Изменения

Основным объектов изучения будут полные {{Определение|id=def1|definition='''Клика''' (англ. ''clique'') в [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы|неориентированном графе]] <tex>G(V, ребра которых покрашены E)</tex> {{---}} подмножество [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы|вершин]] <tex>C \subseteq V</tex>, такое что для любых двух различных вершин в несколько цветов<tex>C</tex> существует [[Основные определения теории графов#def_edge_und|ребро]], их соединяющее. В дальнейшемДругими словами, для простоты, полный граф на клика графа <tex>nG(V, E)</tex> вершинах будем называть кликой.{{Определение---}} [[Основные определения теории графов#defFullGraph|definition=Пусть полный]] подграф графа <tex>mG(V, n \in \mathbb NE)</tex>. }}{{Определение|id=def2|definition='''Число Рамсея ''' <tex>r(n, m, n)</tex> — это (англ. ''Ramsey's number'') {{---}} наименьшее из таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске ребер полного графа на <tex>x</tex> вершинах в два цвета найдется клика на <tex>n</tex> вершинах с ребром ребрами цвета <tex>1 </tex> или клика на <tex>m</tex> вершинах с ребром ребрами цвета <tex>2</tex>.}}Существует и другое определение для чисел Рамсея.{{Определение|id=def15|definition='''Число Рамсея''' <tex>r(n, m)</tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что для любого графа <tex>G</tex> на <tex>x</tex> вершинах либо в <tex>G</tex> найдется <tex>K_n</tex>, либо в <tex>\overline G</tex> найдется граф <tex>K_m</tex>. }}[[Файл:RamseyTheoryK5.png|200px|thumb|upright|Раскраска <tex>K_5</tex> без одноцветных треугольников]]Несложно доказать, что данные определения эквивалентны. Достаточно показать, что раскрашенному в два цвета графу <tex>K_n</tex>, можно однозначно поставить в соответствие граф <tex>G</tex> на <tex>n</tex> вершинах. Довольно часто определение для чисел Рамсея дается через задачу "о друзьях и незнакомцах"<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Theorem_on_friends_and_strangers| Theorem on friends and strangers]</ref>. Пусть на вечеринке каждые два человека могут быть либо друзьями, либо незнакомцами, в общем виде задачи требуется найти, какое минимальное количество людей нужно взять, чтобы хотя бы <tex>n</tex> человек были попарно знакомы, или хотя бы <tex>m</tex> человек были попарно незнакомы. Если мы переформулируем данную задачу в терминах графов, то как раз получим определение числа Рамсея <tex>r(n, m)</tex>, представленное ранее. ===Пример===Чтобы получить лучшее представление природы чисел Рамсея, приведем пример. Докажем, что <tex>r(3,3) = 6</tex>. Представим, что ребра <tex>K_6</tex> раскрашены в два цвета: красный и синий. Возьмем вершину <tex>v</tex>. Данной вершине, как и всем другим, инцидентны <tex>5</tex> рёбер, тогда, согласно принципу Дирихле, хотя бы три из них одного цвета. Для определенности положим, что хотя бы <tex>3</tex> ребра, соединяющие вершину <tex>v</tex> с вершинами <tex>r</tex>, <tex>s</tex>, <tex>t</tex>, синие. Если хотя бы одно из ребер <tex>rs</tex>, <tex>rt</tex>, <tex>st</tex> синее, то в графе есть синий треугольник (полный граф на трёх вершинах), иначе, если они все красные, есть красный треугольник. Таким образом, <tex>r(3,3) \leqslant 6 </tex>.Чтобы доказать, что <tex>r(3,3) =Существование6 </tex>, предъявим такую раскраску графа <tex>K_5</tex>, где нет клики на трех вершинах ни синего, ни красного цвета. Такая раскраска представлена на рисунке справа. Понятно, что предъявлять отдельные раскраски для <tex> K_4</tex>, <tex>K_3</tex> не нужно, так как достаточно взять соответствующие подграфы раскрашенного <tex>K_5</tex>. ===Теорема Рамсея. Оценки сверху==={{Теорема|id=t1ter1|authorabout=P. Erdos1, G. SzekeresТеорема Рамсея |statement=Пусть Для любых <tex>n,m \ge 2in \mathbb N</tex> существует число <tex>r(n,m)</tex>-натуральные числа. Тогда , при этом <tex>r(n,m) \le leqslant r(n,m-1)+r(n-1,m)</tex>. Если оба , а также если числа <tex>r(n,m-1)</tex> и <tex>r(n-1,m)</tex>-четные, то неравенство строгоепринимает вид <tex>r(n,m) \leqslant r(n,m-1)+r(n-1,m) - 1</tex> .

