Трапецоидная карта — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Отмена правки 22480 участника Shagal (обсуждение))
(Модификация трапецоидной карты)
 
(не показано 15 промежуточных версий 5 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
<includeonly>[[Категория: В разработке]]</includeonly>
 
<includeonly>[[Категория: В разработке]]</includeonly>
  
Трапецоидная карта {{---}} геометрическая структура позволяющая локализоваться на площади за <tex>\mathcal{O}(\log(n))</tex>.
+
Трапецоидная карта {{---}} структура данных для локализации в конфигурации отрезков.
 
==Постановка задачи==
 
==Постановка задачи==
<wikitex>
+
Есть конфигурация отрезков на плоскости и dcel-подобная структура, позволяющая по ребру из конфигурации получить соответствующий face.
{{Определение
+
Трапецоидная карта позволяет найти ребро, до которого можно дойти от точки-запроса, не пересекая образующие конфигурацию отрезки.
|id=arrangement
 
|definition =
 
'''Конфигурацией''' (англ. ''arrangement'') $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется разбиение $\mathbb{R}^d$ в связные открытые(топологически) области размерностей $0, 1 \dots d $ множеством $\mathcal{H}$ гиперплоскостей в $ \mathbb{R}^d$.
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
|id=cell
 
|definition =
 
'''Ячейкой''' (англ. ''cell'') размерности $d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в $R^d$, не пересекаемая ни одной гиперплоскостью в $\mathcal{H}$. <br>
 
Ячейкой размерности $k$, где $0 \le k < d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в пересечении гиперплоскостей подмножества $\mathcal{S} \in \mathcal{H}$, которая не пересекается ни одной гиперплоскостью из множества $\mathcal{H} \setminus \mathcal{S}$.
 
<br>
 
В случае ограниченных гиперплоскостей, ячейками соответствующих размерностей также считаются точки, отрезки (лучи), грани и прочие вплоть до размерности $k - 1$, $i$-мерные объекты, ограничивающие их.
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
|id=primitives
 
|definition =
 
'''Вершина''' (англ. ''vertex'') — ячейка размерности 0. <br>
 
'''Ребро''' (англ. ''edge'') — ячейка размерности 1. <br>
 
'''Грань''' (англ. ''face'') — ячейка размерности 2. <br>
 
'''Сторона''' (англ. ''facet'') — ячейка размерности d-1.
 
}}
 
 
</wikitex>
 
Предположим, у нас есть наши координаты, и есть двумерная конфигурация. Наша задача выдать грань содержащую точку. Пусть каждая грань  конфигурации является трапецоидом. Тогда каждая грань однозначно задается двумя отрезками ограничивающими эту грань(боковые стороны трапеции).
 
Таким образом задача локализации точки сводится к тому, что нужно выдать два отрезка между которыми находится точка.
 
 
 
Мы можем найти по карте наше местоположение и сказать в какой стране мы находимся.
 
Области задаются замкнутыми ломаными.
 
  
 
==Структура данных==
 
==Структура данных==
Строка 48: Строка 19:
 
  |statement= Любой <tex>\operatorname{face}</tex> трапецоидной карты ограничен одним или двумя вертикальными отрезками и обязательно двумя не вертикальными отрезками.
 
  |statement= Любой <tex>\operatorname{face}</tex> трапецоидной карты ограничен одним или двумя вертикальными отрезками и обязательно двумя не вертикальными отрезками.
 
}}
 
}}
[[Файл:Trapezoidmapnavigationshagal.png|650px|thumb|right|навигация в трапецоидной карте]]
+
[[Файл:Trapezoidmapnavigationshagal.png|650px|thumb|right|Трапецоидная карта]]
  
 
Именно отсюда берется название структуры, так как любой <tex>\operatorname{face}</tex> либо трапеция, либо треугольник.
 
Именно отсюда берется название структуры, так как любой <tex>\operatorname{face}</tex> либо трапеция, либо треугольник.
Строка 84: Строка 55:
  
 
}}
 
}}
Хранить трапецоиды можно в чем угодно. Вместе с самим трапецоидом, стоит хранить <tex>\operatorname{leftp}</tex>, <tex>\operatorname{rightp}</tex>, <tex>\operatorname{top}</tex> и <tex>\operatorname{bottom}</tex>. Так же следует хранить соседей трапецоида.
+
Хранить трапецоиды можно в чем угодно. Вместе с самим трапецоидом, стоит хранить <tex>\operatorname{leftp}</tex>, <tex>\operatorname{rightp}</tex>, <tex>\operatorname{top}</tex> и <tex>\operatorname{bottom}</tex>. Также следует хранить соседей трапецоида.
  
