Изменения

Основным объектов изучения будут полные {{Определение|id=def1|definition='''Клика''' (англ. ''clique'') в [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы|неориентированном графе]] <tex>G(V, ребра которых покрашены E)</tex> {{---}} подмножество [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы|вершин]] <tex>C \subseteq V</tex>, такое что для любых двух различных вершин в несколько цветов<tex>C</tex> существует [[Основные определения теории графов#def_edge_und|ребро]], их соединяющее. В дальнейшемДругими словами, для простоты, полный граф на клика графа <tex>nG(V, E)</tex> вершинах будем называть кликой.{{Определение---}} [[Основные определения теории графов#defFullGraph|definition=Пусть полный]] подграф графа <tex>mG(V, n \in \mathbb NE)</tex>. }}{{Определение|id=def2|definition='''Число Рамсея ''' <tex>r(n, m, n)</tex> — это (англ. ''Ramsey's number'') {{---}} наименьшее из таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске ребер полного графа на <tex>x</tex> вершинах в два цвета найдется клика на <tex>n</tex> вершинах с ребром ребрами цвета <tex>1 </tex> или клика на <tex>m</tex> вершинах с ребром ребрами цвета <tex>2</tex>.}}Существует и другое определение для чисел Рамсея.{{Определение|id=def15|definition='''Число Рамсея''' <tex>r(n, m)</tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что для любого графа <tex>G</tex> на <tex>x</tex> вершинах либо в <tex>G</tex> найдется <tex>K_n</tex>, либо в <tex>\overline G</tex> найдется граф <tex>K_m</tex>. }}[[Файл:RamseyTheoryK5.png|200px|thumb|upright|Раскраска <tex>K_5</tex> без одноцветных треугольников]]Несложно доказать, что данные определения эквивалентны. Достаточно показать, что раскрашенному в два цвета графу <tex>K_n</tex>, можно однозначно поставить в соответствие граф <tex>G</tex> на <tex>n</tex> вершинах. Довольно часто определение для чисел Рамсея дается через задачу "о друзьях и незнакомцах"<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Theorem_on_friends_and_strangers| Theorem on friends and strangers]</ref>. Пусть на вечеринке каждые два человека могут быть либо друзьями, либо незнакомцами, в общем виде задачи требуется найти, какое минимальное количество людей нужно взять, чтобы хотя бы <tex>n</tex> человек были попарно знакомы, или хотя бы <tex>m</tex> человек были попарно незнакомы. Если мы переформулируем данную задачу в терминах графов, то как раз получим определение числа Рамсея <tex>r(n, m)</tex>, представленное ранее. ===Пример===Чтобы получить лучшее представление природы чисел Рамсея, приведем пример. Докажем, что <tex>r(3,3) = 6</tex>. Представим, что ребра <tex>K_6</tex> раскрашены в два цвета: красный и синий. Возьмем вершину <tex>v</tex>. Данной вершине, как и всем другим, инцидентны <tex>5</tex> рёбер, тогда, согласно принципу Дирихле, хотя бы три из них одного цвета. Для определенности положим, что хотя бы <tex>3</tex> ребра, соединяющие вершину <tex>v</tex> с вершинами <tex>r</tex>, <tex>s</tex>, <tex>t</tex>, синие. Если хотя бы одно из ребер <tex>rs</tex>, <tex>rt</tex>, <tex>st</tex> синее, то в графе есть синий треугольник (полный граф на трёх вершинах), иначе, если они все красные, есть красный треугольник. Таким образом, <tex>r(3,3) \leqslant 6 </tex>.Чтобы доказать, что <tex>r(3,3) =Существование6 </tex>, предъявим такую раскраску графа <tex>K_5</tex>, где нет клики на трех вершинах ни синего, ни красного цвета. Такая раскраска представлена на рисунке справа. Понятно, что предъявлять отдельные раскраски для <tex> K_4</tex>, <tex>K_3</tex> не нужно, так как достаточно взять соответствующие подграфы раскрашенного <tex>K_5</tex>. ===Теорема Рамсея. Оценки сверху==={{Теорема|id=t1ter1|authorabout=P. Erdos1, G. SzekeresТеорема Рамсея |statement=Пусть Для любых <tex>n,m \ge 2in \mathbb N</tex> существует число <tex>r(n,m)</tex>-натуральные числа. Тогда , при этом <tex>r(n,m) \le leqslant r(n,m-1)+r(n-1,m)</tex>. Если оба , а также если числа <tex>r(n,m-1)</tex> и <tex>r(n-1,m)</tex>-четные, то неравенство строгоепринимает вид <tex>r(n,m) \leqslant r(n,m-1)+r(n-1,m) - 1</tex> .

