implies (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>
 +
 
 +
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex>
 +
 
 +
* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:
 +
 
 +
из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\lambda \mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.
 +
 
 +
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
== Теоремы о спектре самосопряженного оператора ==
 +
 
 +
=== Вещественность спектра ===
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>.
 +
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.
 +
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex>
 +
 
 +
<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> (всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>).
 +
 
 +
С другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что
 +
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> — замкнуто.
 +
 
 +
Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>
 +
 
 +
<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> — биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>
 +
 
 +
}}
 +
 
 +
=== Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество ===
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый оператор. Тогда
 +
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
 +
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
 +
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел
 +
 
 +
Докажем первый пункт
 +
 
 +
<tex>\implies</tex>: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>, то есть резольвентный оператор определен.
 +
 
 +
<tex>\left\| (\lambda I - A)^{-1} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| (\lambda I - A)^{-1} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex> 
 +
 
 +
Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| (\lambda I - A)^{-1} \right\|}</tex>, тогда:
 +
 
 +
<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| (\lambda I - A)^{-1} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex>
 +
 
 +
<tex>\Longleftarrow</tex>: Существование резольвентного оператора, определенного на <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) </tex> следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]. Покажем, что <tex> R(\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A}) = \mathcal{H} </tex>. По одному из предыдущих утверждений, <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>. Поскольку <tex> \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\| </tex>, то <tex> \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{ 0 \} </tex>. Так как оператор <tex> \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A} </tex> допускает, по условию, априорную оценку решений, то <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>, откуда следует, что резольвентный оператор непрерывен и определен на всем <tex> \mathcal{H} </tex>.
 +
 
 +
Второй пункт — просто логическое отрицание первого.
 +
}}
 +
 
 +
Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex>
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>
 +
 
 +
 
 +
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
 +
}}
 +
 
 +
Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex>
 +
 
 +
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:
 +
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex>
 +
 
 +
Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}x, x\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex>
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:
 +
# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>
 +
# <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
 +
|proof=
 +
'''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex>
 +
 
 +
Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>
 +
 
 +
Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы
 +
 
 +
<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex>
 +
 
 +
Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \implies \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>
 +
 
 +
'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
 +
 
 +
Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.
 +
 
 +
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>
 +
 
 +
По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex>
 +
 
 +
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex>
 +
 
 +
<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex>
 +
 
 +
Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>.
 +
 
 +
Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца:
 +
 
 +
<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex>
 +
 
 +
Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>
 +
 
 +
<tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0</tex>
 +
 
 +
<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex>
 +
 
 +
Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:
 +
 
 +
<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex>
 +
 
 +
<tex>\|\mathcal{L}x_n\|^4 = |\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> [по неравенству выше] <tex>\langle\mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n\rangle</tex>. Первый множитель стремится к нулю. Проверив ограниченность второго, убедимся, что <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>.
 +
 
 +
<tex>\langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n \rangle \le </tex> <tex>\|\mathcal{L}^2 x_n\| \cdot \|\mathcal{L}x_n\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2 = </tex> <tex>\|\mathcal{L}^3\| < M</tex>
 +
 
 +
}}
 +
 
 +
=== Теорема о спектральном радиусе ===
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
 +
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex>
 +
 
 +
Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex>
 +
 
 +
Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.
 +
 
 +
<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2</tex>
 +
 
 +
По самосопряжённости:
 +
 
 +
<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex>
 +
 
 +
Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.
 +
 
 +
<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex>
 +
}}
 +
 
 +
Если <tex>\mathcal{A}</tex> — компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.
 +
 
 +
Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.
 +
 
 +
== Теорема Гильберта-Шмидта ==
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|author=Гильберт, Шмидт
 +
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex> — его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
 +
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex> — ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).
 +
 
 +
Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex>
 +
 
 +
Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>:
 +
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex>
 +
 
 +
Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda \implies \mathcal{A}x \in M^\bot</tex>
 +
 
 +
<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex>
 +
 
 +
Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex>
 +
 
 +
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex>
 +
 
 +
<tex>M^\bot</tex> — гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> — самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex>
 +
 