  
Строка 97: Строка 68:
 
*Второй тип узла - отрезок.
 
*Второй тип узла - отрезок.
 
 
Во время запроса мы двигаемся по графу от его корня до момента, когда окажемся в листе. Это и будет означать, что точка находится внутри трапецоида.
+
Во время запроса мы двигаемся по графу от его корня до момента, когда окажемся в листе. Это и будет означать, что точка находится внутри трапецоида.
 
Если мы находимся не в листе, то мы должны опредетиться, в каком из детей мы окажемся дальше.
 
 
  
 
Еcть два правила:
 
Еcть два правила:
 
 
 
*Если текущий узел соответсвует вершине, то выбираем лексикографически нужную.
 
*Если текущий узел соответсвует вершине, то выбираем лексикографически нужную.
*Если текущий узел соответствует отрезку, то смотрим выше или ниже мы находимся(проверка по <tex>y</tex>-координате).
+
*Если текущий узел соответствует отрезку, то смотрим, выше или ниже мы находимся(проверка по <tex>y</tex>-координате).
  
 
==Алгоритм==
 
==Алгоритм==
 
[[Файл:Trapezoidmapnotsuchbadcaseshagal.png|400px|thumb|right|простой случай]]
 
[[Файл:Trapezoidmapnotsuchbadcaseshagal.png|400px|thumb|right|простой случай]]
Во время построения трапецоидной карты(в дальнейшем <tex>T</tex>) алгоритм так же строит структуру для поиска.
+
Во время построения трапецоидной карты(в дальнейшем <tex>T</tex>) алгоритм также строит структуру для поиска.
  
Наш алгоритм добавляет отрезки по одному и, после каждого добавления, модидицирует <tex>T</tex> и <tex>D</tex>.
+
Наш алгоритм добавляет отрезки по одному и, после каждого добавления, модифицирует <tex>T</tex> и <tex>D</tex>.
  
 
''Порядок добавления отрезков''
 
''Порядок добавления отрезков''
  
От порядка добавления зависит время запроса. Как? Время запрос пропорцианально глубине графа.
+
От порядка добавления зависит время запроса. Как? Время запроса пропорционально глубине графа.
  
Считается, что если добавлять отрезки в случайном порядке, то время будет хорошим. Почему и какое время будет достигаться, расписано дальше.
+
Считается, что, если добавлять отрезки в случайном порядке, то время будет хорошим. Почему и какое время будет достигаться, расписано дальше.
  
 
===Алгоритм===
 
===Алгоритм===
Строка 133: Строка 101:
 
Чтобы модифицировать карту, мы должны понять, где произошло изменение.
 
Чтобы модифицировать карту, мы должны понять, где произошло изменение.
  
Оно произошло в тех трапецоидах, которые пересек текущий отрезок, или можно сказать, что трапецоид с <tex>i-1</tex>-ой итерации не будет в <tex>i</tex>-ой только если его пересек отрезок.
+
Оно произошло в тех трапецоидах, которые пересек текущий отрезок.
  
 
Пусть якобы есть множество трапецоидов <tex>\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2 \ldots \Delta_k</tex>, упорядоченное по <tex>s_i</tex>
 
Пусть якобы есть множество трапецоидов <tex>\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2 \ldots \Delta_k</tex>, упорядоченное по <tex>s_i</tex>
  
Пусть <tex>\Delta_{j+1}</tex> {{---}} один из правых соседей <tex>\Delta_j</tex>. Так же, при этом не сложно понять, каким соседом он является.
+
Пусть <tex>\Delta_{j+1}</tex> {{---}} один из правых соседей <tex>\Delta_j</tex>. Также, при этом несложно понять, каким соседом он является.
  
 
Если <tex>\operatorname{rightp} \Delta_j</tex> лежит выше <tex>s_i</tex>, то сосед нижний и наоборот.
 
Если <tex>\operatorname{rightp} \Delta_j</tex> лежит выше <tex>s_i</tex>, то сосед нижний и наоборот.
  
Это значит, что, если мы знаем первый трапецоид, то мы можем найти остальные просто обходя по карте соседей справа.
+
Это значит, что, если мы знаем первый трапецоид, то мы можем найти остальные, просто обходя по карте соседей справа.
  
 
Чтобы найти первый трапецоид, нужно просто локализовать правый конец в текущей карте.
 
Чтобы найти первый трапецоид, нужно просто локализовать правый конец в текущей карте.
Строка 157: Строка 125:
 
В случае, если какие-то трапецоиды выродятся в треугольники, будет не четыре новых трапецоида, а 2 или 3.
 
В случае, если какие-то трапецоиды выродятся в треугольники, будет не четыре новых трапецоида, а 2 или 3.
 