 # Докажем с помощью метода математической индукции по <tex>n+m</tex>. <br>'''База:''' <tex>r(n,\;1) = r(1,\;n) = 1</tex>, так как граф, состоящий из одной вершины, можно считать полным графом любого цвета. <br>'''Индукционный переход:''' Пусть <tex>n>1</tex> и <tex>m>1</tex>. Рассмотрим клику на полный чёрно-белый граф из <tex>r(n-1, \;m - 1) + r(n ,\;m- 1, m)</tex> вершинах с рёбрами цветов 1 вершин. Возьмём произвольную вершину <tex>v</tex> и 2 обозначим через <tex>M</tex> и ее произвольную вершину <tex>aN</tex>. Тогда либо от вершины множества вершин, инцидентных <tex>av</tex> отходит хотя бы в чёрном и белом подграфе соответственно. Так как в графе <tex>r(n-1, \;m)+r(n,\;m - 1)=|M|+|N|+1 </tex> рёбер цвета 2 вершин, согласно принципу Дирихле, либо от вершины <tex>a|M|\geqslant r(n-1,\;m)</tex> отходит хотя бы , либо <tex>|N|\geqslant r(n—1n, \;m-1)</tex> рёбер цвета 1. Случаи аналогичны, рассмотрим первый случай и клику на Пусть <tex>|M|\geqslant r(n-1, \;m — 1)</tex> вершинах, соединенных с . Тогда либо в <tex>aM</tex> рёбрами цвета 2. На этих вершинах есть либо клика на существует белый <tex>nK_m</tex> вершинах с ребрами цвета 1, что доказывает теорему, либо клика на в <tex>M</tex> есть чёрный <tex>m—1K_{n-1}</tex> вершинах , который вместе с рёбрами цвета 2. Во втором случае добавим вершину <tex>av</tex> и получим клику на образует чёрный <tex>mK_n</tex> вершинах с рёбрами цвета 2, в этом случае теорема также доказана. Теперь из определения Случай <tex>|N|\geqslant r(n, \;m-1)</tex> следует [[#t1|неравенство]]рассматривается аналогично.2) Рассмотрим клику на # Предположим, <tex>p=r(n-1, \;m-l)+</tex> и <tex>q=r(n,\;m-1, m)</tex> оба чётны. Положим <tex>s=p+q-1</tex> вершинах с рёбрами цветов 1 и 2 и его произвольную вершину рассмотрим чёрно-белый граф из <tex>as</tex>вершин. Если вершине <tex>ad_i</tex> инцидентны хотя бы степень <tex>i</tex>r(n-й вершины в чёрном подграфе, то, согласно [[Лемма о рукопожатиях|лемме о рукопожатиях]],m-<tex> \sum\limits_{i=1)}^s d_i</tex> рёбер цвета 2 или хотя бы  — чётно. Поскольку <tex>r(n-1s</tex> нечётно,m)должно существовать чётное <tex>d_i</tex> рёбер цвета 1. Не умаляя общности, положим, то мы найдём в графе клику на что <tex>d_1</tex> чётно. Обозначим через <tex>nM</tex> вершинах с рёбрами цвета 1 или клику на и <tex>mN</tex> вершинах с рёбрами цвета 2. Остаётся лишь случайвершины, когда инцидентные вершине <tex>a1</tex> инцидентны ровно в чёрном и белом подграфах соответственно. Тогда <tex>r(n, m|M|=d_1</tex> и <tex>|N|=s-1)-1d_1</tex> рёбер цвета 2, то же самое для всех остальных вершиноба чётны. Это означаетСогласно принципу Дирихле, что в графе из рёбер цвета 2 всего либо <tex>r(n, m-1)+r(n|M|\geqslant p-1</tex>, m)-1либо <tex>|N|\geqslant q</tex> вершин и степень каждой вершины равна . Так как <tex>|M|</tex>r(nчётно, m-1)а <tex>p-1</tex>. Однаконечётно, тогда в графе нечётное количество вершин нечётной степени. Противоречие показывает нампервое неравенство можно усилить, так что в случае, когда либо <tex>r(n, m-1)|M|\geqslant p</tex> и , либо <tex>r(n-1,m)|N|\geqslant q</tex> — чётные. <br> Далее проводим рассуждения, выполняется неравенство аналогичные тем, что присутствуют в первом пункте теоремы. Таким образом, <tex>r(n, m)<\leqslant r(n, m-1)+r(n-1, m)-1</tex>.

{{Утверждение|id=ts1u1|about=Следствие 1|statement=Для натуральных чисел <tex>m,n</tex> выполняется равенство <tex>r(n,m) \le leqslant C_{n+m-2}^{n-1}</tex>

Очевидно, <tex>C^{n-1}_{n+m-2}=1</tex> при <tex>n=1</tex> или <tex>m=1</tex>, как и соответствующие числа Рамсея. Индукцией по <tex>n</tex> и <tex>m</tex> при <tex>n,m \ge geqslant 2</tex> получаем <tex>r(n,m) \le leqslant r(n,m-1)+r(n-1,m) \le leqslant C^{n-1}_{n+m-3}+C^{n-2}_{n+m-3}=C^{n-1}_{n+m-2}</tex>

===Экстремальные примеры и оценки Оценки снизу===Задача нахождения точных значений чисел Рамсея чрезвычайно трудна, этих значении известно немногим больше, чем перечислено выше.{{Определение|id=def2|definition=Графом Рамсея <tex>R(n,m)</tex> назовем такой граф на <tex>r(n,m)-1</tex> вершинах, не содержащий ни клики на <tex>n</tex> вершинах ни независимого множества на <tex>m</tex> вершинах(то есть, граф на ребрах цвета 1 из раскраски в два цвета ребер графа <tex>K_{r(m,n)-1}</tex>, не содержащей ни клики на <tex>n</tex> вершинах с рёбрами цвета 1 ни клики на <tex>m</tex> вершинах с рёбрами цвета 2).}}Граф <tex>R(3,3)</tex> — это цикл на пяти вершинах. Экстремальный граф <tex>R(3,4)</tex> — это цикл на 8 вершинах с проведёнными четырьмя главными диагоналями. Графы <tex>R(3,5)</tex> и <tex>R(4,4)</tex> имеют интересную числовую природу.

{{Теорема|id=ter2|about=2, Теорема Эрдеша|statement=Для любого натурального числа <tex>k \geqslant 2</tex> выполняется неравенство <tex>r(k,k) \geqslant 2^{k/2}</tex>|proof=Так, если ассоциировать 13 вершин графа как <tex>Rr(32,52)=2</tex> с элементами поля вычетов по модулю 13, то рёбра будут соединять вычеты разность которых — кубический вычет по модулю 13 достаточно рассмотреть случай <tex>k \geqslant 3</tex>.Пусть <tex>g(то естьn, 1k)</tex> доля среди помеченных графов на <tex>n</tex> вершинах тех, 5что содержат клику на <tex>k</tex> вершинах. Всего графов на наших вершинах, 8 очевидно <tex>2^{C^2_n}</tex> (каждое из возможных рёбер <tex>C^2_n</tex> можно провести или 12не провести).

