Изменения

'''Трёхзначная логика''' В традиционной трёхзначной логике "лжи" и "истине" соответствуют знаки <tex>-</tex> и <tex>+</tex>. Третьему (или '''троичная логика'''серединному) — исторически первая многозначная логикасостоянию соответствует знак <tex>0</tex>. Допустимо использование таких наборов знаков, как <tex>\{0,1,2\}</tex>, <tex>\{-1,0,1\}</tex>, <tex>\{0,1/2,1\}</tex> <tex>\{N,Z,P\}</tex>, и др. Является простейшим расширением двузначной логикиИногда используют обозначения И, Л, Н (истина, ложь и неизвестность).

Обычным Классическим примером трехзначной состояний такой логики является состояние постоянного тока: движется в одну сторонумножество <tex>\{>, движется в другую сторону<, либо отсутствует=\}</tex>, — значения, которые может принимать компаратор двух объектов.В традиционной трёхзначной логике "лжи" и "истине" соответствуют знаки „-“ и „+“. Третьему {{Определение|definition = '''Троичная функция''' (серединномуили '''тернарная функция''') состоянию соответствует знак "от <tex>n</tex> переменных — это отображение <tex>T^n</tex> → <tex>T</tex>, где <tex>T = \{-, 0", +\}</tex>. }}