*Находим множество трапецоидов, которых пересек отрезок (в данном случаи он один).
 
*Находим множество трапецоидов, которых пересек отрезок (в данном случаи он один).
*Находим этот трапецоид в <tex> T </tex> и добавили вместо него нужные трапецоиды.
+
*Находим этот трапецоид в <tex> T </tex> и добавляем вместо него нужные трапецоиды.
*Спускаемся по <tex> D </tex> до соответвствующего трапецоида.
+
*Спускаемся по <tex> D </tex> до соответствующего трапецоида.
*Вместо этого трапецоида добавляем ключ "x" и строим от туда часть структуры как показано на картинке.   
+
*Вместо этого трапецоида добавляем ключ "x" и строим оттуда часть структуры, как показано на картинке.   
  
  
 
*'''Сложный''' {{---}} отрезок пересекает сразу несколько трапецоидов.
 
*'''Сложный''' {{---}} отрезок пересекает сразу несколько трапецоидов.
  
Итак наш отрезок пересекает трапецоиды <tex>\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2 ... \Delta_k</tex>.
+
Итак, наш отрезок пересекает трапецоиды <tex>\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2 ... \Delta_k</tex>.
  
 
Сначала добавляем вертикальные лучи из концов текущего отрезка. Это нужно, чтобы модифицировать <tex>\Delta_0</tex> и <tex>\Delta_k</tex>.
 
Сначала добавляем вертикальные лучи из концов текущего отрезка. Это нужно, чтобы модифицировать <tex>\Delta_0</tex> и <tex>\Delta_k</tex>.
Строка 175: Строка 143:
 
*Находим множество трапецоидов, которых пересек отрезок.
 
*Находим множество трапецоидов, которых пересек отрезок.
 
*Находим этот трапецоид в <tex> T </tex> и добавили вместо него нужные трапецоиды.
 
*Находим этот трапецоид в <tex> T </tex> и добавили вместо него нужные трапецоиды.
*Спускаемся по <tex> D </tex> до соответвствующих трапецоидов.
+
*Спускаемся по <tex> D </tex> до соответствующих трапецоидов.
*Вместо них добавляем новые ключи как показано на картинке.
+
*Вместо них добавляем новые ключи, как показано на картинке.
 +
 
 +
Заметим, что не нужно каждый раз хранить все трапецоиды, которые пересек отрезок. Можно менять структуру во время поиска этих трапецоидов.
 +
Если идти по отрезку слева направо, то, как только отрезок пересек очередное вертикальное дополнение, новый трапецоид левее этого дополнения заканчивается и больше изменяться не будет. Мы можем сразу поменять структуру.
 +
Таким образом, сложный случай сводится к простому.
 +
===Модификация трапецоидной карты===
 +
Совместим update и алгоритм поиска новых трапецоидов.
 +
Находим первый трапецоид, в который попал новый отрезок.
 +
Предположим, у нас простой случай, то есть менять нужно только один трапецоид.
 +
В таком случае мы сразу его модифицируем.
 +
 
 +
Если новый отрезок пересекает несколько трапецоидов.
 +
Рассмотрим момент, когда текущий трапецоид заканчивается и мы начинаем рассматривать его соседей.
 +
Очевидно, что если мы модифицируем закончившийся трапецоид, мы по прежнему сможем рассматривать его соседей.
 +
При этом модификацию мы проводим так же, как в простом случае.
 +
 
 +
  '''Update'''(Segment s)
 +
 
 +
  Point p <tex>\leftarrow</tex> s.start
 +
  Point q <tex>\leftarrow</tex> s.finish
 +
  Находим первый трапецоид <tex>\Delta_{0}</tex>
 +
  <tex>\Delta_{temp}</tex>
 +
 
 +
  while  q справа от rightp(<tex>\Delta_{0}</tex>)
 +
   
 +
    if <tex>\Delta_{0}</tex> ниже <tex> s_{i} </tex>
 +
      <tex>\Delta_{temp}</tex> нижний правый сосед <tex>\Delta_{0}</tex>
 +
    else
 +
      <tex>\Delta_{temp}</tex> верхний правый сосед <tex>\Delta_{0}</tex>
 +
   
 +
    Модифицируем <tex>\Delta_{0}</tex>
 +
   
 +
    <tex>\Delta_{0} \leftarrow \Delta_{temp}</tex>
  
 
==Случай коллизии==
 
==Случай коллизии==
Рассмотрим момент, когда мы мы строим карты. Мы должны добавить очередной отрезок.
+
Рассмотрим момент, когда мы строим карты. Мы должны добавить очередной отрезок.
  