Если считать 17 вершин графа Посчитаем графы с кликой на <tex>k</tex> вершинах следующим образом: существует <tex>C^k_n</tex> способов выбрать <tex>R(4,4)k</tex> элементами поля вычетов по модулю 17вершин для клики в нашем множестве, то после чего все рёбра будут соединять вычетымежду ними будем считать проведенными, а остальные ребра выбираются произвольно. Таким образом, разность которых — квадратичный вычет по модулю 17 (то естькаждый граф с кликой на <tex>k</tex> вершинах будет посчитан, 1причём некоторые даже более одного раза. Количестве графов с кликой оказывается не более, чем <tex>C^k_n\cdot 2^{C^2_n-C^2_k}</tex>. Следовательно, 4, 8, 9, 13, 15 или 16).

Существует гипотеза что любой граф <tex>Rg(n,k,) \leqslant \dfrac{C^k_n\cdot 2^{C^2_n-C^2_k}}{2^{C^2_n}}=\dfrac{n!}{(n-k)!\cdot k! \cdot 2^{C^2_k}}=\dfrac{(n-k+1)\cdot(n-k+2)\cdot\ldots \cdot(n-1)\cdot n}{ k! \cdot 2^{C^2_k}}<\dfrac{n^k}{k!\cdot 2^{C^2_k}}</tex> изоморфен своему дополнению(или что в раскраске полного графа на <tex>r(k,k*)-1</tex> вершинах в два цвета граф с рёбрами цвета 1 обязательно изоморфен графу с рёбрами цвета 2). Однако, это не белее чем красивое предположение, в обоснование которого можно положите лишь немногие известные примеры.

{{Теорема|id=t2|author=P. Erdos|statement=Для любого натурального числа Подставив <tex>k \ge n<2</tex> выполняется неравенство <tex>r(k,k) \ge k^{k/2}</tex>|proof=Так как в неравенство <tex>R(2,2*)=2</tex>, достаточно рассмотреть случай <tex>k \ge 3</tex>.Зафиксируем множество различных помеченных вершин <tex>v_i,...,v_n</tex>. Пусть <tex>g(n,k)</tex> — деля среди всех графов на вершинах <tex>v_i,...,v_n</tex> тех графов, что содержат клику на <tex>k</tex> вершинах. Всего графов на наших вершинах, очевидно <tex>2^{C^2_n}</tex> (каждое из возможных <tex>C^2_n</tex> можно провести или не провести).мы получаем

Посчитаем графы с кликой на <tex>g(n,k)<\dfrac{2^{k^2/tex> вершинах так: существует <tex>2}\cdot 2^{-C^k_n<2_k}}{k!}=\dfrac{2^{k/tex> способов выбрать 2}}{k!}<tex>k\dfrac12</tex> вершин для клики в нашем множестве, после чего все рёбра между ними будем считать проведенными, а остальные ребра выбираются произвольным образом. Таким образом, каждый граф с кликой на при <tex>k\geqslant 3</tex> вершинах будет посчитан причём некоторые даже более одного раза. Количестве графов с кликой оказывается не более, чем <tex>C^k_n*2^{C^2_n-C^2_k}</tex>. Следовательно,

Предположим, что <tex>r(k,k)=n<2^{k/2}</tex> и разобьём все графы на <tex>n</tex> вершинах на пары <tex>\langle G, \overline G \rangle</tex>. Так как <tex>g(n,k) <\dfrac12</tex>, то существует пара <tex>\langle G, \le overline G \rangle</tex>, в которой ни <tex>G</tex>, ни <tex>\frac{C^k_n}{overline G</tex> не содержат подграфа на <tex>k</tex> вершинах. Рассмотрим раскраску рёбер <tex>K_n</tex> в два цвета, в которой ребра цвета <tex>1</tex> образуют граф <tex>G</tex>. В такой раскраске нет клики на <tex>k</tex> вершинах ни цвета <tex>1</tex>, ни цвета <tex>2^{C^2_k}}<\frac{/tex>, получили противоречие. Значит <tex>n^</tex> было выбрано неверно. Из этого следует <tex>r(k}{,k!*) \geqslant 2^{C^2_k}k/2}</tex>.}}

Подставив ===Свойства чисел Рамсея===Следующими свойствами удобно пользоваться при подсчете значений чисел Рамсея <tex>r(n,m)</tex> на практике.* <tex>r(n,m) = r(m,n)</tex>* <tex>r(1,m) = 1<2^{k/tex>* <tex>r(2},m) = m</tex> в [[#t2|неравенстве]] мы получаем