 # Докажем с помощью метода математической индукции по <tex>n+m</tex>. <br>'''База:''' <tex>r(n,\;1) = r(1,\;n) = 1</tex>, так как граф, состоящий из одной вершины, можно считать полным графом любого цвета. <br>'''Индукционный переход:''' Пусть <tex>n>1</tex> и <tex>m>1</tex>. Рассмотрим клику на полный чёрно-белый граф из <tex>r(n-1, \;m - 1) + r(n ,\;m- 1, m)</tex> вершинах с рёбрами цветов 1 вершин. Возьмём произвольную вершину <tex>v</tex> и 2 обозначим через <tex>M</tex> и ее произвольную вершину <tex>aN</tex>. Тогда либо от вершины множества вершин, инцидентных <tex>av</tex> отходит хотя бы в чёрном и белом подграфе соответственно. Так как в графе <tex>r(n-1, \;m)+r(n,\;m - 1)=|M|+|N|+1 </tex> рёбер цвета 2 вершин, согласно принципу Дирихле, либо от вершины <tex>a|M|\geqslant r(n-1,\;m)</tex> отходит хотя бы , либо <tex>|N|\geqslant r(n—1n, \;m-1)</tex> рёбер цвета 1. Случаи аналогичны, рассмотрим первый случай и клику на Пусть <tex>|M|\geqslant r(n-1, \;m — 1)</tex> вершинах, соединенных с . Тогда либо в <tex>aM</tex> рёбрами цвета 2. На этих вершинах есть либо клика на существует белый <tex>nK_m</tex> вершинах с ребрами цвета 1, что доказывает теорему, либо клика на в <tex>M</tex> есть чёрный <tex>m—1K_{n-1}</tex> вершинах , который вместе с рёбрами цвета 2. Во втором случае добавим вершину <tex>av</tex> и получим клику на образует чёрный <tex>mK_n</tex> вершинах с рёбрами цвета 2, в этом случае теорема также доказана. Теперь из определения Случай <tex>|N|\geqslant r(n, \;m-1)</tex> следует [[#t1|неравенство]]рассматривается аналогично.2) Рассмотрим клику на # Предположим, <tex>p=r(n-1, \;m-l)+</tex> и <tex>q=r(n,\;m-1, m)</tex> оба чётны. Положим <tex>s=p+q-1</tex> вершинах с рёбрами цветов 1 и 2 и его произвольную вершину рассмотрим чёрно-белый граф из <tex>as</tex>вершин. Если вершине <tex>ad_i</tex> инцидентны хотя бы степень <tex>i</tex>r(n-й вершины в чёрном подграфе, то, согласно [[Лемма о рукопожатиях|лемме о рукопожатиях]],m-<tex> \sum\limits_{i=1)}^s d_i</tex> рёбер цвета 2 или хотя бы  — чётно. Поскольку <tex>r(n-1s</tex> нечётно,m)должно существовать чётное <tex>d_i</tex> рёбер цвета 1. Не умаляя общности, положим, то мы найдём в графе клику на что <tex>d_1</tex> чётно. Обозначим через <tex>nM</tex> вершинах с рёбрами цвета 1 или клику на и <tex>mN</tex> вершинах с рёбрами цвета 2. Остаётся лишь случайвершины, когда инцидентные вершине <tex>a1</tex> инцидентны ровно в чёрном и белом подграфах соответственно. Тогда <tex>r(n, m|M|=d_1</tex> и <tex>|N|=s-1)-1d_1</tex> рёбер цвета 2, то же самое для всех остальных вершиноба чётны. Это означаетСогласно принципу Дирихле, что в графе из рёбер цвета 2 всего либо <tex>r(n, m-1)+r(n|M|\geqslant p-1</tex>, m)-1либо <tex>|N|\geqslant q</tex> вершин и степень каждой вершины равна . Так как <tex>|M|</tex>r(nчётно, m-1)а <tex>p-1</tex>. Однаконечётно, тогда в графе нечётное количество вершин нечётной степени. Противоречие показывает нампервое неравенство можно усилить, так что в случае, когда либо <tex>r(n, m-1)|M|\geqslant p</tex> и , либо <tex>r(n-1,m)|N|\geqslant q</tex> — чётные. <br> Далее проводим рассуждения, выполняется неравенство аналогичные тем, что присутствуют в первом пункте теоремы. Таким образом, <tex>r(n, m)<\leqslant r(n, m-1)+r(n-1, m)-1</tex>.

{{Утверждение|id=ts1u1|about=Следствие 1|statement=Для натуральных чисел <tex>m,n</tex> выполняется равенство <tex>r(n,m) \le leqslant C_{n+m-2}^{n-1}</tex>

Очевидно, <tex>C^{n-1}_{n+m-2}=1</tex> при <tex>n=1</tex> или <tex>m=1</tex>, как и соответствующие числа Рамсея. Индукцией по <tex>n</tex> и <tex>m</tex> при <tex>n,m \ge geqslant 2</tex> получаем <tex>r(n,m) \le leqslant r(n,m-1)+r(n-1,m) \le leqslant C^{n-1}_{n+m-3}+C^{n-2}_{n+m-3}=C^{n-1}_{n+m-2}</tex>

===Экстремальные примеры и оценки Оценки снизу===Задача нахождения точных значений чисел Рамсея чрезвычайно трудна, этих значении известно немногим больше, чем перечислено выше.{{Определение|id=def2|definition=Графом Рамсея <tex>R(n,m)</tex> назовем такой граф на <tex>r(n,m)-1</tex> вершинах, не содержащий ни клики на <tex>n</tex> вершинах ни независимого множества на <tex>m</tex> вершинах(то есть, граф на ребрах цвета 1 из раскраски в два цвета ребер графа <tex>K_{r(m,n)-1}</tex>, не содержащей ни клики на <tex>n</tex> вершинах с рёбрами цвета 1 ни клики на <tex>m</tex> вершинах с рёбрами цвета 2).}}Граф <tex>R(3,3)</tex> — это цикл на пяти вершинах. Экстремальный граф <tex>R(3,4)</tex> — это цикл на 8 вершинах с проведёнными четырьмя главными диагоналями. Графы <tex>R(3,5)</tex> и <tex>R(4,4)</tex> имеют интересную числовую природу.