 +
Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0 \implies \|\mathcal{A}_0\| = 0 \implies</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex>
 +
 
 +
Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространством, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
=== Разложение резольвенты ===
 +
 
 +
Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов <tex>\varphi_1, \ldots \varphi_n, \ldots</tex>.
 +
 
 +
Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит,
 +
 
 +
<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.
 +
 
 +
Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\implies y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex>
 +
 
 +
<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n  = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.
 +
 
 +
Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex>.
 +
 
 +
<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (в знаменателе нуля быть не может, потому что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>).
 +
 
 +
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>.
 +
 
 +
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Текущая версия на 14:00, 24 июня 2015

Эта статья находится в разработке!
<<>>


В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством [math]\mathcal{H}[/math], но над полем [math]\mathbb{C}[/math].

  1. (над [math]\mathbb{R}[/math]): [math]\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle[/math]
  2. (над [math]\mathbb{C}[/math]): [math]\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}[/math]

В конечномерном пространстве [math]\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} [/math] ([math]x_i \in \mathbb{R}[/math]) скалярное произведение двух векторов определялось как [math]\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n[/math].

В [math]\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}[/math] ([math]z_i \in \mathbb{C}[/math]) же, [math] \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}[/math].

Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: [math]\langle x, x \rangle \ge 0[/math]: [math]\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, \gt 0[/math].

Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы [math]\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}[/math].


Определение:
Оператор [math]\mathcal{A}[/math] в гильбертовом пространстве называется самосопряжённым ([math]\mathcal{A} = \mathcal{A}^*[/math]), если [math]\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle[/math].


Посмотрим, что же такое самосопряжённость для конечномерного оператора в [math]\mathbb{C}^n[/math]. В [math]\mathbb{C}^n[/math] линейный оператор представляет из себя матрицу [math]A = \{a_{ij}\}[/math].

Утверждение:
Оператор [math]\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n[/math] самосопряжён [math]\iff[/math] [math]A = \overline{A^T}[/math].
[math]\triangleright[/math]

[math]Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = [/math] [math]\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}[/math].

[math]\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = [/math] [math]\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = [/math] [math]\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = [/math] [math]\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = [/math] [math]\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = [/math] [math]\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = [/math] [math]\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = [/math] [math]\langle z, By \rangle = [/math] [math]\langle z, \overline{A^T} y \rangle[/math]
[math]\triangleleft[/math]

[math]\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle [/math], [math]\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle} \implies \langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}[/math], так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.

Рассмотрим [math]\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}[/math], [math]\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}[/math].

[math]\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = [/math] [math]\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = [/math] [math]\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = [/math] [math]\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = [/math] [[math]\mu \in \mathbb{R}[/math], [math]\mathcal{A}[/math] — самосопряжённый [math] (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})[/math]] [math] = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = [/math] [math]\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2[/math]

Итого: [math]\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|[/math].


Утверждение:
Если [math]\mathcal{A}[/math] — самосопряжённый, а [math]\lambda \in \mathbb{C}[/math], то [math]\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})[/math].
[math]\triangleright[/math]

Доказательство разбивается на два случая: [math]\lambda \in \mathbb{R}[/math] и [math]\lambda \notin \mathbb{R}[/math]

  • Случай 1. [math]\lambda \in \mathbb{R}[/math]:

[math]\lambda \in \mathbb{R} \implies (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}[/math]

[math]\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot[/math]

  • Случай 2. [math]\lambda \notin \mathbb{R}[/math]:

из неравенства [math]\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| \gt 0[/math] при [math]x \ne 0[/math] вытекает [math]\operatorname{Ker}(\lambda \mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}[/math], так как для [math]\lambda \notin \mathbb R[/math], [math]|\nu| \ne 0[/math].

[math]\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Теоремы о спектре самосопряженного оператора[править]

Вещественность спектра[править]

Теорема:
Если [math]\mathcal{A}[/math] — самосопряженный, то [math] \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Проверим, что если [math] \operatorname{Im} \lambda \ne 0[/math], то [math]\lambda \in \rho(\mathcal{A})[/math]. [math]\lambda = \mu + i\nu[/math], [math]\nu\ne0[/math], [math]\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| \gt 0[/math]

[math]\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}[/math], [math]\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}[/math] (всюду плотно в [math] \mathcal H [/math]).