===Значения чисел Рамсея===Задача нахождения точных значений чисел Рамсея чрезвычайно трудна, их известно довольно мало. Далее приведена таблица Станислава Радзишевского, в которой присутствуют практически все известные числа Рамсея или же промежутки, в которых они находятся.<center>{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"|+!colspan="11"|Числа Рамсея|-align="center"! width="6%" |<font color="black"><tex>g(n,k)\ m<\frac{2^{k^/tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>1 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>2</tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>3 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>4 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>5 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>6 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>7 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>8 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>9 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>10</tex></font>|-align="center"! <font color="black"><tex>1 </tex></font>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </2}*2^{tex>|-C^2_k}}{kalign="center"!}<font color=\frac{"black"><tex>2^{k</tex></font>| <tex>1 </tex>| <tex>2}}{k</tex>| <tex>3 </tex>| <tex>4 </tex>| <tex>5 </tex>| <tex>6 </tex>| <tex>7 </tex>| <tex>8 </tex>| <tex>9 </tex>| <tex>10</tex>|-align="center"!}<\frac12font color="black"><tex>3</tex></font>| <tex>1</tex> при | <tex>k \ge 3</tex>| <tex>6</tex>| <tex>9</tex>| <tex>14</tex>| <tex>18</tex>| <tex>23</tex>| <tex>28</tex>| <tex>36</tex>| <tex>[40, 42]</tex>|-align="center"! <font color="black"><tex>4</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>4</tex>| <tex>9</tex>| <tex>18</tex>| <tex>25</tex>| <tex>[36, 41]</tex>| <tex>[49, 61]</tex>| <tex>[59, 84]</tex>| <tex>[73, 115]</tex>| <tex>[92, 149]</tex>|-align="center"! <font color="black"><tex>5</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>5</tex>| <tex>14</tex>| <tex>25</tex>| <tex>[43, 48]</tex>| <tex>[58, 87]</tex>| <tex>[80, 143]</tex>| <tex>[101, 216]</tex>| <tex>[133, 316]</tex>| <tex>[149, 442]</tex>|-align="center"! <font color="black"><tex>6</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>6</tex>| <tex>18</tex>| <tex>[36, 41]</tex>| <tex>[58, 87]</tex>| <tex>[102, 165]</tex>| <tex>[115, 298]</tex>| <tex>[134, 495]</tex>| <tex>[183, 780]</tex>| <tex>[204, 1171]</tex>|-align="center"! <font color="black"><tex>7</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>7</tex>| <tex>23</tex>| <tex>[49, 61]</tex>| <tex>[80, 143]</tex>| <tex>[115, 298]</tex>| <tex>[205, 540]</tex>| <tex>[217, 1031]</tex>| <tex>[252, 1713]</tex>| <tex>[292, 2826]</tex>|-align="center"! <font color="black"><tex>8</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>8</tex>| <tex>28</tex>| <tex>[56, 84]</tex>| <tex>[101, 216]</tex>| <tex>[127, 495]</tex>| <tex>[217, 1031]</tex>| <tex>[282, 1870]</tex>| <tex>[329, 3583]</tex>| <tex>[343, 6090]</tex>|-align="center"! <font color="black"><tex>9</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>9</tex>| <tex>36</tex>| <tex>[73, 115]</tex>| <tex>[133, 316]</tex>| <tex>[183, 780]</tex>| <tex>[252, 1713]</tex>| <tex>[329, 3583]</tex>| <tex>[565, 6588]</tex>| <tex>[580, 12677]</tex>|-align="center"! <font color="black"><tex>10</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>10</tex>| <tex>[40, 42]</tex>| <tex>[92, 149]</tex>| <tex>[149, 442]</tex>| <tex>[179, 1171]</tex>| <tex>[289, 2826]</tex>| <tex>[343, 6090]</tex>| <tex>[581, 12677]</tex>| <tex>[798, 23556]</tex>|}</center>

Предположим, что ===Числа Рамсея для раскрасок в несколько цветов===Теперь обобщим числа Рамсея на произвольное количество цветов.{{Определение|id=def4 |definition='''Число Рамсея''' <tex>r(kn_1,\ldots,kn_k)=n<2^{k/2}</tex> и разобьём все графы на n вершинах на пары — это наименьшее из всех таких чисел <tex>G, x \in \overline Gmathbb N</tex> (граф и его дополнение) Так как , что при любой раскраске рёбер полного графа на <tex>g(n,k)<\frac12x</tex>, то существует пара, вершинах в которой ни <tex>Gk</tex>, ни цветов для некоторого <tex>i \in [1 \overline Gldots k]</tex> не содержат клики обязательно найдётся клика на <tex>kn_i</tex> вершинах. Рассмотрим раскраску рёбер <tex>K_n</tex> в два с рёбрами цвета, в которой ребра цвета 1 образуют граф <tex>Gi</tex>. В такой раскраске нет клики на <tex>k</tex> вершинах ни цвета 1, ни цвета 2n_1, противоречие. Следовательно <tex>r(k\ldots,k) n_k \in \ge 2^{k/2}mathbb N</tex>.

 {{УтверждениеТеорема|id=ts2ter3|about=Следствие 23,Теорема Рамсея для нескольких цветов|statement=Для любых <tex>\forall k,m n_1, \ldots n_k \in \mathbb N</tex> такихсуществует число Рамсея <tex>r(n_1, что \ldots,n_k)</tex>, при этом <tex>r(n_1,\ldots,n_k)\leqslant r(n_1,\ldots, n_{k-2 \le }, r(n_{k -1},\le m;n_k)).</tex>|proof=Возьмем граф из <tex>r(n_1, выполняется неравенство \ldots, n_{k-2}, r(n_{k-1}, n_k))</tex> вершин и окрасим его рёбра в <tex>k</tex> цветов. Пока что будем считать цвета <tex>k-1</tex> и <tex>k</tex> одним цветом. Тогда граф будет <tex>(k-1)</tex>-цветным. Согласно определению числа Рамсея <tex>r(n_1,\ldots,n_{k-2},r(n_{k-1},mn_k) )</tex>, такой граф либо содержит <tex>K_{n_i}</tex> для некоторого цвета <tex>i</tex>, такого что <tex>1\leqslant i\ge leqslant k-2^</tex>, либо <tex>K_{r(n_{k-1},n_k)}</tex>, окрашенный общим цветом <tex>k-1</tex> и <tex>k</tex>. В первом случае доказательство завершено. Во втором случае вернём прежние цвета и заметим, что, по определению числа Рамсея, полный <tex>r(n_{k-1},n_k)</tex> — вершинный граф содержит либо <tex>K_{n_{k-1}}</tex> цвета <tex>k-1</2tex>, либо <tex>K_{n_k}</tex>цвета <tex>k</tex>. Таким образом любое число Рамсея для раскраски в <tex>k</tex> цветов ограничено некоторым числом Рамсея для меньшего количества цветов, следовательно, <tex>r(n_1,\ldots,n_k)</tex> существует для любых <tex> k, n_1, \ldots n_k, \in \mathbb N </tex>, и теорема доказана.

