Изменения

'''Транзитивным замыканием''' (англ. ''transitive closure'') <tex>\mathrm{TrCl}(R)</tex> отношения <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется пересечение всех транзитивных отношений, содержащих <tex>R</tex> как подмножество (иначе, минимальное [[транзитивное отношение]], содержащее <tex>R</tex> как подмножество).}}Например, если <tex>V</tex> {{-- -}} множество городов, и на них задано отношение <tex>R</tex>, означающее, что если <tex>x R y</tex>, то "существует автобусный маршрут из <tex> x </tex> в <tex> y</tex>", то транзитивным замыканием этого отношения будет отношение "существует возможность добраться из <tex> x </tex> в <tex> y</tex>, передвигаясь на автобусах".

* <tex>R^+</tex> транзитивно. Пусть <tex>a R^+ b</tex> и <tex>b R^+ c</tex>. Это значит, что существуют <tex> i, j </tex> такие, что <tex>a R^i b</tex> и <tex>b R^j c</tex>. Но тогда <tex>a R^{i+j} c</tex>, и, так как <tex>R^{i+j} \subset R^+</tex>, то <tex>a R^+ c</tex>* <tex>R^+</tex> {{- --}} минимальное отношение, удовлетворяющее представленным требованиям. Пусть <tex>T</tex> {{- --}} транзитивное отношение, содержащее <tex>R</tex> в качестве подмножества. Покажем, что <tex>R^+ \subset T</tex>. <tex>R \subset T \Leftrightarrow R^i \subset T</tex> для любого натурального <tex>i</tex>. Докажем это по индукции. <tex>R^1 = R \subset R^+</tex>, как было показано выше. Пусть верно для любого <tex>i \le leqslant k</tex>. Пусть <tex>a R^{k+1} c</tex>. Но тогда существует <tex>b: aR^kb</tex> и <tex>bRc</tex>, но <tex>R \subset T, R^k \subset T</tex>, следовательно <tex>aTb, bTc</tex>. Из транзитивности <tex>T</tex> следует, что <tex>aTc</tex>, следовательно <tex>R^{k+1} \subset T</tex>.

Представленное доказательство указывает на способ построения транзитивного замыкания, а также позволяет определить транзитивное замыкание отношения <tex>R</tex> как отношение <tex>T</tex> такое, что <tex>aTb</tex> тогда и только тогда, когда существуют <tex>x_1, x_2, ...\ldots, x_n</tex> такие, что <tex>aRx_1</tex>, <tex>x_1Rx_2</tex>, <tex>x_2Rx_3</tex>, ...\ldots, <tex>x_{n-1}Rx_n</tex>, <tex>x_nRb</tex>, то есть существует путь из вершины <tex>a</tex> в вершину <tex>b</tex> по рёбрам графа отношения.

Если <tex>R</tex> {{- --}} отношение на конечном множестве размера n, то транзитивным замыканием такого отношения будет отношение

Для построения транзитивного замыкания отношения, заданного матрицей смежности, используется [[алгоритм Флойда — Уоршелла]].

* Транзитивное замыкание симметричного отношения симметрично. Действительно, пусть <tex>aTb</tex>, значит существуют <tex>x_1, x_2, ...\ldots, x_n</tex> такие, что <tex>aRx_1, x_1Rx_2, ...\ldots, x_nRb</tex>. Но из симметричности отношения <tex>R</tex> следует <tex>bRx_n, x_nRx_{n-1}, ...\ldots, x_1Ra</tex>, а, следовательно, <tex>bTa</tex>

* Транзитивное замыкание транзитивного отношения {{- --}} оно само

== Ссылки См. также ==* [[Транзитивное_отношение|Транзитивное отношение]]* [[Алгоритм_Флойда_—_Уоршалла|Алгоритм Флойда-Уоршалла (построение транзитивного замыкания отношения)]]* [[Транзитивный_остов|Транзитивный остов]] == Источники информации ==*[http://en.wikipedia.org/wiki/Transitive_closure Wikipedia | Transitive closure (англ.)]