Предположим, левый конец отрезка лежит на одной вертикале с уже добавленной в карту точкой <tex> p </tex>.
+
Предположим, левый конец отрезка лежит на одной вертикали с уже добавленной в карту точкой <tex> p </tex>.
  
 
Скажем, что наша точка лежит правее, чем та, которая уже есть. В случае, если мы попали на уже созданный отрезок, мы скажем, что находимся, например, ниже его.  
 
Скажем, что наша точка лежит правее, чем та, которая уже есть. В случае, если мы попали на уже созданный отрезок, мы скажем, что находимся, например, ниже его.  
Строка 198: Строка 198:
 
==Асимптотика==
 
==Асимптотика==
 
===Запрос===
 
===Запрос===
Предположим у нас есть запрос на локализацию точки <tex>q</tex>. Время, затраченное, на этот запрос будет линейно зависит от глубины графа.  
+
Предположим, у нас есть запрос на локализацию точки <tex>q</tex>. Время, затраченное на этот запрос, будет линейно зависеть от глубины графа.  
  
 
При добавлении в карту очередного отрезка(в дальнейшем, итерация алгоритма), глубина графа увеличивается максимум на 3. Из этого мы можем сделать простую оценку.
 
При добавлении в карту очередного отрезка(в дальнейшем, итерация алгоритма), глубина графа увеличивается максимум на 3. Из этого мы можем сделать простую оценку.
Строка 204: Строка 204:
 
Наибольшее время на запрос, которое мы можем потратить {{---}} <tex>3n</tex>.  
 
Наибольшее время на запрос, которое мы можем потратить {{---}} <tex>3n</tex>.  
  
Как говорилось раньше, отрезки мы добавляем в случайном порядке, а потому, редко будет самый ужасный случай и, с вероятностных точек зрения, время на запрос будет меньше.
+
Как говорилось раньше, отрезки мы добавляем в случайном порядке, а потому редко будет самый ужасный случай, и, с вероятностных точек зрения, время на запрос будет меньше.
  
 
Рассмотрим путь, пройденный точкой по графу. Каждый узел был создан на какой-то итерации цикла. Обозначим за <tex>X_i</tex> количество узлов, созданных на итерации <tex>i</tex>.
 
Рассмотрим путь, пройденный точкой по графу. Каждый узел был создан на какой-то итерации цикла. Обозначим за <tex>X_i</tex> количество узлов, созданных на итерации <tex>i</tex>.
Строка 228: Строка 228:
 
Таким образом <tex>P_i = P(\Delta_q(i) \ne \Delta_q(i - 1))</tex>.
 
Таким образом <tex>P_i = P(\Delta_q(i) \ne \Delta_q(i - 1))</tex>.
 
  
 
  
Если эти два трапеецоида не равны, значит на i-ой итерации трапецоид <tex>\Delta_q(i)</tex> был одним из созданных при модификации.
+
Если эти два трапецоида не равны, значит, на i-ой итерации трапецоид <tex>\Delta_q(i)</tex> был одним из созданных при модификации.
  
 
Заметим, что все трапецоиды, созданные на этой итерации, были смежны текущему отрезку(<tex>s_i</tex>).
 
Заметим, что все трапецоиды, созданные на этой итерации, были смежны текущему отрезку(<tex>s_i</tex>).
  
Значит либо <tex>s_i = \operatorname{top} \Delta_i</tex> или <tex>\operatorname{bottom} \Delta_i</tex>, либо концы <tex>s_i = \operatorname{leftp} \Delta_i</tex> или <tex>\operatorname{rightp} \Delta_i</tex>.
+
Значит, либо <tex>s_i = \operatorname{top} \Delta_i</tex> или <tex>\operatorname{bottom} \Delta_i</tex>, либо концы <tex>s_i = \operatorname{leftp} \Delta_i</tex> или <tex>\operatorname{rightp} \Delta_i</tex>.
  
 
Зафиксируем множество отрезков на <tex>i</tex>-ой итерации. Тогда состояние трапецоидов никак не будет зависеть от порядка добавленных отрезков.
 
Зафиксируем множество отрезков на <tex>i</tex>-ой итерации. Тогда состояние трапецоидов никак не будет зависеть от порядка добавленных отрезков.
  
Тогда, вероятность изменения трапецоида {{---}} это его вероятность исчезнуть, если удалится <tex>s_i</tex>.
+
Тогда вероятность изменения трапецоида {{---}} это его вероятность исчезнуть, если удалится <tex>s_i</tex>.
  
 
Тогда переходим, к <tex>\operatorname{top} \Delta_i</tex> и т.п. так как мы уже говорили, что <tex>s_i</tex> будет определенной стороной при навигации.
 