===Числа Рамсея для раскрасок в несколько цветов=больших размерностей==

|id=def2 def5

Пусть <tex>m,k,n_1,...\ldots ,n_k \in \mathbb N</tex>, причём <tex>n_1,\ldots ,n_k \geqslant m</tex>. '''Число Рамсея ''' <tex>rr_m(k;n_1,...\ldots ,n_k)</tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске рёбер полного графа на <tex>m</tex>-элементных подмножеств <tex>x</tex> вершинах -элементного множества <tex>M</tex> в <tex>k</tex> цветов для некоторого <tex>i \in [1..\ldots k]</tex> обязательно найдётся клика на такое множество <tex>W_i</tex>, что <tex>|W_i|=n_i</tex> вершинах с рёбрами цвета и все <tex>m</tex>-элементные подмножества множества <tex>W_i</tex> имеют цвет <tex>i</tex>. Число <tex>m</tex> называют '''размерностью''' числа Рамсея <tex>r_m(n_1,\ldots ,n_k)</tex>.

|id=t3. ter4|about=4, Теорема Рамсея для чисел больших размерностей|statement=Пусть <tex>m,k,n_1,...\ldots,n_k \ge 2</tex> {{--- }} натуральные числа. Тогда выполняются следующие утверждения:, причем <tex>1) r(k;n_1,...,n_k) \le r(k;n_1-1geqslant 2</tex>,n_2,...,n_k)+r(k;а <tex>n_1,n_2-1,...\ldots ,n_k)++r(k;n_1,n_2,...,n_k-1)-k+2\geqslant m</tex>. Тогда существует число Рамсея <tex>2)rr_m(k;n_1,...,n_k) \le \frac{(n_1+n_2+...+ldots n_k)!}{n_1!*n_2!*...*n_k!}</tex>.

1) Доказательстве полностью аналогично пункту 1 доказательства [[#t1|теоремы]] Мы будем доказывать теорему по индукции. Начнем со случая <tex>k=2) Доказательство аналогично [[#ts1|следствию 1]]</tex>. Нужно лишь убедиться в очевидном неравенстве Приступая к доказательству для случаячисла <tex>r_m(n_1, когда хотя бы одно из n_2)</tex> мы будем считать доказанным утверждение теоремы для чисел Рамсея всех меньших размерностей и чисел Рамсея размерности <tex>m</tex> с меньшей суммой <tex>n_1,.+n_2</tex>.В качестве базы будем использовать случай чисел Рамсея размерности <tex>2</tex> разобранный выше.Итак, мы докажем,n_kчто </tex> равно r_m(n_1,n_2)-1 \leqslant p=r_{m-1}(левая часть в этом случае равна r_m(n_1-1, а праваяn_2),r_m(n_1, очевидно не меньше n_2-1) )</tex>. <br> Для каждого множества <tex>M</tex> через <tex>M^k</tex> обозначим множество всех <tex>k</tex>-элементных подмножеств <tex>M</tex>. <br> Рассмотрим <tex>(p+1)</tex>-элементное множество <tex>M</tex> и заметитьвыделим в нём элемент <tex>a</tex>. Пусть <tex>M_0=M \setminus \{ a \}</tex>. Пусть <tex>\rho:M^m\rightarrow \{1, 2 \} </tex> — произвольная раскраска в два цвета. Рассмотрим раскраску <tex>\rho': M_0^{m-1} \rightarrow \{1, 2\} </tex> , что полиномиальные коэффициенты из очевидных комбинаторных соображений удовлетворяют соотношениюопределённую следующим образом: для каждого множества <tex>B \in M_0^{m-1}</tex> пусть <tex>\fracrho'(B) = \rho(B \cup \{a \})</tex>. <br> Так как <tex>|M_0|=p</tex>, либо существует <tex>r_m(n_1+— 1,n_2+...+n_k)!</tex>-элементное подмножество <tex>M_1 \subset M_0</tex>, <tex>\rho'(B)=1</tex> на всех <tex>B \in M_1^{m-1}{</tex>, либо существует <tex>r_m(n_1!*,n_2!*-1)</tex>-элементное подмножество <tex>M_2 \subset M_0</tex>, <tex>\rho'(B)=2</tex> на всех <tex>B \in M_2^{m-1}</tex>.Случаи аналогичны, рассмотрим первый случай и множество <tex>M_1</tex>.<br> По индукционному предположен из <tex>|M_1|=r_m(n_1-1,n_2)</tex> следует, что либо существует <tex>n_1-1</tex>-элементное подмножество <tex>N_1 \subset M_1</tex>, <tex>\rho(A)=1</tex> на всех <tex>A \in N^m_1</tex>, либо существует <tex>n_2</tex>-элементное подмножество <tex>N_2 \subset M_1</tex>, <tex>\rho(A)=2</tex> на всех <tex>A \in N_2^m</tex>.*n_k!}Во втором случае искомое подмножество найдено (это <tex>N_2</tex>), рассмотрим первый случай и множество <tex>N=N_1 \sumcup \limits_{i a\}</tex>. Пусть <tex>A \in N^m</tex>. Если <tex>A \not\ni a</tex>, то <tex>A \in N_1^m</tex> и следовательно <tex>\rho(A)= 1</tex>. Если же <tex>A \ni a</tex>, то множество <tex>A \setminus \{a\}\in N_1^k{m-1} \fracsubset M_1^{m-1}</tex> и поэтому <tex>\rho(A)=\rho'(A \setminus \{a \})=1</tex>. Учитывая, что <tex>|N|=n_1+</tex>, мы нашли искомое подмножество и в этом случае.# При <tex>k>2</tex> будем вести индукцию по <tex>k</tex> с доказанной выше базой <tex>k=2</tex>..+При <tex>k>2</tex> мы докажем неравенство <tex>r_m(n_1,\ldots ,n_k) \leqslant q=r_m(r_m(n_in_1,\ldots ,n_{k-1})+...+,n_k)!}{n_1!*</tex>.<br> Для этого мы рассмотрим множество <tex>M</tex> на <tex>q</tex> вершинах и произвольную раскраску <tex>\rho:M^m \rightarrow [1 \ldots k]</tex> в <tex>k</tex>цветов.Рассмотрим раскраску <tex>\rho':M^m \rightarrow \{0,k\}</tex>, в которой цвета <tex>1,\ldots,k-1</tex> раскраски <tex>\rho</tex> склеены в цвет <tex>0</tex>.*Тогда существует либо такое подмножество <tex>M_0 \subset M</tex>, что <tex>|M_0|=r_m(n_in_1,\ldots ,n_{k-1})</tex> и <tex>\rho'(A)=0</tex> на всех <tex>A \in M_0^m</tex>, либо существует такое <tex>n_k</tex>-элементное подмножество <tex>M_k \subset M</tex>, что <tex>\rho(A)!*=\rho'(A)=k</tex> на всех <tex>A \in M^m_k</tex>.Во втором случае <tex>M_k</tex> — искомое подмножество, а в первом случае заметим, что на любом подмножестве <tex>A \in M_0^m</tex> из <tex>\rho'(A)=0</tex> следует <tex>\rho(A) \in [1 \ldots k-1]</tex>..*n_k!}Исходя из размера множества <tex>M_0</tex> по индукционному предположению получаем, что найдется искомое подмножество множества <tex>M</tex> для одного из цветов <tex>1,\ldots ,k-1</tex> Следовательно, 2 таким образом неравенство доказано, а из данной теоремы выводится из неравенства 1 по индукцииэтого следует и существование числа Рамсея <tex>r_m(n_1,\ldots ,n_k)</tex>.

