Изменения

В математике [[Определение отношения|бинарное Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на [[Множества|множестве ]] <tex>X</tex> называется ''транзитивным'', если для любых трёх элементов ''<tex>a, b, c'' </tex> из выполнения отношений <tex> aRb </tex> и <tex> bRc </tex> следует выполнение отношения <tex> aRc </tex>. Свойство ''транзитивности'' на отношениях в [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графе]] означает, что существоние пути из вершины ''a'' в ''b'' и из ''b'' в ''с'' влечёт существование пути из ''a'' в ''с''. Формально записывается <tex> (a \mapsto b) \land (b \mapsto c) \Rightarrow (a \mapsto c) </tex>. Также это можно понимать, что вершины графа ''a, b, c'' находятся в одной [[Отношение связности, компоненты связности|компоненте связности]].

Бинарное отношение <tex>R</tex>, заданное на множестве <tex>X,</tex> называется '''транзитивным'''(англ. ''transitive binary relation''), если для <tex>\forall ~a, b, c \in X</tex>: <tex>\colon ~(aRb) ~ \land ~(bRc) \Rightarrow ~(aRc)</tex>.

Если это условие соблюдается не для всех троек ''<tex>a, b, c''</tex>, то такое отношение называется нетранзитивным. Например, не для всех троек <tex> a, b, c \in \mathbb{N } </tex> верно, что <tex> ~(a \nmid b) ~ \land ~(b \nmid c) ~ \Rightarrow ~(a \nmid c) </tex>.

Бинарное отношение <tex>R</tex>, заданное на множестве <tex>X,</tex> называется '''нетранзитивным'''(англ. ''intransitive binary relation''), если <tex>\exists ~a, b, c \in X</tex>: <tex>\colon ~(aRb) ~ \land ~(bRc) ~ \Rightarrow land ~\neg(aRc)</tex>.

Существует более "сильное" свойство {{---}} '''антитранзитивность'''. Под этим термином понимается, что для любых троек ''<tex>a, b, c'' </tex> отсутствует транзитивность. Антитранзитивное отношение , например {{---}} отношение '''победить''' в турнирах «на вылет»: если <tex>A </tex> победил игрока <tex>B</tex>, а <tex>B </tex> победил игрока <tex>C</tex>, то <tex>A </tex> не играл с <tex>C</tex>, следовательно, не мог его победить.

Бинарное отношение <tex>R</tex>, заданное на множестве <tex>X,</tex> называется '''антитранзитивным'''(англ. ''antitransitive binary relation''), если для <tex>\forall ~a, b, c \in X</tex>: <tex>\colon ~(aRb) ~ \land ~(bRc) ~ \Rightarrow ~\neg(aRc)</tex>.

* Если отношение <tex>R</tex> транзитивно, то обратное отношение <tex>R^{-1}</tex> также транзитивно. Пусть <tex>aR^{-1}b, ~bR^{-1}c</tex>, но по определению обратного отношения <tex>cRb, ~bRa</tex>. Так как <tex>R</tex> транзитивно, то <tex>cRa</tex> и <tex>aR^{-1}c</tex>, что и требовалось доказать.* Если отношения <tex>R, ~S</tex> транзитивны, то отношение <tex>T ~ = ~R \cap S</tex> транзитивно. Пусть <tex>aTb, ~bTc \Rightarrow ~aRb, ~aSb, ~bRc, ~bSc</tex>. Из транзитивности <tex>R, ~S</tex> следует <tex>aRc, ~aSc</tex>, но из определения пересечения отношений получаем <tex>aTc</tex>, что и требовалось доказать.* Из последнего свойства следует, что пересечение любого количества транзитивных отношений транзитивно. Пересечение всех транзитивных отношений на множестве называется [[Транзитивное замыкание|транзитивным замыканием]].

** ''строгое неравенство:'' <tex>\colon ~(a < b), ~(b < c) ~ \Rightarrow ~(~a < c)\;</tex>** ''нестрогое неравенство'' <tex>\lecolon ~("\leqslant ")\;</tex>

*** ''строгое подмножество'' <tex>\colon ~ ("\subset")\;</tex>*** ''нестрогое подмножество'' <tex>\colon ~ ("\subseteq")\;</tex>

*** <tex>(a \mid b), ~(b \mid c) ~ \Rightarrow ~(a \mid c)\;</tex>*** <tex>(a \,\vdots\, b), ~(b \,\vdots\, c) ~ \Rightarrow ~(a \,\vdots\, c)\;</tex>* '''Равенство:''' <tex>\colon ~(a = b), ~(b = c) \Rightarrow ~(a = c)\;</tex>* '''[[Отношение эквивалентности|Эквивалентность:]]''' <tex>\colon ~(a \Leftrightarrow b), ~(b \Leftrightarrow c) ~ \Rightarrow ~(a \Leftrightarrow c)\;</tex>* '''Импликация:''' <tex>\colon ~(a \Rightarrow b), ~(b \Rightarrow c) ~ \Longrightarrow ~(a \Rightarrow c)\;</tex>* '''Параллельность:''' <tex>\colon ~(a \parallel b), ~(b \parallel c) ~ \Rightarrow ~(a \parallel c)\;</tex>

* Пищевая цепочка: это отношение не всегда является транзитивным(пример {{---}} волки едят оленей, олени едят траву, но волки не едят траву, контрпример {{---}} люди едят кроликов, кролики едят морковь, но люди тоже едят морковь).* ''Быть предпочтительнее чем''. Если мы хотим яблоко вместо апельсина, а вместо яблока мы бы хотели арбуз, то это не значит, что мы предпочтём арбуз яблокуапельсину.* Быть другом.* Являться коллегой по работе.

* Быть сыном(отцом, бабушкой). Но! Можно быть братом(сестрой) {{---}} тогда отношение транзитивное.

 == См. также ==* Отношение ''бойцовской силы'' между биологическими видами[[Определение_отношения|Определение отношения]]* [[Транзитивное_замыкание|Транзитивное замыкание]]* [[Алгоритм_Флойда_—_Уоршалла|Алгоритм Флойда-Уоршалла (1-й вид организмов вытесняет 2-й вид, 2-й вытесняет 3-й, а тот, в свою очередь, вытесняет 1-йпостроение транзитивного замыкания отношения). Это относится и к группам людей, использующих разные экономические стратегии.]]* [[Транзитивный_остов|Транзитивный остов]]* [[Отношение_порядка|Отношение порядка]]* [[Отношение_эквивалентности|Отношение эквивалентности]]

* [http[wikipedia://en.wikipedia.org/wiki/Transitive_relation | Wikipedia | {{---}} Transitive relation]]* [http[wikipedia://en.wikipedia.org/wiki/Intransitivity Wkipedia | Wikipedia {{---}} Intransivity]]* [[wikipedia:ru:Отношение_эквивалентности | Wikipedia {{---}} Отношение эквивалентности]]