ОчевидноПо-аналогии с [[Определение_булевой_функции | двоичной логикой]], что в троичной логике существует всего существует <mathtex>3^{3=27^n}</mathtex> одноместных операций. <table border=1><tr><td>для <mathtex>an</mathtex>аргументов. Таким образом, в троичной логике всего существует </tdtex>3^{3^1}=27<td/tex>одноместных операций.  ===Инверсия=== <mathtex>NOT^-</mathtex>,</tdtex>NOT<td/tex>и <mathtex>0NOT^+</mathtex>— операторы '''инверсии''', сохраняющие состояние </tdtex>-<td/tex>, <mathtex>+0</mathtex>и </td><tdtex>+</td></trtex>соответственно, когда оно соответствует типу оператора, или обращающие в значение, не равное исходному состоянию и не соответствующее типу оператора инверсии, то есть в оставшееся третье.  Например, если <trtex><td><math>f_0a = (-)</mathtex>, то </tdtex><td>-NOT^+a=0</tdtex>. Так как исходное состояние <tdtex>(-)</tdtex>, тип инверсии <tdtex>-NOT^+</tdtex>, то методом исключения можно прийти к результирующему состоянию <tdtex>0<math/tex>.  Все возможные варианты для данной одноместной операции приведены в таблице. {| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| </mathtex>\bf{a}</tdtex>!style="background-color:#EEE"| <tex>\bf{NOT^-}</trtex>!style="background-color:#EEE"| <trtex>\bf{NOT}<td/tex>!style="background-color:#EEE"| <mathtex>f_1\bf{NOT^+}</math></tdtex> |-|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tdtex>\bf{-}</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex>-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex>0+</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex>0<math/tex>\searrow|-|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| </math></tdtex>\bf{0}</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <trtex>+<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <mathtex>f_20</math></tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex>-</tdtex>|-|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tdtex>-\bf{+}</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex>+0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex><math>S^+-</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| </tdtex>+</trtex>|} ===Операция выбора=== <trtex>S^-<td/tex>, <mathtex>f_3S</mathtex>и </tdtex><td>-S^+</tdtex>— операторы '''выбора'''. Превращают состояние, соответствующее типу оператора в <tdtex>0(+)</tdtex>, в случае любого из остальных двух состояний переменная приобретает значение <tdtex>(-)</tdtex>. {| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| <tdtex>\bf{a}</td></trtex>!style="background-color:#EEE"| <trtex>\bf{S^-}<td/tex>!style="background-color:#EEE"| <mathtex>f_4\bf{S}</mathtex>!style="background-color:#EEE"| </tdtex>\bf{S^+}<td/tex> |-|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| </tdtex><td>0\bf{-}</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex>0+</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <td></tdtex>-</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <trtex>-<td/tex>|-|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <mathtex>f_5\bf{0}</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex>-+</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex>0-</tdtex>|-|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tdtex>\bf{+}</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex><math>a-</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| </tdtex>-</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <trtex>+<td/tex>|} ===Модификация=== <mathtex>f_6INC</mathtex>и </tdtex><td>-DEC</tdtex>— операторы '''модификации''', соответственно увеличение и уменьшение трита на единицу по модулю три. При переполнении трита счёт начинается заново (<tdtex>INC (+) = (-)</tdtex>). {| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| <tdtex>-\bf{a}</tdtex>!style="background-color:#EEE"| <tdtex><math>S\bf{INC a}</mathtex>!style="background-color:#EEE"| </tdtex>\bf{DEC a}</trtex> |-|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <trtex>\bf{-}<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <mathtex>f_70</math></td><tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| </td><tdtex>+</tdtex>|-|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tdtex>\bf{0}</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>+<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <mathtex>NOT^-</mathtex>|-|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| </tdtex>\bf{+}</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <trtex><td><math>f_8-</math></tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex>-0</tdtex>|} ===Пороговое увеличение и уменьшение=== <tdtex>+\nearrow</tdtex>, <tdtex>+\searrow</tdtex>— данные операторы работают аналогично операторам модификации лишь с тем отличием, что при переполнении трита цикл состояний не повторяется, и значение так и остаётся минимальным или максимальным. {| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| <td></tdtex>\bf{a}</trtex>!style="background-color:#EEE"| <trtex>\bf{\nearrow a}<td/tex>!style="background-color:#EEE"| <mathtex>f_9\bf{\searrow a}</mathtex> |-|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>\bf{-}</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex>0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex>-</td><tdtex>|-|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| </tdtex>\bf{0}<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| </tdtex>+</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <trtex>-<td/tex>|-|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <mathtex>f_\bf{10+}</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>+</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tdtex>0</tdtex><td|} ===Другие одноместные функции=== * <tex>-+</tdtex>, <tdtex>0</tdtex>и <tdtex>-</tdtex> — функции, не зависящие от аргумента <tex>a</trtex>, они же вырожденные. * Функция <trtex><td><math>f_{11}a</math></tdtex>— тождественная и также вырожденная функция. * Остальные функции от одной переменной образуются путём [[Суперпозиции | сочетания операторов]] выбора с операторами инверсии и модификации, поэтому они не имеют собственных названий. ==Двухместные операции== Легко видеть, что всего в троичной логике существует <tdtex>03^{3^2}=19683</td><tdtex>двухместные операции. В таблице приведены самые основные и практически полезные из них. {| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| <tex>\bf{a}</tdtex>!style="background-color:#EEE"| <tdtex>+\bf{b}</tdtex>!style="background-color:#EEE"| <tdtex>\bf{a \wedge b}<math/tex>NOT^+!style="background-color:#EEE"| </math></tdtex>\bf{a \vee b}</trtex>!style="background-color:#EEE"| <trtex>\bf{a \cdot b}<td/tex>!style="background-color:#EEE"| <mathtex>f_\bf{12a \oplus b}</mathtex>!style="background-color:#EEE"| </tdtex><td>0\bf{a \mid b}</tdtex>!style="background-color:#EEE"| <tdtex>0\bf{a+b}</tdtex>!style="background-color:#EEE"| <tdtex>-\bf{a \Uparrow b}</tdtex>!style="background-color:#EEE"| <td></tdtex>\bf{a \rightarrow b}</trtex>!style="background-color:#EEE"| <trtex>\bf{a\ cmp\ b}<td/tex>!style="background-color:#EEE"| <mathtex>f_\bf{13a \&_L b}</math></tdtex>!style="background-color:#EEE"| <tdtex>0\bf{a \rightarrow_L b}</tdtex>!style="background-color:#EEE"| <tdtex>0\bf{a \wedge_+ b}</tdtex>!style="background-color:#EEE"| <tdtex>0\bf{a \rightarrow_+ b}</tdtex>!style="background-color:#EEE"| <tdtex><math>0\bf{a \rightarrow_G b}</mathtex>!style="background-color:#EEE"| </tdtex>\bf{a \rightarrow_M b}</trtex>!style="background-color:#EEE"| <trtex>\bf{a \rightarrow_B b}<td/tex>!style="background-color:#EEE"| <mathtex>f_\bf{14a \equiv