Тогда переходим, к <tex>\operatorname{top} \Delta_i</tex> и т.п. так как мы уже говорили, что <tex>s_i</tex> будет определенной стороной при навигации.
Строка 294: Строка 294:
 
     Удаляем это множество из карты и добавляем новые узлы появившиеся из-за <tex>s_i</tex> в поисковой структуре
 
     Удаляем это множество из карты и добавляем новые узлы появившиеся из-за <tex>s_i</tex> в поисковой структуре
 
     Аналогично для просто карты
 
     Аналогично для просто карты
 
===Поиск трапецоидов, которых пересекает отрезок===
 
 
LookforTrapezoid(<tex>s_i</tex> - segment)
 
  Запоминаем левый и правый конец <tex>s_i</tex> 
 
  Делаем запрос на левый конец в карте.
 
  j <tex>\leftarrow</tex> 0;
 
  while q <tex>\in</tex> правый от rightp(трапецоид_j)
 
    do if rightp(трапецоид_j) над <tex>s_i</tex>
 
      then ставим трапецоид_(j+1) нижним правым соседом трапецоид_j.
 
      else ставим трапецоид_(j+1) верхним правым соседом трапецоид_j.
 
    j <tex>\leftarrow</tex> j+1
 
  
 
==Ссылки==
 
==Ссылки==
 
[http://graphics.stanford.edu/courses/cs268-09-winter/  Lecture notes from stanford, Seidel]
 
[http://graphics.stanford.edu/courses/cs268-09-winter/  Lecture notes from stanford, Seidel]
 +
 +
[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Текущая версия на 01:44, 18 февраля 2015

Эта статья находится в разработке!


Трапецоидная карта — структура данных для локализации в конфигурации отрезков.

Постановка задачи[править]

Есть конфигурация отрезков на плоскости и dcel-подобная структура, позволяющая по ребру из конфигурации получить соответствующий face. Трапецоидная карта позволяет найти ребро, до которого можно дойти от точки-запроса, не пересекая образующие конфигурацию отрезки.

Структура данных[править]

трапецоидная карта
  • Геометрическая

У нас есть множество отрезков, ограниченных оболочкой [math]R[/math](это не выпуклая оболочка, а просто мнимая граница плоскости, за которую не вылезают отрезки).

Трапецоидная карта множества отрезков [math]S[/math] — это множество трапецоидов построенных следующим образом, из каждой точки выпущены два луча — вверх и вниз, до первого пересечения с другим отрезком или с оболочкой [math]R[/math].

Лемма:
Любой [math]\operatorname{face}[/math] трапецоидной карты ограничен одним или двумя вертикальными отрезками и обязательно двумя не вертикальными отрезками.
Трапецоидная карта

Именно отсюда берется название структуры, так как любой [math]\operatorname{face}[/math] либо трапеция, либо треугольник.


Введем обозначения для навигации по карте.

  • левая граница ([math]\operatorname{leftp}[/math]) — точка, определяющая левую сторону трапецоида или, в случаи треугольника, просто являющаяся левой вершиной.
  • правая граница ([math]\operatorname{rightp}[/math]) — аналогично левой, только справа.
  • верхний отрезок ([math]\operatorname{top}[/math]) и нижний отрезок([math]\operatorname{bottom}[/math]) — отрезки, ограничивающие, трапецоид сверху и снизу.
  • трапецоиды называются смежными, если имеют общую вертикальную границу.
  • пусть [math]\Delta_1[/math] и [math]\Delta_2[/math] смежны и либо [math]\operatorname{top}(\Delta_1) = \operatorname{top}(\Delta_2)[/math], либо [math]\operatorname{bottom}(\Delta_1) = \operatorname{bottom}(\Delta_2)[/math]. Тогда [math]\Delta_1[/math] и [math]\Delta_2[/math] называют либо нижними, либо верхними левыми соседями.


Теорема:
Трапецоидная карта, построенная на [math]n[/math] отрезках содержит максимум [math]6n+4[/math] вершины и максимум [math]3n+1[/math] трапецоид.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  • вершины, а точнее откуда они берутся.
    • 4 вершины уходит на оболочку [math]R[/math]
    • [math]2 \cdot n[/math] концы отрезков
    • [math]2 \cdot 2n[/math] пересечения вертикальных лучей из концов отрезков с другими отрезками или оболочкой
  • трапецоиды

Будем смотреть на левую сторону трапецоида.

У каждого трапецоида есть точка [math]\operatorname{leftp}(\Delta)[/math]. Либо это конец какого-то отрезка, либо это левый нижний угол оболочки.

При этом можно сразу сказать, что левый и нижний угол будут соответствовать только одному трапецоиду.