==Числа Рамсея больших размерностейдля произвольных графов==Еще один способ обобщения классической теории Рамсея — замена клик на произвольные графы-шаблоны.

|id=def5. def8

Пусть <tex>mH_1,k,n_1,...,n_k \in \mathbb N</tex>, причём <tex>n_1,...,n_k \ge mH_2</tex>— графы. '''Число Рамсея ''' <tex>r_mr(k; n_1H_1,...,n_kH_2)</tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске <tex>m</tex>-элементных подмножеств рёбер полного графа на <tex>x</tex>-элементного множества <tex>M</tex> вершинах в <tex>k</tex> цветов для некоторого <tex>i \in два цвета обязательно найдется подграф, [[1..kОсновные определения теории графов#isomorphic_graphs|изоморфный]]</tex> обязательно найдётся такое множество <tex>W_i</tex>, что <tex>|W_i|=n_iH_1</tex> и все с рёбрами цвета <tex>m1</tex>-элементные подмножества множества или подграф изоморфный <tex>W_iH_2</tex> имеют цвет с рёбрами цвета <tex>i2</tex>.

|id=def6def16

Число Пусть <tex>mH_1,H_2</tex> называется размерностью числа — графы. '''Число Рамсея ''' <tex>r_mr(k;n_1H_1,H_2)</tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>,...что для любого графа <tex>G</tex> на <tex>x</tex> вершинах либо в <tex>G</tex> найдется подграф изоморфный <tex>H_1</tex>,n_k) либо в <tex>\overline G</tex> найдется подграф изоморфный <tex>H_2</tex>.

Несложно показать, что эти определения эквивалентны (аналогично определениям для классических чисел Рамсея). Из результатов классической теории Рамсея становится понятно, что числа <tex>r(H_1,H_2)</tex> существуют. {{УтверждениеЛемма|id=u2 l1|about=1|statement=Пусть <tex>m>1</tex>, а граф <tex>H</tex> таков, что <tex>v(H) \geqslant (m-1)(n-1)+1</tex> и <tex>\alpha(H) \leqslant m-1</tex>, где <tex>v(H) Нетрудно понять что числа Рамсея размерности 2 — это определённые выше числа Рамсея </tex> {{---}} количество вершин в графе <tex>H</tex>. Тогда граф <tex>H</tex> содержит в качестве подграфа любое [[Основные определения теории графов#defTree|дерево]] на <tex>n</tex> вершинах.|proof=Зафиксируем <tex>m</tex> и проведем индукцию по <tex>n</tex>.  '''База:''' для клик<tex>n=1</tex> очевидно.

2) При количестве цветов'''Индукционный переход:''' Пусть верно для <tex>n-1</tex>, равном 2докажем для <tex>n</tex>. Рассмотрим произвольное дерево <tex>T_n</tex> на <tex>n</tex> вершинах, этот параметр мы будем опускать и писать пусть дерево <tex>T_{n-1}</tex> получено из <tex>T_n</tex> удалением висячей вершины. Пусть <tex>U</tex> — максимальное независимое множество вершин графа <tex>H</tex>. Тогда <tex>r_m|U|=\alpha(n_1H) \leqslant m-1</tex>,n_2следовательно <tex>v(H-U)\geqslant (m-1)(n-2)+1</tex> вместо и очевидно <tex>r_m\alpha(2;n_1,n_2H-U)\leqslant m-1</tex>.По индукционному предположению, граф <tex>H-U</tex> содержит в качестве подграфа дерево <tex>T_{n-1}</tex>. Пусть <tex>a</tex> — вершина этого дерева, присоединив к которой висячую вершину, мы получим дерево <tex>T_n</tex>. Заметим, что множество <tex>U \cup</tex> <tex>\{a\}</tex> не является независимым ввиду максимальности <tex>U</tex>. Следовательно, вершина <tex>a</tex> смежна хотя бы с одной вершиной <tex>x \in U</tex>. Отметим, что <tex>x</tex> не принадлежит множеству вершин графа <tex>T_{{Определение|id=def7|definition=Для каждою множества n-1}</tex> и, присоединив вершину <tex>x</tex> к вершине <tex>Ma</tex> через дерева <tex>M^kT_{n-1}</tex> мы будем обозначать множество всех , получим дерево <tex>kT_n</tex>-элементных подмножеств в качестве подграфа графа <tex>MH</tex>.

|id=th5ter5 |author=5, Теорема Хватала|statement=Пусть <tex>r(T_n,K_m)=(m,k,n_1,...,n_k-1)(n-1)+1</tex> - натуральные числа, причем где <tex>k \ge 2T_n</tex>, а — дерево на <tex>n_1,...,n_k \ge mn</tex>вершинах. Тогда число Рамсея <tex>r_m(k;n_1,...n_k)</tex> существует(то есть, конечно)