Так{{Теорема|id=ter2|about=2, если ассоциировать 13 вершин графа Теорема Эрдеша|statement=Для любого натурального числа <tex>k \geqslant 2</tex> выполняется неравенство <tex>Rr(3k,5k)\geqslant 2^{k/2}</tex> с элементами поля вычетов по модулю 13, то рёбра будут соединять вычеты разность которых — кубический вычет по модулю 13 |proof=Так как <tex>r(то есть2, 12)=2</tex>, 5, 8 или 12)достаточно рассмотреть случай <tex>k \geqslant 3</tex>. Если считать 17 вершин графа Пусть <tex>Rg(4n,4k)</tex> элементами поля вычетов по модулю 17доля среди помеченных графов на <tex>n</tex> вершинах тех, то рёбра будут соединять вычетычто содержат клику на <tex>k</tex> вершинах. Всего графов на наших вершинах, разность которых — квадратичный вычет по модулю 17 очевидно <tex>2^{C^2_n}</tex> (то есть, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15 каждое из возможных рёбер <tex>C^2_n</tex> можно провести или 16не провести).

Существует гипотеза что любой граф Посчитаем графы с кликой на <tex>R(k,</tex> вершинах следующим образом: существует <tex>C^k_n</tex> способов выбрать <tex>k)</tex> изоморфен своему дополнению(или что вершин для клики в раскраске полного графа нашем множестве, после чего все рёбра между ними будем считать проведенными, а остальные ребра выбираются произвольно. Таким образом, каждый граф с кликой на <tex>r(k,k)-1</tex> вершинах в два цвета граф будет посчитан, причём некоторые даже более одного раза. Количестве графов с рёбрами цвета 1 обязательно изоморфен графу с рёбрами цвета кликой оказывается не более, чем <tex>C^k_n\cdot 2)^{C^2_n-C^2_k}</tex>. Однако, это не белее чем красивое предположениеСледовательно, в обоснование которого можно положите лишь немногие известные примеры.

{{Теорема|id=t2|author=P. Erdos|statement=Для любого натурального числа <tex>g(n,k ) \ge leqslant \dfrac{C^k_n\cdot 2</tex> выполняется неравенство <tex>r^{C^2_n-C^2_k}}{2^{C^2_n}}=\dfrac{n!}{(k,n-k) !\ge cdot k! \cdot 2^{k/2C^2_k}}</tex>|proof=Так как <tex>R\dfrac{(n-k+1)\cdot(n-k+2,2)=\cdot\ldots \cdot(n-1)\cdot n}{ k! \cdot 2^{C^2_k}}</tex>, достаточно рассмотреть случай <tex>k \ge 3</tex>.Зафиксируем множество различных помеченных вершин <tex>v_i,...,v_n</tex>. Пусть <tex>g(dfrac{n,^k)</tex> — деля среди всех графов на вершинах <tex>v_i,...,v_n</tex> тех графов, что содержат клику на <tex>}{k</tex> вершинах. Всего графов на наших вершинах, очевидно <tex>!\cdot 2^{C^2_n2_k}}</tex> (каждое из возможных <tex>C^2_n(*)</tex> можно провести или не провести).

Посчитаем графы с кликой на Подставив <tex>kn</tex> вершинах так: существует <tex>C2^k_n<{k/tex> способов выбрать <tex>k2}</tex> вершин для клики в нашем множестве, после чего все рёбра между ними будем считать проведенными, а остальные ребра выбираются произвольным образом. Таким образом, каждый граф с кликой на неравенство <tex>k</tex> вершинах будет посчитан причём некоторые даже более одного раза. Количестве графов с кликой оказывается не более, чем <tex>C^k_n(*2^{C^2_n-C^2_k})</tex>. Следовательно,мы получаем

<tex>g(n,k) <\le \fracdfrac{2^{Ck^k_n2/2}{\cdot 2^{-C^2_k}}<{k!}=\fracdfrac{n2^{k/2}}{k!*2^{C^2_k}}<\dfrac12</tex> при <tex>k \geqslant 3</tex>