Далее заметим, что правый конец отрезка может быть [math]\operatorname{leftp}(\Delta)[/math] только для одного трапецоида.

Левый конец может быть [math]\operatorname{leftp}(\Delta)[/math] максимум для двух трапецоидов.

Из этого следует, что количество трапецоидов [math]n + 2n + 1 = 3n + 1[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Хранить трапецоиды можно в чем угодно. Вместе с самим трапецоидом, стоит хранить [math]\operatorname{leftp}[/math], [math]\operatorname{rightp}[/math], [math]\operatorname{top}[/math] и [math]\operatorname{bottom}[/math]. Также следует хранить соседей трапецоида.



навигация в трапецоидной карте
  • Поисковая структура

Поисковая структура представляет из себя ациклический граф с одним корнем и соответствующими трапецоидам листьями.

У каждого узла есть два ребенка. При этом узел может быть двух типов.

  • Первый тип узла - точка, соответствующая концу отрезка.
  • Второй тип узла - отрезок.

Во время запроса мы двигаемся по графу от его корня до момента, когда окажемся в листе. Это и будет означать, что точка находится внутри трапецоида.

Еcть два правила:

  • Если текущий узел соответсвует вершине, то выбираем лексикографически нужную.
  • Если текущий узел соответствует отрезку, то смотрим, выше или ниже мы находимся(проверка по [math]y[/math]-координате).

Алгоритм[править]

простой случай

Во время построения трапецоидной карты(в дальнейшем [math]T[/math]) алгоритм также строит структуру для поиска.

Наш алгоритм добавляет отрезки по одному и, после каждого добавления, модифицирует [math]T[/math] и [math]D[/math].

Порядок добавления отрезков

От порядка добавления зависит время запроса. Как? Время запроса пропорционально глубине графа.

Считается, что, если добавлять отрезки в случайном порядке, то время будет хорошим. Почему и какое время будет достигаться, расписано дальше.

Алгоритм[править]

  • Добавили отрезок.
  • Нашли все трапецоиды, которые пересек новый отрезок.
  • Удалили их.
  • Создали новые трапецоиды.
сложный случай

Поиск трапецоидов, которые пересек отрезок[править]

Чтобы модифицировать карту, мы должны понять, где произошло изменение.

Оно произошло в тех трапецоидах, которые пересек текущий отрезок.

Пусть якобы есть множество трапецоидов [math]\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2 \ldots \Delta_k[/math], упорядоченное по [math]s_i[/math]

Пусть [math]\Delta_{j+1}[/math] — один из правых соседей [math]\Delta_j[/math]. Также, при этом несложно понять, каким соседом он является.

Если [math]\operatorname{rightp} \Delta_j[/math] лежит выше [math]s_i[/math], то сосед нижний и наоборот.

Это значит, что, если мы знаем первый трапецоид, то мы можем найти остальные, просто обходя по карте соседей справа.

Чтобы найти первый трапецоид, нужно просто локализовать правый конец в текущей карте.

update[править]

Рассмотрим подробнее последние две части

Есть два случая.

  • Простой — отрезок не пересекает ни одного трапецоида, то есть целиком внутри.

Тогда удаляем этот старый трапецоид и на его место ставим дерево из двух концов отрезка, отрезка и четырех образовавшихся трапецоидов.

Важно не забыть правильно определить соседей новых трапецоидов.

В случае, если какие-то трапецоиды выродятся в треугольники, будет не четыре новых трапецоида, а 2 или 3.

  • Находим множество трапецоидов, которых пересек отрезок (в данном случаи он один).
  • Находим этот трапецоид в [math] T [/math] и добавляем вместо него нужные трапецоиды.
  • Спускаемся по [math] D [/math] до соответствующего трапецоида.
  • Вместо этого трапецоида добавляем ключ "x" и строим оттуда часть структуры, как показано на картинке.


  • Сложный — отрезок пересекает сразу несколько трапецоидов.

Итак, наш отрезок пересекает трапецоиды [math]\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2 ... \Delta_k[/math].

Сначала добавляем вертикальные лучи из концов текущего отрезка. Это нужно, чтобы модифицировать [math]\Delta_0[/math] и [math]\Delta_k[/math]. Теперь мы должны удалить соответствующие листья и на их место поставить те новые, которые появились из-за изменения лучей.

Дальше мы модифицуруем вертикальные лучи, которые пересекают текущий отрезок. Этот процесс происходит достаточно быстро, так мы храним много информацию об этих лучах.


[math]\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2 \ldots \Delta_k[/math].

