Редактирование: Теория сложности 2019

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 23: Строка 23:
 
# Задача коммивояжера $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{ \langle G, k\rangle | G$ --- взвешенный ориентированный граф, который содержит гамильтонов цикл весом не больше $k \}$.
 
# Задача коммивояжера $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{ \langle G, k\rangle | G$ --- взвешенный ориентированный граф, который содержит гамильтонов цикл весом не больше $k \}$.
 
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
 
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
 
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
 
# $PS$-полнота языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-полным языком.
 
# $\Sigma_{i} = \{L \bigm| \exists R(x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p$ — полином $: x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{2} \exists y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\}$, где $L$ — формальный язык, $Q$ — подходящий по четности квантор. В частности, $NP = \Sigma_1$. $\Pi_i = co\Sigma_i$. Дайте определение $\Pi_i$ на языке кванторов.
 
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
 
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
 
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
 
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
 
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
 
# $PH = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\Sigma_i$. Докажите, что $PH \subset PS$.
 
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
 
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
 
# Докажите, что $2SAT \in NL$
 
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
 
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
 
# Докажите, что $RP \subset NP$
 
# Докажите, что $BPP \subset PP \subset PS$
 
# Обозначим как $RL$ класс языков $L$, для которых существует вероятностная программа, которая использует $O(\log n$) памяти и если $x \in L$, то выводит 1 с вероятностью не менее $1/2$, а если $x \not\in L$, то выводит 0. $UPATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в неориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $UPATH \in RL$. Почему это доказательство не работает для $PATH$?
 
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)