Подставив Предположим, что <tex>r(k,k)=n<2^{k/2}</tex> и разобьём все графы на <tex>n</tex> вершинах на пары <tex>\langle G, \overline G \rangle</tex>. Так как <tex>g(n,k)<\dfrac12</tex>, то существует пара <tex>\langle G, \overline G \rangle</tex>, в которой ни <tex>G</tex>, ни <tex>\overline G</tex> не содержат подграфа на <tex>k</tex> вершинах. Рассмотрим раскраску рёбер <tex>K_n</tex> в два цвета, в [[#t2|неравенстве]] мы получаемкоторой ребра цвета <tex>1</tex> образуют граф <tex>G</tex>. В такой раскраске нет клики на <tex>k</tex> вершинах ни цвета <tex>1</tex>, ни цвета <tex>2</tex>, получили противоречие. Значит <tex>n</tex> было выбрано неверно. Из этого следует <tex>r(k,k) \geqslant 2^{k/2}</tex>.}}

===Свойства чисел Рамсея===Следующими свойствами удобно пользоваться при подсчете значений чисел Рамсея <tex>gr(n,km)<\frac{2^{k^2/2}tex> на практике.*2^{-C^2_k}}{k!}<tex>r(n,m) =\frac{2^{kr(m,n)</2}}{k!}tex>* <\frac12tex>r(1,m) = 1</tex> при * <tex>k \ge 3r(2,m) = m</tex>

Предположим===Значения чисел Рамсея===Задача нахождения точных значений чисел Рамсея чрезвычайно трудна, их известно довольно мало. Далее приведена таблица Станислава Радзишевского, в которой присутствуют практически все известные числа Рамсея или же промежутки, что в которых они находятся.<center>{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"|+!colspan="11"|Числа Рамсея|-align="center"! width="6%" |<font color="black"><tex>r(kn,k)\ m</tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>1 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>2 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>3 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>4 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>5 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>6 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>7 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>8 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>9 </tex></font>! width="6%" |<font color="black"><tex>10</tex></font>|-align="center"! <font color=n"black"><tex>1 </tex></font>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>| <tex>1 </tex>|-align="center"! <font color="black"><tex>2^{k</tex></font>| <tex>1 </tex>| <tex>2}</tex> и разобьём все графы на n вершинах на пары | <tex>3 </tex>| <tex>4 </tex>| <tex>5 </tex>| <tex>6 </tex>| <tex>7 </tex>| <tex>8 </tex>| <tex>9 </tex>| <tex>10</tex>|-align="center"! <font color="black"><tex>3</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>3</tex>| <tex>6</tex>| <tex>9</tex>| <tex>14</tex>| <tex>18</tex>| <tex>23</tex>| <tex>28</tex>| <tex>36</tex>| <tex>[40, 42]</tex>|-align="center"! <font color="black"><tex>4</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>4</tex>| <tex>9</tex>| <tex>18</tex>| <tex>25</tex>| <tex>G[36, \overline G41]</tex> (граф и его дополнение) Так как | <tex>g(n[49,k)61]</tex>| <\frac12tex>[59, 84]</tex>| <tex>[73, то существует пара115]</tex>| <tex>[92, в которой ни 149]</tex>|-align="center"! <font color="black"><tex>5</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>5</tex>| <tex>14</tex>| <tex>25</tex>| <tex>G[43, 48]</tex>| <tex>[58, ни 87]</tex>| <tex>\overline G[80, 143]</tex> не содержат клики на | <tex>k[101, 216]</tex> вершинах. Рассмотрим раскраску рёбер | <tex>K_n[133, 316]</tex> в два цвета| <tex>[149, в которой ребра цвета 442]</tex>|-align="center"! <font color="black"><tex>6</tex></font>| <tex>1 образуют граф </tex>| <tex>6</tex>| <tex>18</tex>| <tex>[36, 41]</tex>| <tex>[58, 87]</tex>| <tex>[102, 165]</tex>| <tex>[115, 298]</tex>| <tex>[134, 495]</tex>| <tex>[183, 780]</tex>| <tex>G[204, 1171]</tex>. В такой раскраске нет клики на |-align="center"! <font color="black"><tex>7</tex>k</font>| <tex> вершинах ни цвета 1</tex>| <tex>7</tex>| <tex>23</tex>| <tex>[49, 61]</tex>| <tex>[80, 143]</tex>| <tex>[115, ни цвета 2298]</tex>| <tex>[205, противоречие. Следовательно 540]</tex>| <tex>r(k[217,k) \ge 2^{k1031]</2}tex>| <tex>[252, 1713]</tex>.}}| <tex>[292, 2826]</tex>{{Утверждение|id-align=ts2"center"! <font color="black"><tex>8</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>8</tex>| <tex>28</tex>| <tex>[56, 84]</tex>| <tex>[101, 216]</tex>| <tex>[127, 495]</tex>| <tex>[217, 1031]</tex>| <tex>[282, 1870]</tex>| <tex>[329, 3583]</tex>| <tex>[343, 6090]</tex>|about-align=Следствие 2"center"! <font color="black"><tex>9</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>9</tex>| <tex>36</tex>| <tex>[73, 115]</tex>| <tex>[133, 316]</tex>| <tex>[183, 780]</tex>| <tex>[252, 1713]</tex>| <tex>[329, 3583]</tex>| <tex>[565, 6588]</tex>| <tex>[580, 12677]</tex>|statement-align="center"! <font color=Для любых "black"><tex>10</tex></font>| <tex>1</tex>| <tex>k10</tex>| <tex>[40, 42]</tex>| <tex>[92, 149]</tex>| <tex>[149,m \in \mathbb N442]</tex> таких| <tex>[179, что 1171]</tex>2 \le k \le m| <tex>[289, 2826]</tex>| <tex>[343, выполняется неравенство 6090]</tex>| <tex>r(k[581,m) \ge 2^{k12677]</2}tex>| <tex>[798, 23556]</tex>|}}</center>

