Изменения

(1) '''Точка сочленения ''' [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа ]] <mathtex>G</mathtex> {{-- -}} вершина, принадлежащая как минимум двум [[Отношение вершинной двусвязности#Блоки|блокам ]] <mathtex>G</mathtex>.<tex>(1)</tex>

(2) '''Точка сочленения ''' графа <mathtex>G</mathtex> {{--- }} вершина, при удалении которой в <mathtex>G</mathtex> увеличивается число [[Отношение связности, компоненты связности|компонент связности]]. <tex>(2)</tex>}}[[Файл:Cut_vertex_1.png|thumb|left|335px|Вершины <tex>a_1</tex>, <tex>a_2</tex>, <tex>a_3</tex> - точки сочленения графа <tex>G</tex>.]] {{Лемма|statement=Определения <tex>(1)</tex> и <tex>(2)</tex> эквивалентны. |proof=<tex>1 \Rightarrow 2</tex>  Пусть вершина <tex>v</tex> принадлежит некоторым блокам <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Вершине <tex>v</tex> инцидентны некоторые ребра <tex>e=uv \in A</tex> и <tex>f=wv \in B</tex>. Ребра <tex>e</tex> и <tex>f</tex> находятся в различных блоках, поэтому не существует двух непересекающихся путей между их концами. Учитывая, что один из путей между концами - путь из <tex>v</tex> в эту же вершину, получаем, что любой путь, соединяющий <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, пройдет через <tex>v</tex>. При удалении <tex>v</tex> между <tex>u</tex> и <tex>w</tex> не останется путей, и одна из компонент связности распадется на две. <tex>2 \Rightarrow 1</tex>  Пусть <tex>v</tex> принадлежала только одному блоку <tex>C</tex>. Все вершины <tex>u_1...u_n</tex>, смежные с <tex>v</tex>, также лежат в <tex>C</tex> (в силу рефлексивности отношения вершинной двусвязности). Между каждой парой <tex>u_i, u_j</tex> вершин из <tex>u_1...u_n</tex> существует как минимум два вершинно непересекающихся пути. Теперь удалим <tex>v</tex>. Это разрушит путь <tex>u_{i}vu_{j}</tex>, но не разрушит любой оставшийся, так как иначе он тоже прошел бы через <tex>v</tex>.Рассмотрим <tex>D</tex> {{---}} компоненту связности, в которой лежала <tex>v</tex>. Пусть между вершинами <tex>u, w \in D</tex> существовал путь, проходящий через <tex>v</tex>. Но он проходил также через некоторые вершины из <tex>u_1...u_n</tex>, связность которых не нарушилась, поэтому есть как минимум еще один путь, отличный от удаленного. Противоречие: число компонент связностине увеличилось.}}  {{Теорема|statement=Следующие утверждения эквивалентны:# <tex>v</tex> {{---}} точка сочленения графа <tex>G</tex>;# существуют такие вершины <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, отличные от <tex>v</tex>, что <tex>v</tex> принадлежит любому простому пути из <tex>u</tex> в <tex>w</tex>;# существует разбиение множества вершин <tex>V \setminus \{v\}</tex> на такие два подмножества <tex>U</tex> и <tex>W</tex>, что для любых вершин <tex>u \in U</tex> и <tex>w \in W</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит любому простому пути из <tex>u</tex> в <tex>w</tex>. |proof=<tex>1 \Rightarrow 3</tex> Так как <tex>v</tex> {{---}} точка сочленения графа <tex>G</tex>, то граф <tex>G \setminus v</tex> не связен и имеет по крайней мере две компоненты. Образуем разбиение <tex>V \setminus \{v\}</tex>, отнеся к <tex>U</tex> вершины одной из этих компонент, а к <tex>W</tex> {{---}} вершины всех остальных компонент. Тогда любые две вершины <tex>u \in U</tex> и <tex>w \in W</tex> лежат в разных компонентах графа <tex>G \setminus v</tex>. Следовательно, любой простой путь из <tex>u</tex> в <tex>w</tex> графа <tex>G</tex> содержит <tex>v</tex>. <tex>3 \Rightarrow 2</tex> Следует из того, что (2) - частный случай (3). <tex>2 \Rightarrow 1</tex> Если <tex>v</tex> принадлежит любому простому пути в <tex>G</tex>, соединяющему <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, то в <tex>G</tex> нет простого пути, соединяющего эти вершины в <tex>G \setminus \{v\}</tex>. Поскольку <tex>G \setminus \{v\}</tex> не связен, то <tex>v</tex> {{---}} точка сочленения графа <tex>G</tex>.}} 

{{УтверждениеТеорема

Определения (1) Пусть <tex>G</tex> {{---}} связный граф с не менее чем тремя вершинами. Следующие утверждения эквивалентны:# <tex>G</tex> {{---}} блок ;# любые две вершины графа <tex>G</tex> принадлежат некоторому общему простому циклу;# любая вершина и любое ребро графа <tex>G</tex> принадлежат некоторому общему простому циклу;# любые два ребра графа <tex>G</tex> принадлежат некоторому общему простому циклу;# для любых двух вершин и любого ребра графа <tex>G</tex> существует простая цепь, соединяющая эти вершины и включающая данное ребро;# для любых трех различных вершин графа <tex>G</tex> существует простая цепь, соединяющая две из них и (2) эквивалентныпроходящая через третью;# для каждых трех различных вершин графа <tex>G</tex> существует простая цепь, соединяющая две из них и не проходящая через третью.