  • Находим множество трапецоидов, которых пересек отрезок.
  • Находим этот трапецоид в [math] T [/math] и добавили вместо него нужные трапецоиды.
  • Спускаемся по [math] D [/math] до соответствующих трапецоидов.
  • Вместо них добавляем новые ключи, как показано на картинке.

Заметим, что не нужно каждый раз хранить все трапецоиды, которые пересек отрезок. Можно менять структуру во время поиска этих трапецоидов. Если идти по отрезку слева направо, то, как только отрезок пересек очередное вертикальное дополнение, новый трапецоид левее этого дополнения заканчивается и больше изменяться не будет. Мы можем сразу поменять структуру. Таким образом, сложный случай сводится к простому.

Модификация трапецоидной карты[править]

Совместим update и алгоритм поиска новых трапецоидов. Находим первый трапецоид, в который попал новый отрезок. Предположим, у нас простой случай, то есть менять нужно только один трапецоид. В таком случае мы сразу его модифицируем.

Если новый отрезок пересекает несколько трапецоидов. Рассмотрим момент, когда текущий трапецоид заканчивается и мы начинаем рассматривать его соседей. Очевидно, что если мы модифицируем закончившийся трапецоид, мы по прежнему сможем рассматривать его соседей. При этом модификацию мы проводим так же, как в простом случае.

 Update(Segment s)
 
 Point p [math]\leftarrow[/math] s.start
 Point q [math]\leftarrow[/math] s.finish
 Находим первый трапецоид [math]\Delta_{0}[/math]
 [math]\Delta_{temp}[/math]
 
 while  q справа от rightp([math]\Delta_{0}[/math])
   
   if [math]\Delta_{0}[/math] ниже [math] s_{i} [/math]
     [math]\Delta_{temp}[/math] нижний правый сосед [math]\Delta_{0}[/math] 
   else 
     [math]\Delta_{temp}[/math] верхний правый сосед [math]\Delta_{0}[/math] 
   
   Модифицируем [math]\Delta_{0}[/math] 
    
   [math]\Delta_{0} \leftarrow \Delta_{temp}[/math]

Случай коллизии[править]

Рассмотрим момент, когда мы строим карты. Мы должны добавить очередной отрезок.

Предположим, левый конец отрезка лежит на одной вертикали с уже добавленной в карту точкой [math] p [/math].

Скажем, что наша точка лежит правее, чем та, которая уже есть. В случае, если мы попали на уже созданный отрезок, мы скажем, что находимся, например, ниже его.

Что при этом произойдет.

  • С геометрической точки зрения, появится ещё несколько трапецоидов, как в случае, если бы вновь добавленная точка была правее на [math] \varepsilon \rightarrow 0[/math].

А значит, у трапецоида по прежнему не более двух правых соседей.

  • С точки зрения поисковой структуры мы по-прежнему можем локализоваться. По крайней мере, узел, соответствующий точке [math] p [/math] будет иметь правым сыном нашу точку.

Итого, слова "трапецоидные карты просты отсутствие случаев" появляются именно отсюда, так как, казалось бы, неприятный случай будет прописан заменой [math]\textless [/math] на [math] \le [/math]

Асимптотика[править]

Запрос[править]

Предположим, у нас есть запрос на локализацию точки [math]q[/math]. Время, затраченное на этот запрос, будет линейно зависеть от глубины графа.

При добавлении в карту очередного отрезка(в дальнейшем, итерация алгоритма), глубина графа увеличивается максимум на 3. Из этого мы можем сделать простую оценку.

Наибольшее время на запрос, которое мы можем потратить — [math]3n[/math].

Как говорилось раньше, отрезки мы добавляем в случайном порядке, а потому редко будет самый ужасный случай, и, с вероятностных точек зрения, время на запрос будет меньше.

Рассмотрим путь, пройденный точкой по графу. Каждый узел был создан на какой-то итерации цикла. Обозначим за [math]X_i[/math] количество узлов, созданных на итерации [math]i[/math].

Так как никто не выбирал исходное множество отрезков и запрос [math]q[/math], [math]X_i[/math] — рандомная величина, зависящая только от рандомного порядка добавления отрезков.

[math]E[\sum^{n}_{i=1}X_i] = \sum^{n}_{i=1}E[X_i][/math]

Как уже упоминалось, на каждой итерации добавляется не более 3 узлов, а значит [math]X_i \leq 3[/math].

Считая, что [math]P_i[/math] — вероятность того, что существует узел, который встречается при нашем запросе, созданный на [math]i[/math]-ой итерации.

[math]\sum^{n}_{i=1}E[X_i] \lt = \sum^{n}_{i=1}3P_i[/math]

Начинаем оценивать [math] P_i [/math].

Что значит, что узел был создан на [math]i[/math]-ой итерации и встретился при запросе [math]q[/math]?

