Редактирование: Точка сочленения, эквивалентные определения

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 14: Строка 14:
  
 
|proof=
 
|proof=
<tex>1 \Rightarrow 2</tex>  
+
<tex>1 \Rightarrow 2</tex> Пусть вершина <tex>v</tex> принадлежит некоторым блокам <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Вершине <tex>v</tex> инцидентны некоторые ребра <tex>e=uv \in A</tex> и <tex>f=wv \in B</tex>. Ребра <tex>e</tex> и <tex>f</tex> находятся в различных блоках, поэтому не существует двух непересекающихся путей между их концами. Учитывая, что один из путей между концами - путь из <tex>v</tex> в эту же вершину, получаем, что любой путь, соединяющий <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, пройдет через <tex>v</tex>. При удалении <tex>v</tex> между <tex>u</tex> и <tex>w</tex> не останется путей, и одна из компонент связности распадется на две.
  
Пусть вершина <tex>v</tex> принадлежит некоторым блокам <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Вершине <tex>v</tex> инцидентны некоторые ребра <tex>e=uv \in A</tex> и <tex>f=wv \in B</tex>. Ребра <tex>e</tex> и <tex>f</tex> находятся в различных блоках, поэтому не существует двух непересекающихся путей между их концами. Учитывая, что один из путей между концами - путь из <tex>v</tex> в эту же вершину, получаем, что любой путь, соединяющий <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, пройдет через <tex>v</tex>. При удалении <tex>v</tex> между <tex>u</tex> и <tex>w</tex> не останется путей, и одна из компонент связности распадется на две.
+
<tex>2 \Rightarrow 1</tex> Пусть <tex>v</tex> принадлежала только одному блоку <tex>C</tex>. Все вершины <tex>u_1...u_n</tex>, смежные с <tex>v</tex>, также лежат в <tex>C</tex> (в силу рефлексивности отношения вершинной двусвязности). Между каждой парой <tex>u_i, u_j</tex> вершин из <tex>u_1...u_n</tex> существует как минимум два вершинно непересекающихся пути. Теперь удалим <tex>v</tex>. Это разрушит путь <tex>u_{i}vu_{j}</tex>, но не разрушит любой оставшийся, так как иначе он тоже прошел бы через <tex>v</tex>.
 
 
<tex>2 \Rightarrow 1</tex>  
 
 
 
Пусть <tex>v</tex> принадлежала только одному блоку <tex>C</tex>. Все вершины <tex>u_1...u_n</tex>, смежные с <tex>v</tex>, также лежат в <tex>C</tex> (в силу рефлексивности отношения вершинной двусвязности). Между каждой парой <tex>u_i, u_j</tex> вершин из <tex>u_1...u_n</tex> существует как минимум два вершинно непересекающихся пути. Теперь удалим <tex>v</tex>. Это разрушит путь <tex>u_{i}vu_{j}</tex>, но не разрушит любой оставшийся, так как иначе он тоже прошел бы через <tex>v</tex>.
 
 
Рассмотрим <tex>D</tex> {{---}} компоненту связности, в которой лежала <tex>v</tex>. Пусть между вершинами <tex>u, w \in D</tex> существовал путь, проходящий через <tex>v</tex>. Но он проходил также через некоторые вершины из <tex>u_1...u_n</tex>, связность которых не нарушилась, поэтому есть как минимум еще один путь, отличный от удаленного. Противоречие: число компонент связности не увеличилось.
 
Рассмотрим <tex>D</tex> {{---}} компоненту связности, в которой лежала <tex>v</tex>. Пусть между вершинами <tex>u, w \in D</tex> существовал путь, проходящий через <tex>v</tex>. Но он проходил также через некоторые вершины из <tex>u_1...u_n</tex>, связность которых не нарушилась, поэтому есть как минимум еще один путь, отличный от удаленного. Противоречие: число компонент связности не увеличилось.
 
}}
 
}}

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)