(<tex>1 ⇒ \Rightarrow 2) </tex> Пусть вершина <mathtex>u</tex>,<tex>v</mathtex> - различные вершины графа <tex>G</tex>, а <tex>U</tex> - множество вершин, отличных от <tex>u</tex>, которые лежат на простом цикле, содержащем <tex>u</tex> принадлежит некоторым блокам . Поскольку в <mathtex>AG</mathtex> по крайней мере три вершины и нет точек сочленения, то в <mathtex>BG</mathtex>нет также мостов. Вершине Значит, каждая вершина, смежная с <mathtex>vu</mathtex> инцидентны некоторые ребра , принадлежит <mathtex>e=uv \in AU</mathtex> и , т.е. <mathtex>f=wv \in BU</mathtex>не пусто. Ребра Предположим, что <tex>u</tex> не принадлежит <mathtex>eU</mathtex> и . Пусть <mathtex>fw</mathtex> находятся - вершина в различных блоках<tex>U</tex>, поэтому не существует пары непересекающихся путей между их концамидля которой расстояние <tex>d</tex>(<tex>w</tex>-<tex>u</tex>)-цепь минимально. Один из этих путей может состоять только из Пусть <tex>P_0</tex> - кратчайшая простая (<tex>w</tex>-<mathtex>vu</mathtex>)- цепь, поэтому любой путьа <tex>P_1</tex> и <tex>P_2</tex> - две простые (<tex>u</tex>-<tex>w</tex>)-цепи цикла, соединяющий содержащего <mathtex>u</mathtex> и <mathtex>w</mathtex>. Так как <tex>w</tex> не является точкой сочленения, пройдет через то существует простая (<tex>u</tex>-<mathtex>v</mathtex>)-цепь <tex>P'</tex>, не содержащая <tex>w</tex>. При удалении Обозначим через <mathtex>vw'</mathtex> между ближайшую к <mathtex>u</mathtex> вершину, принадлежащую <tex>P'</tex>, которая также принадлежит <tex>P_0</tex>, и через <tex>u'<math/tex> последнюю вершину (<tex>u</tex>-<tex>w'</mathtex> не останется путей)-подцепи в <tex>P'</tex>, которая принадлежит или <tex>P_1</tex>, или <tex>P_2</tex>. Не теряя общности, предположим, и одна из компонент связности распадется на двечто <tex>u</tex>' принадлежит  <tex>P_1</tex>.Пусть <tex>Q_1</tex> - простая (<tex>u</tex>-<tex>w'</tex>)-цепь, содержащая (2 ⇒ 1<tex>u</tex>-<tex>u'</tex>) Пусть -подцепь цепи <tex>P_1</tex> и (<mathtex>vu'</mathtex> принадлежала только одному блоку -<mathtex>Cw'</mathtex>. Все вершины )-подцепь цепи <mathtex>u_1...u_nP'</mathtex>, смежные с а <tex>Q_2</tex> - простая (<tex>u</tex>-<mathtex>vw'</mathtex>)-подцепь, также лежат в содержащая <mathtex>CP_2</mathtex> вслед за (в силу рефлексивности отношения вершинной двусвязности<tex>w</tex>-<tex>w</tex>')-подцепью цепи <tex>P_0</tex>. Теперь удалим Ясно, что <tex>Q_1</tex> и <tex>Q_2</tex> - непересекающиеся простые (<tex>u</tex>-<mathtex>vw'</mathtex>)-цепи. Но Вместе они образуют простой цикл, так что <mathtex>w'</tex> принадлежит <tex>U</tex>u_1.Поскольку <tex>w'</tex> принадлежит кратчайшей цепи, <tex>d</tex>(<tex>w'</tex>,<tex>u</tex>)<<tex>d</tex>(<tex>w</tex>,<tex>u</tex>)..u_nЭто противоречит выбору <tex>w</mathtex> были концами ребери, следовательно, доказывает, удаленных из что <mathtex>Cu</mathtex> вместе с и <mathtex>v</mathtex>лежат на одном простом цикле. <tex>3 \Rightarrow 2</tex> Следует из того, поэтому между каждой парой из них остался путьчто (2) - частный случай (3).Рассмотрим <mathtex>D2 \Rightarrow 1</tex> Если <tex>v</mathtex> - компоненту связности, принадлежит любому простому пути в которой лежала <mathtex>vG</mathtex>. Пусть между вершинами , соединяющему <mathtex>u</tex> и <tex>w</tex>, w \in Dто в <tex>G</mathtex> существовал путьнет простого пути, проходящий через соединяющего эти вершины в <mathtex>G \setminus \{v\}</mathtex>. Но он проходил также через некоторые вершины из Поскольку <mathtex>u_1...u_nG \setminus \{v\}</mathtex>, связность которых не нарушиласьсвязен, поэтому есть как минимум еще один путь, отличный от удаленного. Противоречие: число компонент связности не увеличилосьто <tex>v</tex> {{---}} точка сочленения графа <tex>G</tex>.