1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
== Лекция 1 . Вводная ==Начнем курс с введения понятий '''[[DTIME]]''' и '''[[DSPACE]]'''. *'''DTIME'''(''f''(''n'')) = <tex>\{ L \mid \exists </tex> машина Тьюринга <tex>m : L(m)=L, Time(m,x) \le f(|x|) \}</tex>, где <tex>|x|</tex> — длина входа <tex>x</tex>. *'''DSPACE'''(''f''(''n'')) = <tex>\{ L \mid \exists </tex> машина Тьюринга <tex>m : L(m)=L, Space(m,x) \le f(|x|) \}</tex>. Аналогичным образом введем классы '''[[NSPACE]]''' и '''[[Класс DSPACENTIME]]''', использующие недетерминированную машину Тьюринга взамен детерминированной (в течении всего курса префикс '''D''' соответствует детерминизму, а '''N''' — недетерминизму). Рассмотрим и докажем теоремы о емкостной и временной иерархии. *[[Теорема о емкостной иерархии]] утверждает, что для любых двух [[Конструируемая по памяти функция|конструируемых по памяти функций]] <tex>f</tex> и <tex>g</tex> таких, что <tex> \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n) = 0</tex>, выполняется '''DSPACE'''(''g''(''n'')) ≠ '''DSPACE'''(''f''(''n'')). *[[Теорема о временной иерархии]] утверждает, что для любых двух [[Конструируемая по времени функция|конструируемых по времени функций]] <tex>f\,\!</tex> и <tex>g\,\!</tex> таких, что <tex> \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{t(f(n))}{g(n)} = 0</tex>, выполняется '''DTIME'''(''g''(''n'')) ≠ '''DTIME'''(''f''(''n'')). ---- Через понятия классов '''DSPACE''', '''DTIME''', '''NSPACE''' и '''NTIME''' будет дано определение многим сложностным классам, в том числе '''[[P]]''' и '''[[NP]]'''. Класс '''P''' — класс языков (задач), разрешимых на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время. Формально: *'''P'''=<tex>\bigcup_{i=0}^{\infty}</tex>'''DTIME'''<tex>(in^i)</tex> В свою очередь, при разрешении языка из класса '''NP''' используется недетерминированная машина: *'''NP'''=<tex>\bigcup_{i=0}^{\infty}</tex> '''NTIME'''<tex>(in^i)</tex>Дадим определение класса '''NP''' на языке сертификатов:*'''NP'''=<tex>\Sigma_1 = \{L|\exists R(x,y) \in P, p \in Poly | l \in L \Leftrightarrow \exists y, |y| \le p(x) | R(x,y)=1\}</tex> (первое равенство доказывается в статье '''[[NP]]'''). Поясним, что <tex>y</tex> является сертификатом принадлежности <tex>x</tex> языку <tex>L</tex>, если существует полиномиальное отношение (верификатор) <tex>R</tex>, такое что <tex>R(x,y)=1</tex> тогда и только тогда, когда <tex>x</tex> принадлежит <tex>L</tex>. Вместе со многими сложностными классами имеет смысл рассматривать и их дополнения (используется приставка '''co-'''). Например, класс '''[[co-NP]]'''. ---- Введем в рассмотрение отношения между языками: [[сведение по Карпу]] и [[сведение по Куку]].*Язык <tex>A</tex> сводится по Карпу к языку <tex>B</tex>, если существует функция <tex>f(x)</tex> такая, что <tex>x \in A</tex> тогда и только тогда, когда <tex>f(x) \in B</tex>.*Язык <tex>A</tex> сводится по Куку к <tex>B</tex>, если существует разрешающая язык <tex>A</tex> программа <tex>m</tex>, работающая полиномиальное время от длины входа, которая может использовать разрешающую программу <tex>m_B</tex> для языка <tex>B</tex> в качестве оракула. При этом время работы <tex>m_B</tex> не учитывается. В дальнейшем чаще будет рассматриваться сведение по Карпу. == Практика 1 ==*[[Сведение по Куку задачи факторизации к языку из NP]]
== Лекция 2 ==
*[[Теорема Кука]]
== Практика 2 ==
*[[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи]]
*[[NP-полнота задачи BH1N]]
*[[NP-полнота задачи о выполнимости булевой формулы в форме КНФ]]
*[[NP-полнота задачи о выполнимости булевой формулы в форме 3-КНФ]]
*[[NP-полнота задачи о клике]]
*[[NP-полнота задачи о независимом множестве]]
*[[NP-полнота задачи о вершинном покрытии]]
== Лекция 3 ==
== Практика 3 ==
*[[NP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах]]
*[[NP-полнота задачи о сумме подмножества]]
*[[NP-полнота задачи о рюкзаке]]
== Практика, которой на самом деле не было ==
*[[NP-полнота задачи о раскраске графа]]
==Лекция 4==
*[[Схемная сложность]]
*[[P/poly]]
*[[Редкие языки]]
*[[Теорема Махэни]]
== Лекция 5 ==
*[[Класс PS]]
*[[Теорема Сэвича]]
*[[PS-полнота задачи Generalized geography]]
== Лекция 6 ==
*Классы [[L]], [[NL]], [[NL-полнота|NLC]]
*[[NL-полнота задачи о достижимости в графе]]
*[[Классы EXP, NEXP. Полнота языков EXP и NEXP]]
*[[Теорема о связи вопросов EXP=NEXP и P=NP]]
*[[Теорема Иммермана]]
== Практика 6 ==
*[[Классы Sigma_i и Pi_i]]
*[[Класс PH]]
*[[Полиномиальная иерархия]]
*[[Теоремы о коллапсе полиномиальной иерархии]]
== Лекция 7 ==
*[[Теорема Карпа-Липтона]]
== Практика 7 ==
*[[Вероятностная машина Тьюринга]]
*[[Сложностный класс ZPP]]
*[[Сложностные классы RP и coRP]]
*[[Сложностный класс PP]]
*[[Сложностный класс BPP]]
*[[Уменьшение ошибки в классе RP, сильное и слабое определение]]
== Лекция 8 ==
*[[Теорема о включении BPP в P/poly]]
*[[Теорема Лаутемана]]
*[[Теорема Валианта-Вазирани]]
== Практика 8 ==
*[[Лемма Шварца-Зиппеля]]
== Лекция 9 ==
*[[Класс IP|Класс IP]]
*[[GNI|Принадлежность проблемы GNI классу IP]]
*[[Sharp SAT|#SAT]]
== Лекция 10 ==
*[[Теорема Шамира]]
*[[Семейство универсальных попарно независимых хеш-функций|Семейство универсальных попарно независимых хеш-функций]]
*[[Протокол Гольдвассера-Сипсера для оценки размера множества]]
*[[Теорема Голдвассера, Сипсера]]
== Лекция 11 ==
*[[Абсолютная секретность]]
*[[Лемма о невозможности существования вычислительно безопасных шифров в случае P = NP]]
*[[Односторонние функции и псевдослучайные генераторы]]
*[[Доказательства с нулевым разглашением]]
== Лекция 12 ==
*[[Кубит]]
*[[Унитарные операторы]]
*[[ЭПР парадокс]]
*[[Квантовый логический элемент NOT]]
*[[Преобразование Адамара]]
*[[Квантовый логический элемент CNOT]]
*[[Квантовый логический элемент Тоффоли]]
*[[Квантовая схема]]
== Лекция 13 ==
*[[Класс PCP]]