|id=def2 def4

Пусть <tex>k,n_1,...,n_k \in \mathbb N</tex>. '''Число Рамсея ''' <tex>r(k;n_1,...\ldots,n_k)</tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске рёбер полного графа на <tex>x</tex> вершинах в <tex>k</tex> цветов для некоторого <tex>i \in [1..\ldots k]</tex> обязательно найдётся клика на <tex>n_i</tex> вершинах с рёбрами цвета <tex>i</tex>.<tex>k,n_1,\ldots,n_k \in \mathbb N</tex>

|id=t3. ter3|about=3,Теорема Рамсея для нескольких цветов|statement=Пусть <tex>\forall k,n_1,...,\ldots n_k \ge 2in \mathbb N </tex> - натуральные числа. Тогда выполняются следующие утверждения:существует число Рамсея <tex>1) r(k;n_1,...\ldots,n_k) \le </tex>, при этом <tex>r(k;n_1-1,n_2,...\ldots,n_k)+\leqslant r(k;n_1,n_2\ldots, n_{k-1,...2},n_k)++r(n_{k;n_1,n_2,...,n_k-1)-k+2</tex><tex>2)r(k},\;n_1,...,n_k) \le \frac{(n_1+n_2+...+n_k)!}{n_1!*n_2!*...*n_k!}</tex>

1) Доказательстве полностью аналогично пункту 1 доказательства [[#t1|теоремы]] 2) Доказательство аналогично [[#ts1|следствию 1]]. Нужно лишь убедиться в очевидном неравенстве для случая, когда хотя бы одно Возьмем граф из чисел <tex>r(n_1,...\ldots, n_{k-2}, r(n_{k-1},n_k))</tex> вершин и окрасим его рёбра в <tex>k</tex> равно цветов. Пока что будем считать цвета <tex>k-1 </tex> и <tex>k</tex> одним цветом. Тогда граф будет <tex>(левая часть в этом случае равна k-1)</tex>-цветным. Согласно определению числа Рамсея <tex>r(n_1, а правая\ldots, очевидно не меньше n_{k-2},r(n_{k-1},n_k)) и заметить</tex>, такой граф либо содержит <tex>K_{n_i}</tex> для некоторого цвета <tex>i</tex>, такого что полиномиальные коэффициенты из очевидных комбинаторных соображений удовлетворяют соотношению: <tex>1\fracleqslant i\leqslant k-2</tex>, либо <tex>K_{r(n_1+n_2+...+n_{k-1},n_k)!}{n_1!*n_2!*</tex>, окрашенный общим цветом <tex>k-1</tex> и <tex>k</tex>.В первом случае доказательство завершено..*Во втором случае вернём прежние цвета и заметим, что, по определению числа Рамсея, полный <tex>r(n_{k-1},n_k!}=\sum\limits_)</tex> — вершинный граф содержит либо <tex>K_{n_{i = k-1}^}</tex> цвета <tex>k\frac{(n_1+...+(n_i-1)+...+</tex>, либо <tex>K_{n_k)!}{n_1!*</tex> цвета <tex>k</tex>...*Таким образом любое число Рамсея для раскраски в <tex>k</tex> цветов ограничено некоторым числом Рамсея для меньшего количества цветов, следовательно, <tex>r(n_i-1n_1,\ldots,n_k)!*...*</tex> существует для любых <tex> k, n_1, \ldots n_k!}, \in \mathbb N </tex> Следовательно, 2 неравенство из данной теоремы выводится из неравенства 1 по индукциии теорема доказана.

|id=def5.

Пусть <tex>m,k,n_1,...\ldots ,n_k \in \mathbb N</tex>, причём <tex>n_1,...\ldots ,n_k \ge geqslant m</tex>. '''Число Рамсея ''' <tex>r_m(k; n_1,...\ldots ,n_k)</tex> — наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске <tex>m</tex>-элементных подмножеств <tex>x</tex>-элементного множества <tex>M</tex> в <tex>k</tex> цветов для некоторого <tex>i \in [1..\ldots k]</tex> обязательно найдётся такое множество <tex>W_i</tex>, что <tex>|W_i|=n_i</tex> и все <tex>m</tex>-элементные подмножества множества <tex>W_i</tex> имеют цвет <tex>i</tex>. Число <tex>m</tex> называют '''размерностью''' числа Рамсея <tex>r_m(n_1,\ldots ,n_k)</tex>.

{{Определение|id=def6|definition=Число <tex>m</tex> называется размерностью Заметим, что числа Рамсея размерности <tex>r_m(k;n_1,...,n_k)2</tex>.}}{{Утверждение|id=u2 |statement=1) Нетрудно понять что числа Рамсея размерности 2 — это определённые выше ранее числа Рамсея для клик.

|id=th5ter4|about=4, Теорема Рамсея для чисел больших размерностей|statement=Пусть <tex>m,k,n_1,...\ldots,n_k</tex> {{--- }} натуральные числа, причем <tex>k \ge geqslant 2</tex>, а <tex>n_1,...\ldots ,n_k \ge geqslant m</tex>. Тогда существует число Рамсея <tex>r_m(k;n_1,...\ldots n_k)</tex> существует(то есть, конечно).