Это значит, что на [math]i-1[/math]-ой итерации мы локализовывали [math]q[/math] в трапецоиде [math]\Delta_q(i-1)[/math],а на [math]i[/math]-ой итерации уже в трапецоиде [math] \Delta_q(i) [/math] и эти два трапецоида разные.

То есть, после добавления непонятно чего в карту, трапецоид изменился.

Таким образом [math]P_i = P(\Delta_q(i) \ne \Delta_q(i - 1))[/math].

Если эти два трапецоида не равны, значит, на i-ой итерации трапецоид [math]\Delta_q(i)[/math] был одним из созданных при модификации.

Заметим, что все трапецоиды, созданные на этой итерации, были смежны текущему отрезку([math]s_i[/math]).

Значит, либо [math]s_i = \operatorname{top} \Delta_i[/math] или [math]\operatorname{bottom} \Delta_i[/math], либо концы [math]s_i = \operatorname{leftp} \Delta_i[/math] или [math]\operatorname{rightp} \Delta_i[/math].

Зафиксируем множество отрезков на [math]i[/math]-ой итерации. Тогда состояние трапецоидов никак не будет зависеть от порядка добавленных отрезков.

Тогда вероятность изменения трапецоида — это его вероятность исчезнуть, если удалится [math]s_i[/math].

Тогда переходим, к [math]\operatorname{top} \Delta_i[/math] и т.п. так как мы уже говорили, что [math]s_i[/math] будет определенной стороной при навигации.

Отрезки добавлялись рандомно, поэтому, в качестве [math]s_i[/math] мог быть любой отрезок из [math]S_i[/math]. А, тогда, вероятность для всех сторон [math]\frac1i[/math].

Суммируем по всем 4 сторонам.

Таким образом [math]P_i = P( \Delta_q(i) \ne \Delta_q(i - 1)) = P( \Delta_q(i) \in \Delta_q(i - 1) ) \le \frac4i[/math]

[math]\sum^{n}_{i=1}E[X_i] \le \sum^{n}_{i=1}3P_i \le \sum^{n}_{i=1}\frac{12}i \le 12\sum^{n}_{i=1}(1/i) \approx 12 \cdot log(n)[/math]

Память[править]

Заметим, что количество трапецоидов, как мы доказали раньше, равно [math]\mathcal{O}(n)[/math], поэтому мы должны оценить количество узлов созданых на [math]i[/math]-ой итерации.

А результирующее выражение для памяти тогда будет

[math]\mathrm{Mem} = \mathcal{O}(n) + \sum^{n}_{i=1}[/math] количество узлов созданное на [math]i[/math]-ой итерации

Обозначив за [math]k_i[/math] количество узлов, созданное на [math]i[/math]-ой итерации

[math]\mathrm{Mem} = \mathcal{O}(n) + \sum^{n}_{i=1} E[k_i][/math]

Введем новую функцию для трапецоида [math] \Delta [/math] и отрезка s.

Выделим множество [math] S_i \in S [/math]. Пусть [math] s \in S_i [/math] и [math] \Delta \in T(S_i) [/math].

[math] \delta(\Delta, s) [/math] равна 1, если при удалении [math] s [/math] из [math] S_i [/math] [math], \Delta [/math] удалится, иначе [math] \delta [/math] равна 0.

[math]E[k_i] = \frac{1}i \sum^{}_{s \in S_i} \sum^{}_{\Delta \in T(S_i)} \delta(\Delta, s) \le \frac{4|T(S_i|}i = \mathcal{O}(1)[/math]

А тогда [math]\mathrm{Mem} = \mathcal{O}(n)[/math]

Из этих двух выводов очевидно следует, что время построения карты равно [math]\mathcal{O}(n \log n)[/math].

Реализация[править]

Здесь будут рассмотрены некоторые основные моменты реализации Это только идеи, в коде все выглядит примерно в 50 раз хуже.(по количеству строк)

Класс "трапецоид"[править]

struct Trapezoid
  Trapezoid next
  Trapezoid up
  Trapezoid down
  Trapezoid end
  Segment top
  Segment bottom
  Point left
  Point right

Построение трапецоидной карты[править]

TrapezoidMap(S - segments)
  Строим оболочку(просто находим крайние точки множества отрезков по четырем направлениям)
  Строим рандомную перестановку отрезков
  for для всех
    ищем множество трапецоидов пересекаемых отрезком [math]s_i[/math]. //это специальная функция//
    Удаляем это множество из карты и добавляем новые узлы появившиеся из-за [math]s_i[/math] в поисковой структуре
    Аналогично для просто карты

Ссылки[править]

Lecture notes from stanford, Seidel