Транзитивное отношение — различия между версиями
м |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | Бинарное отношение <math>R</math>, заданное на множестве <math>X</math> называется '''транзитивным''', если для <math>\forall a, b, c \in X</math> выполняется <math>aRb, bRc \Rightarrow aRc</math> | |
| − | |||
| − | Бинарное отношение <math>R</math>, заданное на множестве <math>X</math> называется '''транзитивным''', если для <math>\forall a, b, c \in X</math> выполняется <math>aRb, bRc \ | ||
== Свойства == | == Свойства == | ||
| − | Если отношение <math>R</math> транзитивно, то обратное отношение <math>R^{-1}</math> также транзитивно. Пусть <math>aR^{-1}b, bR^{-1}c</math>, но по определению обратного отношения <math>cRb, bRa</math>. Так как <math>R</math> транзитивно, то <math>cRa</math> и <math>aR^{-1}c</math>, что и требовалось доказать. | + | * Если отношение <math>R</math> транзитивно, то обратное отношение <math>R^{-1}</math> также транзитивно. Пусть <math>aR^{-1}b, bR^{-1}c</math>, но по определению обратного отношения <math>cRb, bRa</math>. Так как <math>R</math> транзитивно, то <math>cRa</math> и <math>aR^{-1}c</math>, что и требовалось доказать. |
| − | + | * Если отношения <math>R, S</math> транзитивны, то отношение <math>T = R \cap S</math> тразнитивно. Пусть <math>aTb, bTc \Rightarrow aRb, aSb, bRc, bSc</math>. Из транзитивности <math>R, S</math> следует <math>aRc, aSc</math>, но из определения пересечения отношений получаем <math>aTc</math>, что и требовалось доказать. | |
| − | Если отношения <math>R, S</math> транзитивны, то отношение <math>T = R \cap S</math> тразнитивно. Пусть <math>aTb, bTc \ | + | * Из последнего свойства следует, что пересечение любого количества транзитивных отношений транзитивно. |
| − | + | == Примеры == | |
| + | Следующие отношения являются транзитивными: | ||
| + | * отношение <math>\le</math> на множестве вещественных чисел | ||
| + | * отношение <math>\subset</math> на множестве наборов | ||
| + | * отношение параллельности на множестве прямых | ||
Версия 06:13, 8 октября 2010
Бинарное отношение , заданное на множестве называется транзитивным, если для выполняется
Свойства
- Если отношение транзитивно, то обратное отношение также транзитивно. Пусть , но по определению обратного отношения . Так как транзитивно, то и , что и требовалось доказать.
- Если отношения транзитивны, то отношение тразнитивно. Пусть . Из транзитивности следует , но из определения пересечения отношений получаем , что и требовалось доказать.
- Из последнего свойства следует, что пересечение любого количества транзитивных отношений транзитивно.
Примеры
Следующие отношения являются транзитивными:
- отношение на множестве вещественных чисел
- отношение на множестве наборов
- отношение параллельности на множестве прямых
