Теория сложности (старая трешовая версия) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Created page with '[NP]')
 
(Практика 7: Исправление ссылки)
 
(не показано 105 промежуточных версий 27 участников)
Строка 1: Строка 1:
[NP]
+
== Лекция 1. Вводная ==
 +
Начнем курс с введения понятий '''[[DTIME]]''' и '''[[DSPACE]]'''.
 +
 
 +
*'''DTIME'''(''f''(''n'')) = <tex>\{ L \mid \exists </tex> машина Тьюринга <tex>m : L(m)=L, Time(m,x) \le f(|x|) \}</tex>, где <tex>|x|</tex> &mdash; длина входа <tex>x</tex>.
 +
 
 +
*'''DSPACE'''(''f''(''n'')) = <tex>\{ L \mid \exists </tex> машина Тьюринга <tex>m : L(m)=L, Space(m,x) \le f(|x|) \}</tex>.
 +
 
 +
Аналогичным образом введем классы '''[[NSPACE]]''' и '''[[NTIME]]''', использующие недетерминированную машину Тьюринга взамен детерминированной (в течении всего курса префикс '''D''' соответствует детерминизму, а '''N''' &mdash; недетерминизму).
 +
 
 +
Рассмотрим и докажем теоремы о емкостной и временной иерархии.
 +
 
 +
*[[Теорема о емкостной иерархии]] утверждает, что для любых двух [[Конструируемая по памяти функция|конструируемых по памяти функций]] <tex>f</tex> и <tex>g</tex> таких, что <tex> \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n) = 0</tex>, выполняется '''DSPACE'''(''g''(''n'')) &ne; '''DSPACE'''(''f''(''n'')).
 +
 
 +
*[[Теорема о временной иерархии]] утверждает, что для любых двух [[Конструируемая по времени функция|конструируемых по времени функций]] <tex>f\,\!</tex> и <tex>g\,\!</tex> таких, что <tex> \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{t(f(n))}{g(n)} = 0</tex>, выполняется '''DTIME'''(''g''(''n'')) &ne; '''DTIME'''(''f''(''n'')).
 +
 
 +
----
 +
 
 +
Через понятия классов '''DSPACE''', '''DTIME''', '''NSPACE''' и '''NTIME''' будет дано определение многим сложностным классам, в том числе '''[[P]]''' и '''[[NP]]'''.
 +
 
 +
Класс '''P''' — класс языков (задач), разрешимых на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время. Формально:
 +
*'''P'''=<tex>\bigcup_{i=0}^{\infty}</tex>'''DTIME'''<tex>(in^i)</tex>
 +
 
 +
В свою очередь, при разрешении языка из класса '''NP''' используется недетерминированная машина:
 +
*'''NP'''=<tex>\bigcup_{i=0}^{\infty}</tex> '''NTIME'''<tex>(in^i)</tex>
 +
Дадим определение класса '''NP''' на языке сертификатов:
 +
*'''NP'''=<tex>\Sigma_1 = \{L|\exists R(x,y) \in P, p \in Poly | l \in L \Leftrightarrow \exists y, |y| \le p(x) | R(x,y)=1\}</tex> (первое равенство доказывается в статье '''[[NP]]'''). Поясним, что <tex>y</tex> является сертификатом принадлежности <tex>x</tex> языку <tex>L</tex>, если существует полиномиальное отношение (верификатор) <tex>R</tex>, такое что <tex>R(x,y)=1</tex> тогда и только тогда, когда <tex>x</tex> принадлежит <tex>L</tex>.
 +
 
 +
Вместе со многими сложностными классами имеет смысл рассматривать и их дополнения (используется приставка '''co-'''). Например, класс '''[[co-NP]]'''.
 +
 
 +
----
 +
 
 +
Введем в рассмотрение отношения между языками: [[сведение по Карпу]] и [[сведение по Куку]].
 +
*Язык <tex>A</tex> сводится по Карпу к языку <tex>B</tex>, если существует функция <tex>f(x)</tex> такая, что <tex>x \in A</tex> тогда и только тогда, когда <tex>f(x) \in B</tex>.
 +
*Язык <tex>A</tex> сводится по Куку к <tex>B</tex>, если существует разрешающая язык <tex>A</tex> программа <tex>m</tex>, работающая полиномиальное время от длины входа, которая может использовать разрешающую программу <tex>m_B</tex> для языка <tex>B</tex> в качестве оракула. При этом время работы <tex>m_B</tex> не учитывается.
 +
 