1)# Мы будем доказывать теорему по индукции. Начнем со случая <tex>k=2</tex>. Приступая к доказательству для числа <tex>r_m(n_1,n_2)</tex> мы будем считать доказанным утверждение теоремы для чисел Рамсея всех меньших размерностей и чисел Рамсея размерности <tex>m</tex> с меньшей суммой <tex>n_1+n_2</tex>. В качестве базы будем использовать случай чисел Рамсея размерности <tex>2 </tex> разобранный выше. Итак, мы докажем, что <tex>r_m(n_1,n_2)-1 \le leqslant p=r_{m-1}(r_m(n_1-1,n_2),r_m(n_1,n_2-1))</tex> . <br> Для каждого множества <tex>M</tex> через <tex>M^k</tex> обозначим множество всех <tex>k</tex>-элементных подмножеств <tex>M</tex>. <br> Рассмотрим <tex>(p+1)</tex>-элементное множество <tex>M</tex> и выделим в нём элемент <tex>a</tex>. Пусть <tex>M_0=M</tex>\setminus \{<tex>a\}</tex>}. Пусть <tex>\alpharho:M^m\rightarrow</tex> \{1,2\} </tex> — произвольная раскраска в два цвета. Рассмотрим раскраску <tex>\alpharho': M_0^{m-1}\rightarrow</tex> \{1,2\}</tex> , определённую следующим образом: для каждого множества <tex>B \in M_0^{m-1}</tex> пусть <tex>\alpharho'(ВB) = \alpharho(B U</tex>\cup \{a\}<tex>)</tex>.<br> Так как <tex>|M_0|=p</tex>, либо существует <tex>r_m(n_1 — 1,n_2)</tex>-элементное подмножество <tex>M_i M_1 \subset M_0</tex>, для которого <tex>\alpharho'(ВB)=1</tex> на всех <tex>B \in M_1^{m-1}</tex>, либо существует <tex>r_m(n_1,n_2-1)</tex>-элементное подмножество <tex>M_2 \subset M_0</tex>, для которого <tex>\alpharho'(B)=2</tex> на всех <tex>B \in M_2^{m-1}</tex>. Случаи аналогичны, рассмотрим первый случай и множество <tex>M_1</tex>.<br> По индукционному предположен из <tex>|M_1|=r_m(n_1-1,n_2)</tex> следует, что либо существует <tex>n_1-1</tex> -элементное подмножество <tex>N_1 \subset M_1</tex>, для которого <tex>\alpharho(A)=1</tex> на всех <tex>A \in N^m_1</tex>, либо существует <tex>n_2</tex>-элементное подмножество <tex>N_2 \subset M_1</tex>, для которого <tex>\alpharho(A)=2</tex> на всех <tex>A \in N_2^m</tex>. Во втором случае искомое подмножество найдено (это <tex>N_2</tex>), рассмотрим первый случай и множество <tex>N=N_1 \cup </tex>\{<tex>a\}</tex>}. Пусть <tex>A \in N^m</tex>. Если <tex>A \not\ni a</tex>, то <tex>A \in N_1^m</tex> и следовательно <tex>\alpharho(A)=1</tex>. Если же <tex>A \ni a</tex>, то множество <tex>A</tex>\setminus \{<tex>a</tex>\}<tex>\in N_1^{m-1} \subset M_1^{m-1}</tex> и поэтому <tex>\alpharho(A)=\alpharho'(A</tex>\setminus \{<tex>a</tex>\}<tex>)=1</tex>. Учитывая, что <tex>|N|=n_1</tex>, мы нашли искомое подмножество и в этом случае. 2)# При <tex>k>2</tex> будем вести индукцию по <tex>k</tex> с доказанной выше базой <tex>k=2</tex>. При <tex>k>2</tex> мы докажем неравенство <tex>r_m(k;n_1,...\ldots ,n_k) \le leqslant q=r_m(r_m(k-1;n_1,...\ldots ,n_{k-1}),n_k)</tex> . <br> Для этого мы рассмотрим множество <tex>M</tex> на <tex>q</tex> вершинах и произвольную раскраску <tex>\alpharho:M^m \rightarrow [1..\ldots k]</tex> в <tex>k</tex>цветов. Рассмотрим раскраску <tex>\alpharho':M^m \rightarrow </tex>\{<tex>0,k\}</tex>}, в которой цвета <tex>1,...\ldots,k-1</tex> раскраски <tex>\alpharho</tex> склеены в цвет <tex>0</tex>. Тогда существует либо таксе такое подмножество <tex>M_0 \subset M</tex>, что <tex>|M_0|=r_m(k-1;n_1,...\ldots ,n_{k-1})</tex> и <tex>\alpharho'(A)=0</tex> на всех <tex>A \in M_0^m</tex>, либо существует такое <tex>n_k</tex>-элементное подмножество <tex>M_k \subset M</tex>, что <tex>\alpharho(A)=\alpharho'(A)=k</tex> на всех <tex>A \in M^m_k</tex>. Во втором случае <tex>M_k</tex> — искомое подмножество, а в первом случае заметим, что на любом подмножестве <tex>A \in M_0^m</tex> из <tex>\alpharho'(A)=0</tex> следует <tex>\alpharho(A) \in [1..\ldots k-1]</tex>. Исходя из размера множества <tex>M_0</tex> по индукционному предположению получаем, что найдется искомое подмножество множества <tex>M</tex> для одного из цветов <tex>1,...\ldots ,k-1</tex>, таким образом неравенство доказано, а из этого следует и существование числа Рамсея <tex>r_m(n_1,\ldots ,n_k)</tex>.