Сперва докажем, что <tex>r(T_n,K_m) \geqslant (m-1)(n-1)+1</tex>. Для этого предъявим раскраску рёбер графа <tex>K_{(m-1)(n-1)Мы будем доказывать теорему }</tex>, в которой нет ни одного связного подграфа на <tex>n</tex> вершинах с рёбрами цвета <tex>1</tex> и нет клики на <tex>m</tex> вершинах с рёбрами цвета <tex>2</tex>. Разобьём вершины графа на <tex>m-1</tex> клику по индукции<tex>n-1</tex> вершине и покрасим все рёбра этих клик в цвет <tex>1</tex>. Тогда любой связный подграф с рёбрами цвета <tex>1</tex> содержит не более <tex>n-1</tex> вершины, в частности, нет подграфа с рёбрами цвета <tex>1</tex>, изоморфного <tex>T_n</tex>. Начнем со случая Рёбра цвета <tex>k=2</tex>(то есть, все оставшиеся рёбра) образуют <tex>(m-1)</tex>-дольный граф, в котором, очевидно, нет клики на <tex>m</tex> вершинах. Приступая к доказательству для Теперь воспользуемся вторым [[#def16|определением]] числа Рамсея <tex>r_mr(n_1H_1,n_2H_2)</tex> мы будем считать доказанным утверждение теоремы для чисел Рамсея всех меньших размерностей . Рассмотрим произвольный граф <tex>G</tex> на <tex>{(m-1)(n-1)+1}</tex> вершинах. Предположим, что в графе <tex>G</tex> не существует клики на <tex>m</tex> вершинах. Тогда <tex>m>1</tex> и чисел Рамсея размерности <tex>\alpha( \overline G) \leqslant m-1</tex> с меньшей суммой . По [[#l1|лемме <tex>1</tex>]], граф <tex>n_1+n_2\overline G</tex>. В содержит в качестве базы будем использовать случай чисел Рамсея размерности 2 разобранный выше. Итакподграфа любое дерево на <tex>n</tex> вершинах, в частности, мы докажемдерево, чтоизоморфное <tex>T_n</tex>.}}

==Индуцированная теорема Рамсея=={{Определение|id=def9|definition=Граф <tex>H</tex>r_mназывается '''индуцированным подграфом''' (n_1,n_2англ. ''induced subgraph'')-1 \le p=r_{m-1}(r_m(n_1-1графа <tex>G</tex> если две вершины в <tex>H</tex> соединены ребром тогда и только тогда,n_2),r_m(n_1,n_2-1))когда они смежны в <tex>G</tex>. }}

Рассмотрим <tex>(p+1)</tex>-элементное множество <tex>M</tex> и выделим в нём элемент <tex>a</tex>. Пусть <tex>M_0=M</tex>\{<tex>a</tex>}. Пусть <tex>\alpha:M^m\rightarrow</tex> {1,2} — произвольная раскраска в два цвета. Рассмотрим раскраску <tex>\alpha': M_0^{m-1}\rightarrow</tex> {1,2}, определённую следующим образом: для каждого множества <tex>B \in M_0^{m-1}</tex> пусть <tex>\alpha'(В) Определение|id= \alpha(B U</tex>{a}<tex>)</tex>.def10Так как <tex>|M_0|definition=pПусть </tex>, либо существует H</tex>r_m(n_1 — 1,n_2)</tex>-элементное подмножество граф. Граф <tex>M_i \subset M_0G</tex>, для которого <tex>\alphaбудем называть '''рамсеевским графом''(В)=1</tex> на всех <tex>B \in M_1^{m-1}</tex>, либо существует <tex>r_m(n_1,n_2-1)</tex>-элементное подмножество <tex>M_2 \subset M_0</tex>, для которого <tex>\alpha' (B)=2</tex> на всех <tex>B \in M_2^{m-1}</tex>англ. Случаи аналогичны, рассмотрим первый случай и множество <tex>M_1</tex>.По индукционному предположен из <tex>|M_1|=r_m(n_1-1,n_2''Ramsey’s graph'')для </tex> следует, что либо существует <tex>n_1-1</tex> элементное подмножество <tex>N_1 \subset M_1H</tex>, для которого если при любой раскраске рёбер графа <tex>\alpha(A)=1G</tex> на всех <tex>A \in N^m_1</tex>, либо в два цвета существует одноцветный по рёбрам индуцированный подграф графа <tex>n_2</tex>-элементное подмножество <tex>N_2 \subset M_1</tex>, для которого <tex>\alpha(A)=2G</tex> на всех изоморфный <tex>A \in N_2^mH</tex>. Во втором случае искомое подмножество найдено (это <tex>N_2</tex>), рассмотрим первый случай и множество <tex>N=N_1 \cup </tex>{<tex>a</tex>}. Пусть <tex>A \in N^m</tex>. Если <tex>A \not\ni a</tex>, то <tex>A \in N_1^m</tex> и следовательно <tex>\alpha(A)=1</tex>. Если же <tex>A \ni a</tex>, то множество <tex>A</tex>\{<tex>a</tex>}<tex>\in N_1^{m-1} \subset M_1^{m-1}</tex> и поэтому <tex>\alpha(A)=\alpha'(A</tex>\{<tex>a</tex>}<tex>)=1</tex>. Учитывая, что <tex>|N|=n_1</tex>, мы нашли искомое подмножество и в этом случае.

2{{Определение|id=def11|definition='''Индуцированным числом Рамсея''' (англ. ''induced Ramsey’s number'') <tex>r_{ind}(H)При </tex>kдля графа <tex>2H</tex> будем вести индукцию по называть минимальное число <tex>x \in \mathbb N</tex>, такое что существует рамсеевский граф на <tex>kx</tex> с доказанной выше базой вершинах для графа <tex>k=2H</tex>. При }}Заметим, что при замене произвольного графа <tex>k>2H</tex> на клику мы докажем неравенствополучаем частный случай классической теоремы Рамсея.