b}</mathtex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| </tdtex><td>0\bf{-}</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tdtex>0\bf{-}</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex><math>a^+-</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </tdtex>+</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <trtex>+<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <mathtex>f_{15}0</math></tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>0-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px;text-align: center;"| <tdtex><math>INC0</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </tdtex>-</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <trtex>+<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <mathtex>f_{16}-</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </tdtex><td>0+</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>0+</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex><math>a^o+</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </tdtex>+</trtex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <trtex>\bf{-}<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <mathtex>f_\bf{170}</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </tdtex>-<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex><math>\nearrow+</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </tdtex>-</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <trtex>0<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <mathtex>f_{18}0</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px;text-align: center;"| </tdtex><td>+-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>-+</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>0<math/tex>S^|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </math></tdtex>0</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <trtex>+<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <mathtex>f_{19}+</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </tdtex><td>+0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>-</tdtex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tdtex>0\bf{-}</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tdtex><math>DEC\bf{+}</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </tdtex>-</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <trtex>+<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <mathtex>f_{20}-</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>-0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px;text-align: center;"| <tex>-</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <trtex>-<td><math>f_{21}</math></td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>0-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex><math>NOT+</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </tdtex>+</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <trtex>0<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <mathtex>f_{22}-</math></tdtex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tdtex>+\bf{0}</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tdtex>0\bf{-}</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>0-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>0<math/tex>a^|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </tdtex>-</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <trtex>+<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <mathtex>f_{23}-</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </tdtex><td>+0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px;text-align: center;"| <tdtex>+</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <trtex>0<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <mathtex>f_{24}+</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>-</tdtex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tdtex>\bf{0}</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| </tr><trtex><td><math>f_\bf{250}</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| </tdtex><td>+0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <trtex>0<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <mathtex>f_{26}-</math></tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px;text-align: center;"| <tdtex>+0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tdtex>+-</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+<td/tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <mathtex>+0</mathtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tdtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</trtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tabletex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tex>\bf{0}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tex>\bf{+}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px;text-align: center;"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tex>\bf{+}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tex>\bf{-}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px;text-align: center;"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tex>\bf{+}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tex>\bf{0}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px;text-align: center;"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tex>\bf{+}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 6px"| <tex>\bf{+}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>-</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px;text-align: center;"| <tex>0</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| <tex>+</tex> |} Ниже приведены названия этих функций. {| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Обозначение'''!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Название'''|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \wedge b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Конъюнкция|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \vee b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Дизъюнкция|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \cdot b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Логическое умножение по модулю три|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \oplus b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Логическое сложение по модулю три|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \mid b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Функция Вебба|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a+b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Пороговое сложение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \Uparrow b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Исключающий максимум|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \rightarrow b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Среднее (''Mean'')|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a\ cmp\ b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Сравнение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \&_L b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Сильная конъюнкция|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \rightarrow_L b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Импликация Лукасевича|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \wedge_+ b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Конъюнкция Клини|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \rightarrow_+ b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Импликация Клини|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \rightarrow_G b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Импликация Гейтинга (импликация Гёделя)|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \rightarrow_M b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Материальная импликация|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \rightarrow_B b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Функция следования Бруснецова|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| <tex>\bf{a \equiv b}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Тождество |}