 +
В дальнейшем чаще будет рассматриваться сведение по Карпу.
 +
 
 +
== Практика 1 ==
 +
*[[Сведение по Куку задачи факторизации к языку из NP]]
 +
 
 +
== Лекция 2 ==
 +
*[[Теорема Кука]]
 +
 
 +
== Практика 2 ==
 +
*[[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи]]
 +
*[[NP-полнота задачи BH1N]]
 +
*[[NP-полнота задачи о выполнимости булевой формулы в форме КНФ]]
 +
*[[NP-полнота задачи о выполнимости булевой формулы в форме 3-КНФ]]
 +
*[[NP-полнота задачи о клике]]
 +
*[[NP-полнота задачи о независимом множестве]]
 +
*[[NP-полнота задачи о вершинном покрытии]]
 +
 
 +
== Лекция 3 ==
 +
*[[Теорема Ладнера]]
 +
*[[Теорема Левина]]
 +
*[[Теорема Бейкера-Гилла-Соловэя]]
 +
 
 +
== Практика 3 ==
 +
*[[NP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах]]
 +
*[[NP-полнота задачи о сумме подмножества]]
 +
*[[NP-полнота задачи о рюкзаке]]
 +
 
 +
== Практика, которой на самом деле не было ==
 +
*[[NP-полнота задачи о раскраске графа]]
 +
 
 +
==Лекция 4==
 +
*[[Схемная сложность]]
 +
*[[P/poly]]
 +
*[[Редкие языки]]
 +
*[[Теорема Махэни]]
 +
 
 +
== Лекция 5 ==
 +
*[[Класс PS]]
 +
*[[Теорема Сэвича]]
 +
*[[PS-полнота задачи Generalized geography]]
 +
 
 +
== Лекция 6 ==
 +
*Классы [[L]], [[NL]], [[NL-полнота|NLC]]
 +
*[[NL-полнота задачи о достижимости в графе]]
 +
*[[Классы EXP, NEXP. Полнота языков EXP и NEXP]]
 +
*[[Теорема о связи вопросов EXP=NEXP и P=NP]]
 +
*[[Теорема Иммермана]]
 +
 
 +
== Практика 6 ==
 +
*[[Классы Sigma_i и Pi_i]]
 +
*[[Класс PH]]
 +
*[[Полиномиальная иерархия]]
 +
*[[Теоремы о коллапсе полиномиальной иерархии]]
 +
 
 +
== Лекция 7 ==
 +
*[[Теорема Карпа-Липтона]]
 +
 
 +
== Практика 7 ==
 +
*[[Вероятностная машина Тьюринга]]
 +
*[[Сложностный класс ZPP]]
 +
*[[Сложностные классы RP и coRP]]
 +
*[[Сложностный класс PP]]
 +
*[[Сложностный класс BPP]]
 +
*[[Уменьшение ошибки в классе RP, сильное и слабое определение]]
 +
 
 +
== Лекция 8 ==
 +
*[[Теорема о включении BPP в P/poly]]
 +
*[[Теорема Лаутемана]]
 +
*[[Теорема Валианта-Вазирани]]
 +
 
 +
== Практика 8 ==
 +
*[[Лемма Шварца-Зиппеля]]
 +
 
 +
== Лекция 9 ==
 +
*[[Класс IP|Класс IP]]
 +
*[[GNI|Принадлежность проблемы GNI классу IP]]
 +
*[[Sharp SAT|#SAT]]
 +
 
 +
== Лекция 10 ==
 +
*[[Теорема Шамира]]
 +
*[[Семейство универсальных попарно независимых хеш-функций|Семейство универсальных попарно независимых хеш-функций]]
 +
*[[Протокол Гольдвассера-Сипсера для оценки размера множества]]
 +
*[[Теорема Голдвассера, Сипсера]]
 +
 