|id=def11def8|definition=Пусть <tex>H_1,H_2</tex> — графы. '''Число Рамсея''' <tex>r(H_1,H_2)</tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске рёбер полного графа на <tex>x</tex> вершинах в два цвета обязательно найдется подграф, [[Основные определения теории графов#isomorphic_graphs|изоморфный]] <tex>H_1</tex> с рёбрами цвета <tex>1</tex> или подграф изоморфный <tex>H_2</tex> с рёбрами цвета <tex>2</tex>. }}Существует и другое определение чисел Рамсея для произвольных графов.{{Определение|id=def16

Пусть <tex>H_1,h_2H_2</tex> — два данных графаграфы. '''Число Рамсея ''' <tex>r(H_1,H_2)</tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске рёбер полного для любого графа <tex>G</tex> на <tex>x</tex> вершинах либо в два цвета обязательно <tex>G</tex> найдется подграф, изоморфный <tex>H_1</tex> с рёбрами цвета 1 или , либо в <tex>\overline G</tex> найдется подграф изоморфный <tex>H_2</tex> с рёбрами цвета 2.

В принципе из Несложно показать, что эти определения эквивалентны (аналогично определениям для классических чисел Рамсея). Из результатов классической теории Рамсея понятиестановится понятно, что числа <tex>r(H_1,H_2)</tex> обязательно существуют (то есть, конечны).

|id=lemma1 l1|about=1|statement=Пусть <tex>m>1</tex>, а граф <tex>H</tex> таков, что <tex>v(H) \ge geqslant (m-1)(n-1)+1</tex> и <tex>\alpha(H) \le leqslant m-1</tex>, где <tex>v(H)</tex> {{---}} количество вершин в графе <tex>H</tex>. Тогда граф <tex>H</tex> содержит в качестве подграфа любое [[Основные определения теории графов#defTree|дерево ]] на <tex>n</tex> вершинах.

Зафиксируем <tex>m</tex> и проведем индукцию по <tex>n</tex>.  '''База :''' для <tex>n=1</tex> очевиднаочевидно. Докажем индукционный  '''Индукционный переход :''' Пусть верно для <tex>n-1 \rightarrow </tex>, докажем для <tex>n(n>1</tex>. Рассмотрим произвольное дерево <tex>T_n</tex> на <tex>n</tex> вершинах, пусть дерево <tex>T_{n-1}</tex> получено из <tex>T_n</tex> удалением висячей вершины. Пусть <tex>U</tex> — максимальное независимое множестве множество вершин графа <tex>H</tex> . Тогда <tex>|U|=\alpha(H) \le leqslant m-1</tex>, следовательно <tex>v(H-U) \ge geqslant (m-1)(n-2)+1</tex> и очевидно <tex>\alpha(H-U) \le leqslant m-1</tex>.По индукционному предположению, граф <tex>H-U</tex> содержит в качестве подграфа дерево <tex>T_{n-1}</tex>. Пусть <tex>a</tex> — вершина этого дерева, присоединив к ксторой которой висячую вершину , мы получим дерево <tex>T_n</tex>. Заметим, что множество <tex>U \cup</tex>{<tex>\{a\}</tex>} не является независимым ввиду максимальности <tex>U</tex>. Следовательно, вершина <tex>a</tex> смежна хотя бы с одной вершиной <tex>x \in U</tex>. Отметим, что <tex>x \not\in V(</tex> не принадлежит множеству вершин графа <tex>T_{n-1})</tex> и, присоединив вершину <tex>x</tex> к вершине <tex>a</tex> дерева <tex>T_{n-1}</tex>, получим дерево <tex>T_n</tex> в качестве подграфа графа <tex>H</tex>.