Для этого мы рассмотрим множество <tex>M</tex> на <tex>q</tex> вершинах и произвольную раскраску <tex>\alpha:M^m \rightarrow [1..k]</tex> в <tex>k</tex>цветов. Рассмотрим раскраску <tex>\alpha':M^m \rightarrow </tex>{<tex>0,k</tex>}, в которой цвета <tex>1,...,k-1</tex> раскраски <tex>\alpha</tex> склеены в цвет 0. Тогда существует либо таксе подмножество <tex>M_0 \subset M</tex>, что <tex>{Теорема|M_0id=ter6 |about=r_m(k-1;n_16,...,n_{k-1})</tex> и <tex>\alpha'(A)Индуцированная теорема Рамсея|statement=0</tex> на всех Для любого графа <tex>A \in M_0^mH</tex>, либо существует такое <tex>n_k</tex>-элементное подмножество рамсеевский граф <tex>M_k \subset M</tex>, что <tex>\alpha(A)=\alpha'(A)=k</tex> на всех <tex>A \in M^m_kG</tex>. Во втором случае <tex>M_k</tex> — искомое подмножество, а в первом случае заметим, что на любом подмножестве <tex>A \in M_0^m</tex> из <tex>\alpha'(A)=0</tex> следует <tex>\alpha(A) \in [1..k-1]</tex>. Исходя из размера множества <tex>M_0</tex> по индукционному предположению получаем, что найдется искомое подмножество множества <tex>M</tex> для одного из цветов <tex>1,...,k-1</tex>

==Числа Рамсея для произвольных графов==Еще один способ обобщения классической теории Рамсея — замена клик на произвольные графы-шаблоны.{{Определение|id=def11|definition=Пусть Доказательство <texref>H_1,h_2<[https://tex> — два данных графаmath.la.asu. Число Рамсея <tex>r(H_1,H_2)<edu/tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N<~andrzej/tex>, что при любой раскраске рёбер полного графа на <tex>x<teach/tex> вершинах в два цвета обязательно найдется подграф, изоморфный <tex>H_1<mat598/tex> с рёбрами цвета 1 или подграф изоморфный <tex>H_2lec8.pdf Induced Ramsey Theorem Proof]</texref> с рёбрами цвета 2}}данной теоремы было приведено независимо различными математиками, однако благодаря ему получилось предоставить только очень грубые оценки значений индуцированных чисел Рамсея. В принципе из результатов классической теории данный момент проблема нахождения сколько-нибудь точных границ индуцированных чисел Рамсея понятие, что числа <tex>r(H_1,H_2)</tex> обязательно существуют (то есть, конечны)является нерешенной задачей математики.

Лемма 10==Особенности теории==Результаты, полученные в теории Рамсея, обладают двумя главными характеристиками.1Во-первых, они не позволяют получить сами структуры: теоремы лишь доказывают, Пусть т > 1что они существуют, а граф Н такоено алгоритма для их нахождения не предлагают. чтои(Н) > (то—1)(п—1)+1 и <уЕдинственным способ найти нужную конструкцию зачастую является перебор.{Н) < то — 1Во-вторых, чтобы искомые структуры существовали, обычно требуется, чтобы объекты, их содержащие, состояли из очень большого числа элементов. Зависимость числа элементов объекта от размера конструкции обычно, как минимум, экспоненциальная. Тосоа граф Н содержит е качестве посграфа лкбсе дереве ьап вершинах

Доказательство, Зафиксируем т и проведем индукцию не п==См. База для п — 1 очевидна. Докажем индукционный переход п — 1 —> п (п > 1), Рассмотрим произвольнее дереис Тп на п иершинах. пусть дереЕС Tn_i получено из Тп удалением висячей Еергнины Пусть U — максимальнее независимое множестве ьершин также==*[[Раскраска графа Н Тогда \U\ = а(РР) < m — 1. следовательно v{H—U) > (то—1)(п-2)+1 и очевидно a(H-U) < m—1.]]По индукционному предположению, граф H — U содержит *[[Раскраска двудольного графа в качестве подграфа дерево Tn_i Пусть а — Еерглина этого дерева, присоединив к ксторей Еисячую ьершину мы получим дереве Тп. Заметим, чте множе­ство U U {а} не является независимым ввиду максимальности U. следо­вательно, вершина а смежна хотя с одней Есршнной х Е U. Стметим, что х 0 V(Tn-i) и, присоединив ьершину х к ьершине а дерева Tn_i, получим дереЕС Тп е качестве подграфа графа Н. □два цвета]]*[[Теорема Турана об экстремальном графе]]

Теорема 10.5. (V. Chvatal) Пусть Тп — дерево на п верьиьпах. Тогоа r(Tn,Km) = (m-l)(n-l) + l.= Примечания==<references />

Доказательство, 1== Источники информации ==* [[wikipedia:Ramsey's theorem|Wikipedia — Ramsey's theorem]] Докажем, что r(Tn, Кт) > (т * [[wikipedia:Ramsey theory|Wikipedia — 1)(п — 1) + 1Ramsey theory]]* [http://people.maths.ox.ac.uk/~gouldm/ramsey. Дляpdf Ramsey Theory]этего нредъяЕим раскраску рёбер графа ^(т*[https://vtechworks.-1)(тг-1) е ксторей нет ни одного СЕязногс подграфа на п Еершинах с рёбрами цвета 1 и нет клики на т вершинах с рёбрами цвета 2lib.vt. Разсбьём Есршнны графа ш т—1 клику по п— 1 вершине и покрасим Есе рёбра этих клик в цвет 1, Тогда любой сеязный подграф с рёбрами цвета 1 содержит не белее п— 1 вер­шины, в частности, нет подграфа с рёбрами цвета 1, изоморфного Тпedu/bitstream/handle/10919/32873/Dickson_JO_T_2011. Рёбра цвета 2 (тс есть, Есе оставшиеся рёбра) образуют (то — pdf?sequence=1)-дсльный граф е котором, счевидне, нет клики на то вершинах&isAllowed=y An Introduction to Ramsey Theory on Graphs]1) Рассмотрим нроизЕСльную раскраску рёбер полного графа K(m-i)(n-i)+i в два цвета*[http://www. Предположим, что не сушестьует клнки на то вершинах с рёбрами цвета 2combinatorics. Тсгда то > 1 и a(Gi) < m—1org/ojs/index. По лемме 10 1, граф Gi содержит е качестве подграфа любее дерево на п вершинах в частности, дереве, иземерфнее Тп. □php/eljc/article/view/DS1| Small Ramsey Numbers by Stanisław Radziszowski][[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]==Индуцированная теорема Рамсея==[[Категория:Дискретная математика]]===Случай двудольного графа===[[Категория:Теория графов]]===Случай произвольного графа===[[Категория: Раскраски графов]]