<math>a \wedge + = a</mathol>

<mathli>a \wedge - = -'''Свойства констант''':</mathli>

<mathtex>a \vee wedge (+ ) = +a</mathtex>

<mathtex>a \vee wedge (- ) = a(-)</mathtex>

<mathtex>a \overline{-} vee (+) = (+)</mathtex>

<mathtex>a \overline{+} vee (-) = -a</mathtex>

Также действует закон '''двойного отрицания''' <tex>\overline{(отрицания Лукашевича+) и '''тройного } = (циклического-) отрицания''':</tex>

<mathli>\overline{\overline{a}}=aДля конъюнкции и дизъюнкции в троичной логике сохраняются '''коммутативный''', '''ассоциативный''' и '''дистрибутивный законы''', '''закон идемпотентности'''.</mathli>

<mathli>aЗакон '''=aдвойного отрицания''' (отрицания Лукаcевича) и '''тройного (циклического) отрицания''':</mathli>

<mathtex>- a''' = 0a</mathtex>

<mathli>0 Буквальное определение ' = +''циклического отрицания''' вытекает из следующих свойств:</mathli>

<mathtex>+ (-) ' = -0</mathtex>

Третье состояние <tex>0 ' = ("0"+) при отрицании Лукашевича неизменно:</tex>

<mathtex>\overline{0} (+) ' = 0(-)</mathtex>

<mathli>Имеет место быть '''неизменность третьего состояния''' (<tex>0</tex>) при отрицании Лукаcевича:</li> <tex>\overline{0} = 0</tex> <tex>\overline{(a \wedge 0)} = \overline{a} \vee 0</mathtex> </ol>