С другой стороны, неравенство [math]\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|[/math] даёт априорную оценку [math]y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x[/math], откуда следует, что [math]R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})[/math] — замкнуто.

Значит, [math]\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})[/math]

[math]\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}[/math] — биективен на [math]\mathcal{H}[/math]. [math]\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|[/math] гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, [math]\lambda \in \rho(\mathcal{A})[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество[править]

Теорема:
Пусть [math]\mathcal{A}[/math] — самосопряжённый оператор. Тогда

1. [math]\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m \gt 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|[/math]

2. [math]\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Замечание: второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел

Докажем первый пункт

[math]\implies[/math]: [math]\lambda \in \rho(\mathcal{A})[/math], то есть резольвентный оператор определен.

[math]\left\| (\lambda I - A)^{-1} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| (\lambda I - A)^{-1} \right\| \| (\lambda I - A) x\|[/math]

Возьмем [math]m=\frac{1}{\left\| (\lambda I - A)^{-1} \right\|}[/math], тогда:

[math]\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| (\lambda I - A)^{-1} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|[/math]

[math]\Longleftarrow[/math]: Существование резольвентного оператора, определенного на [math] R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) [/math] следует из одной из теорем об обратных операторах. Покажем, что [math] R(\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A}) = \mathcal{H} [/math]. По одному из предыдущих утверждений, [math]\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})[/math]. Поскольку [math] \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\| [/math], то [math] \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{ 0 \} [/math]. Так как оператор [math] \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A} [/math] допускает, по условию, априорную оценку решений, то [math] R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})[/math], откуда следует, что резольвентный оператор непрерывен и определен на всем [math] \mathcal{H} [/math].

Второй пункт — просто логическое отрицание первого.
[math]\triangleleft[/math]

Выше мы убедились, что [math]\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}[/math]


Определение:
[math]m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle[/math]


[math]m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle[/math]


Очевидно, что [math]m_- \le m_+[/math]

[math]\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z[/math], где [math]\|z\| = 1[/math]: [math]\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2[/math]

Аналогично, [math] \langle\mathcal{A}x, x\rangle \ge m_- \|x\|^2 [/math]

Теорема:
Пусть [math]A[/math] — самосопряженный оператор. Тогда:
  1. [math]\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+][/math]
  2. [math]m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пункт 1. Докажем, что из того, что [math]\lambda \gt m_+[/math] следует, что [math]\lambda \in \rho(\mathcal{A})[/math]. Аналогично докажем для [math]m_-[/math]

Нужно проверять только [math]\lambda \in \mathbb{R}[/math]

Пусть [math]\lambda \gt m_+[/math]. Проверим, что выполняется критерий вхождения в [math]\rho(\mathcal{A})[/math] из предыдущей теоремы

[math](\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =[/math] [math](\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =[/math] [math]\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le [/math] [math]\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = [/math] [math]\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le[/math] [неравенство Шварца] [math]\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|[/math]

Итого: [math](\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \implies \lambda \in \rho(\mathcal{A})[/math]

Пункт 2. Докажем, что [math]m_+ \in \sigma(\mathcal{A})[/math]

Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.

[math]m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle[/math]

По определению [math]\sup[/math] подбираются [math]x_n : \|x_n\| = 1[/math], [math]\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+[/math]

[math]\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0[/math]

[math]\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}[/math], [math]\mathcal{L}=\mathcal{L}^*[/math]

Далее будем использовать обозначение [math][x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle[/math].

Так как [math]\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0[/math], мгновенно проверяем, что [math][\_, \_][/math] удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для [math][\_, \_][/math] выполняется неравенство Шварца:

[math]|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] [/math]

Надо: [math]\mathcal{L}x_n \to 0[/math]

[math]\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0[/math]

[math]|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle[/math]

Подставим [math]x = x_n[/math], [math]y = \mathcal{L}x_n[/math]:

[math]|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le[/math] [math]\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle [/math]

[math]\|\mathcal{L}x_n\|^4 = |\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le[/math] [по неравенству выше] [math]\langle\mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n\rangle[/math]. Первый множитель стремится к нулю. Проверив ограниченность второго, убедимся, что [math]\mathcal{L}x_n \to 0[/math].