|id=th10 ter5 |author=V. Chvatal5, Теорема Хватала|statement=Пусть <tex>r(T_n,K_m)=(m-1)(n-1)+1</tex>, где <tex>T_n</tex> — дерево на <tex>n</tex> вершинах. Тогда |proof=Сперва докажем, что <tex>r(T_n,K_m)=\geqslant (m-1)(n-1)+1</tex>.|proof=доказательство (необязательно)Доказательство, 1] Докажем, что r(Tn, Кт) > (т — 1)(п — 1) + 1. Дляэтего нредъяЕим этого предъявим раскраску рёбер графа ^<tex>K_{(т.m-1)(тгn-1) е ксторей }</tex>, в которой нет ни одного СЕязногс связного подграфа на п Еершинах <tex>n</tex> вершинах с рёбрами цвета <tex>1 </tex> и нет клики на т <tex>m</tex> вершинах с рёбрами цвета <tex>2</tex>. Разсбьём Есршнны Разобьём вершины графа ш т—1 на <tex>m-1</tex> клику по п— <tex>n-1 </tex> вершине и покрасим Есе все рёбра этих клик в цвет <tex>1, </tex>. Тогда любой сеязный связный подграф с рёбрами цвета <tex>1 </tex> содержит не белее п— более <tex>n-1 вер­шины</tex> вершины, в частности, нет подграфа с рёбрами цвета <tex>1</tex>, изоморфного Тп<tex>T_n</tex>. Рёбра цвета <tex>2 </tex> (тс то есть, Есе все оставшиеся рёбра) образуют <tex>(то — m-1)</tex>-дсльный дольный граф е , в котором, счевиднеочевидно, нет клики на то <tex>m</tex> вершинах.1Теперь воспользуемся вторым [[#def16|определением]] числа Рамсея <tex>r(H_1, H_2) </tex>. Рассмотрим нроизЕСльную раскраску рёбер полного графа Kпроизвольный граф <tex>G</tex> на <tex>{(m-i1)(n-i1)+i в два цвета1}</tex> вершинах. Предположим, что в графе <tex>G</tex> не сушестьует клнки существует клики на то <tex>m</tex> вершинах с рёбрами цвета 2. Тсгда то Тогда <tex>m> 1 </tex> и a<tex>\alpha(Gi\overline G) \leqslant m-1< m—1/tex>. По [[#l1|лемме 10 <tex>1</tex>]], граф Gi <tex> \overline G</tex> содержит е в качестве подграфа любее любое дерево на п <tex>n</tex> вершинах , в частности, дереведерево, иземерфнее Тпизоморфное <tex>T_n</tex>. □

{{Определение|id=def9|definition=Граф <tex>H</tex> называется '''индуцированным подграфом''' (англ. ''induced subgraph'') графа <tex>G</tex> если две вершины в <tex>H</tex> соединены ребром тогда и только тогда, когда они смежны в <tex>G</tex>. }} {{Определение|id=def10|definition=Пусть <tex>H</tex> — граф. Граф <tex>G</tex> будем называть '''рамсеевским графом''' (англ. ''Ramsey’s graph'') для <tex>H</tex>, если при любой раскраске рёбер графа <tex>G</tex> в два цвета существует одноцветный по рёбрам индуцированный подграф графа <tex>G</tex> изоморфный <tex>H</tex>.}} {{Определение|id=def11|definition='''Индуцированным числом Рамсея''' (англ. ''induced Ramsey’s number'') <tex>r_{ind}(H)</tex> для графа <tex>H</tex> будем называть минимальное число <tex>x \in \mathbb N</tex>, такое что существует рамсеевский граф на <tex>x</tex> вершинах для графа <tex>H</tex>.}}Заметим, что при замене произвольного графа <tex>H</tex> на клику мы получаем частный случай классической теоремы Рамсея.   {{Теорема|id=ter6 |about=6, Индуцированная теорема Рамсея|statement=Случай Для любого графа <tex>H</tex> существует рамсеевский граф <tex>G</tex>. }} Доказательство <ref>[https://math.la.asu.edu/~andrzej/teach/mat598/lec8.pdf Induced Ramsey Theorem Proof]</ref> данной теоремы было приведено независимо различными математиками, однако благодаря ему получилось предоставить только очень грубые оценки значений индуцированных чисел Рамсея. В данный момент проблема нахождения сколько-нибудь точных границ индуцированных чисел Рамсея является нерешенной задачей математики. ==Особенности теории==Результаты, полученные в теории Рамсея, обладают двумя главными характеристиками. Во-первых, они не позволяют получить сами структуры: теоремы лишь доказывают, что они существуют, но алгоритма для их нахождения не предлагают. Единственным способ найти нужную конструкцию зачастую является перебор. Во-вторых, чтобы искомые структуры существовали, обычно требуется, чтобы объекты, их содержащие, состояли из очень большого числа элементов. Зависимость числа элементов объекта от размера конструкции обычно, как минимум, экспоненциальная. ==См. также==*[[Раскраска графа]]*[[Раскраска двудольного графав два цвета]]*[[Теорема Турана об экстремальном графе]] ==Примечания==<references /> ==Источники информации =Случай произвольного графа=* [[wikipedia:Ramsey's theorem|Wikipedia — Ramsey's theorem]]* [[wikipedia:Ramsey theory|Wikipedia — Ramsey theory]]* [http://people.maths.ox.ac.uk/~gouldm/ramsey.pdf Ramsey Theory]*[https://vtechworks.lib.vt.edu/bitstream/handle/10919/32873/Dickson_JO_T_2011.pdf?sequence=1&isAllowed=y An Introduction to Ramsey Theory on Graphs]*[http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/DS1| Small Ramsey Numbers by Stanisław Radziszowski][[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория:Дискретная математика]][[Категория:Теория графов]][[Категория: Раскраски графов]]