 +
== Лекция 11 ==
 +
*[[Абсолютная секретность]]
 +
*[[Лемма о невозможности существования вычислительно безопасных шифров в случае P = NP]]
 +
*[[Односторонние функции и псевдослучайные генераторы]]
 +
*[[Доказательства с нулевым разглашением]]
 +
 
 +
== Лекция 12 ==
 +
*[[Кубит]]
 +
*[[Унитарные операторы]]
 +
*[[ЭПР парадокс]]
 +
*[[Квантовый логический элемент NOT]]
 +
*[[Преобразование Адамара]]
 +
*[[Квантовый логический элемент CNOT]]
 +
*[[Квантовый логический элемент Тоффоли]]
 +
*[[Квантовая схема]]
 +
 
 +
== Лекция 13 ==
 +
*[[Класс PCP]]

Текущая версия на 22:30, 4 июня 2012

Лекция 1. Вводная[править]

Начнем курс с введения понятий DTIME и DSPACE.

  • DTIME(f(n)) = [math]\{ L \mid \exists [/math] машина Тьюринга [math]m : L(m)=L, Time(m,x) \le f(|x|) \}[/math], где [math]|x|[/math] — длина входа [math]x[/math].
  • DSPACE(f(n)) = [math]\{ L \mid \exists [/math] машина Тьюринга [math]m : L(m)=L, Space(m,x) \le f(|x|) \}[/math].

Аналогичным образом введем классы NSPACE и NTIME, использующие недетерминированную машину Тьюринга взамен детерминированной (в течении всего курса префикс D соответствует детерминизму, а N — недетерминизму).

Рассмотрим и докажем теоремы о емкостной и временной иерархии.


Через понятия классов DSPACE, DTIME, NSPACE и NTIME будет дано определение многим сложностным классам, в том числе P и NP.

Класс P — класс языков (задач), разрешимых на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время. Формально:

  • P=[math]\bigcup_{i=0}^{\infty}[/math]DTIME[math](in^i)[/math]

В свою очередь, при разрешении языка из класса NP используется недетерминированная машина:

  • NP=[math]\bigcup_{i=0}^{\infty}[/math] NTIME[math](in^i)[/math]

Дадим определение класса NP на языке сертификатов:

  • NP=[math]\Sigma_1 = \{L|\exists R(x,y) \in P, p \in Poly | l \in L \Leftrightarrow \exists y, |y| \le p(x) | R(x,y)=1\}[/math] (первое равенство доказывается в статье NP). Поясним, что [math]y[/math] является сертификатом принадлежности [math]x[/math] языку [math]L[/math], если существует полиномиальное отношение (верификатор) [math]R[/math], такое что [math]R(x,y)=1[/math] тогда и только тогда, когда [math]x[/math] принадлежит [math]L[/math].

Вместе со многими сложностными классами имеет смысл рассматривать и их дополнения (используется приставка co-). Например, класс co-NP.


Введем в рассмотрение отношения между языками: сведение по Карпу и сведение по Куку.

  • Язык [math]A[/math] сводится по Карпу к языку [math]B[/math], если существует функция [math]f(x)[/math] такая, что [math]x \in A[/math] тогда и только тогда, когда [math]f(x) \in B[/math].
  • Язык [math]A[/math] сводится по Куку к [math]B[/math], если существует разрешающая язык [math]A[/math] программа [math]m[/math], работающая полиномиальное время от длины входа, которая может использовать разрешающую программу [math]m_B[/math] для языка [math]B[/math] в качестве оракула. При этом время работы [math]m_B[/math] не учитывается.

В дальнейшем чаще будет рассматриваться сведение по Карпу.

Практика 1[править]

Лекция 2[править]

Практика 2[править]

Лекция 3[править]

Практика 3[править]

Практика, которой на самом деле не было[править]

Лекция 4[править]

Лекция 5[править]

Лекция 6[править]

Практика 6[править]

Лекция 7[править]

Практика 7[править]

Лекция 8[править]

Практика 8[править]

Лекция 9[править]

Лекция 10[править]

Лекция 11[править]

Лекция 12[править]

Лекция 13[править]