[math]\langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n \rangle \le [/math] [math]\|\mathcal{L}^2 x_n\| \cdot \|\mathcal{L}x_n\| \le [/math] [math]\|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2 = [/math] [math]\|\mathcal{L}^3\| \lt M[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о спектральном радиусе[править]

Утверждение:
Если [math]\mathcal{A}[/math] — самосопряжённый оператор, то [math]r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|[/math]
[math]\triangleright[/math]

Ранее мы доказывали, что [math]r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}[/math]

Если проверить, что [math]\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}[/math], то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: [math]\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|[/math]

Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для [math]n = 1[/math]. Остальное получится автоматически.

[math]\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2[/math]

По самосопряжённости:

[math] = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le[/math] [по неравенству Шварца] [math]\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le[/math] [[math]\|x\| \le 1[/math]] [math]\le \|\mathcal{A}^2x\| \le[/math] [math]\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le [/math] [math]\|\mathcal{A}^2\|[/math]

Итого: [math]\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|[/math]. Осталось доказать обратное неравенство.

[math]\|\mathcal{A}^2 x \| = [/math] [math]\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le[/math] [math]\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le[/math] [math]\|\mathcal{A}\|^2[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Если [math]\mathcal{A}[/math] — компактный, то [math]\sigma(\mathcal{A})[/math] состоит только из счётного числа собственных чисел [math]\lambda_i[/math]. Обозначим за [math]M_{\lambda_i} [/math] собственные подпространства. В силу самосопряжённости, [math]M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}[/math].

Собственные подпространства конечномерны ([math]\dim M_\lambda \lt +\infty[/math]). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.

Теорема Гильберта-Шмидта[править]

Теорема (Гильберт, Шмидт):
Если [math]\mathcal{A}[/math] — самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве [math]\mathcal{H}[/math], а [math]M_{\lambda_i}[/math] — его (оператора) собственные подпространства, то [math]\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Обозначим за [math]M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}[/math], [math]M^\bot[/math] — ортогональное дополнение [math]M[/math] до [math]\mathcal{H}[/math] ([math]\mathcal{H} = M \oplus M^\bot[/math]).

Нужно проверить, что [math]M^\bot = \{0\}[/math]

Элементарно проверяется, что [math]\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda[/math]: [math]\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda[/math]

Проверим, что [math]\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot[/math]: [math]\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp[/math] любому [math]M_\lambda \implies \mathcal{A}x \in M^\bot[/math]

[math]y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle[/math], [math]x\in M^\bot[/math], [math]\langle x, y \rangle = 0[/math]

Значит, [math]\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot[/math]

Рассмотрим [math]\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}[/math]

[math]M^\bot[/math] — гильбертово пространство, [math]\mathcal{A}_0[/math] — самосопряжённое, [math]r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|[/math]

Но все собственные числа [math]\mathcal{A}[/math] задействованы в [math]M_\lambda[/math] [math]r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0 \implies \|\mathcal{A}_0\| = 0 \implies[/math] оператор тривиальный [math]M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0[/math]

Если бы у [math]\mathcal{A}[/math] было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространством, значит, было бы задействовано в [math]\bigoplus[/math]. Значит, [math]\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Разложение резольвенты[править]

Если [math]\mathcal{A}[/math] — самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис [math]\mathcal{H}[/math] можно построить из собственных векторов [math]\varphi_1, \ldots \varphi_n, \ldots[/math].

Любой [math]x \in \mathcal{H}[/math] можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит,

[math]\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n[/math].

Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: [math]\lambda \in \rho(\mathcal{A})[/math] ([math]\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}[/math] непрерывно обратим) [math]\implies y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n[/math], [math]y = \lambda x - \mathcal{A}x[/math]

[math]\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n[/math].

Можно приравнять коэффициенты: [math]\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle[/math].

[math]\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}[/math] (в знаменателе нуля быть не может, потому что [math]\lambda \in \rho(\mathcal{A})[/math]).

[math]R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n[/math].