<ol start="6"><li>'''Закон несовместности состояний''' (аналог закона противоречия в двоичной логике):</li> <tex>Sa \wedge Sa'' = (-)</tex> <tex>Sa' \wedge Sa'' = (-)</tex> <tex>Sa' \wedge Sa = (-)</tex> <li>'''Закон исключённого четвёртого''' (вместо '''закона исключённого третьего'''), он же '''закон полноты состояний''':</li> <tex>Sa' \vee Sa \vee Sa'' = (+)</tex>, или  <tex>S^-a \vee Sa \vee S^+a = (+)</tex> <li>'''Трёхчленный закон Блейка-Порецкого''':</li> <tex>a \vee Sa' \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b</tex>, или <tex>a \vee S^-a \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b</tex> <li>'''Закон трёхчленного склеивания''':</li> <tex> a \wedge Sb' \vee a \wedge Sb \vee a \wedge Sb'' = a</tex>, или <tex>a \wedge S^-b \vee a \wedge Sb \vee a \wedge S^+b = a</tex> <li>'''Закон обобщённого трёхчленного склеивания''':</li> <tex>a \wedge Sd' \vee b \wedge Sd \vee c \wedge Sd'' \vee a \wedge b \wedge c = a \wedge Sd' \vee b \wedge Sd \vee c \wedge Sd''</tex>, или <tex>a \wedge S^-d \vee b \wedge Sd \vee c \wedge S^+d \vee a \wedge b \wedge c = a \wedge S^-d \vee b \wedge Sd \vee c \wedge S^+d</tex> <li>'''Антиизотропность отрицания Лукаcевича''':</li> <tex>a \leqslant b \Rightarrow \overline a \geqslant \overline b</tex> </ol> ==Перспективы развития== ===Преимущества троичной системы счисления перед двоичной=== {{Определение|definition = '''Троичная система счисления''' (англ. ''ternary numeral system'') — позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным <tex>3</tex>. Существует в двух вариантах: '''несимметричная''' (<tex>\{0,1,2\}</tex>, <tex>\{0,1/2,1\}</tex> и др.) и '''симметричная''' (обычно <tex>\{-,0,+\}</tex> или <tex>\{-1,0,1\}</tex>).}}Троичная логика обладает рядом преимуществ перед двоичной. Ниже перечислены основные: * Троичная СС позволяет вмещать больший диапазон чисел в памяти троичного компьютера, поскольку <tex>3^n>2^n</tex>. * <p>Очевидно, что троичная СС использует меньше разрядов для записи чисел, по-сравнению с двоичной СС. Например: <tex>1110101_2=11100_3</tex> <tex>1000_2=22_3</tex> Для троичной СС используется несимметричный набор <tex>\{0,1,2\}</tex>. Эти два важных преимущества перед двоичной системой счисления говорят о большей '''экономичности''' троичной системы счисления. {{Определение|definition = '''Экономичность системы счисления''' (англ. ''radix economy'') — возможность представления как можно большего количества чисел с использованием как можно меньшего общего количества знаков.}}</p> Докажем экономичность троичной системы счисления математически. Пусть <tex>p</tex> – основание системы счисления, а <tex>n</tex> – количество требуемых знаков. Для записи <tex>n</tex> знаков потребуется <tex>n/p</tex> разрядов, а количество чисел, которое при этом можно записать, будет равно <tex>p^{n/p}</tex>. Рассмотрим функцию <tex>f(p)=p^{n/p}</tex>. Для того, чтобы определить максимальное значение функции, найдем ее производную: <tex>f'(p)=-n(p^{n/p - 2})(\ln p - 1) \Rightarrow \ln⁡ p - 1 = 0, \ln p = 1, p = e</tex> <tex>e \approx 2,71</tex>, ближайшее число к <tex>e</tex> — <tex>3</tex>. Таким образом, троичная СС не только экономичнее двоичной, но и экономичнее любой другой СС. * Троичная логика включает в себя почти все возможности двоичной логики. * Компьютер, основанный на троичной логике, обладает большим быстродействием. Например, [[Троичная_функциональная_схема |троичный сумматор]] и полусумматор в троичном компьютере при сложении тритов выполняет примерно в 1,5 раза меньше операций сложения по-сравнению с двоичным компьютером. ===Проблемы реализации=== Одним из барьеров, сдерживающих развитие и распространение троичной техники, является неверное представление о необычности и трудной постижимости трехзначной логики. Современная формальная логика (как традиционная, так и математическая) основана на принципе двузначности. Кроме того, электронные компоненты для построения логики, использующие более двух состояний, требуют больше материальных затрат на их производство, достаточно сложны в реализации, и потребляют больше электроэнергии, поэтому троичные компьютеры занимают очень малое место в истории. Использование двоичных компьютеров — более простых и дешёвых в реализации — практически полностью затмило применение троичных компьютеров. ===Практические реализации=== Говоря о будущем таких машин, как «Сетунь» (то есть троичных компьютеров), известный американский учёный Дональд Кнут, отмечал, что они занимают очень мало место в отрасли вычислительной техники, что объясняется массовым засильем двоичных компонентов, производимых в огромных количествах. Но, поскольку троичная логика гораздо эффектнее, а главное, эффективнее двоичной, не исключено, что в недалёком будущем к ней вернутся. В настоящий момент, в условиях интегральной технологии и микроэлектроники привлекательность троичной техники увеличивается: сложность трехзначных вентилей теперь не так страшна, а сокращение количества соединений и уменьшение рассеиваемой мощности особенно ценны. Особо благоприятное влияние на развитие троичное логики оказало пришествие квантовых компьютеров — вычислительных устройств, работающих на основе квантовой механики, принципиально отличающихся от классических компьютеров, работающих на основе классической механики.Полноценный квантовый компьютер является пока гипотетическим устройством, сама возможность построения которого связана с серьёзным развитием квантовой теории в области многих частиц и сложных экспериментов; эта работа лежит на переднем крае современной физики. Канадская компания D-Wave заявила в феврале 2007 года о создании образца квантового компьютера, состоящего из 16 ''кубит'' — квантовых аналогов битов. Используя в универсальных [[Квантовые_гейты | квантовых вентилях]] кутриты вместо кубитов, можно существенно снизить количество необходимых вентилей.Ланьон утверждает, что компьютер, который в обычном случае использовал бы 50 традиционных квантовых вентилей, сможет обойтись всего девятью, будучи основанным на троичном представлении.Также, согласно некоторым исследованиям, использование кутритов вместо кубитов позволит упростить реализацию квантовых алгоритмов и компьютеров. ==См. также== * [[Определение_булевой_функции | Булевые функции]]

<math>Sa \wedge Sa'' = -</math>=Источники информации==

<math>Sa' \wedge Sa'' = * [http://www.computer-<museum.ru/histussr/math>12-1.htm Заметки о троичной цифровой технике — часть 1]

<math>Sa' \wedge Sa = * [http://unidevices.blogspot.ru/2011/11/blog-</math>post.html «Сетунь» — единственный серийный троичный компьютер]

'''Закон исключённого четвёртого''' (вместо '''закона исключённого третьего'''), он же '''закон полноты состояний'''* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Википедия — Троичная логика]

<math>Sa' \vee Sa \vee Sa'' = +<* [http:/math>, или /habrahabr.ru/post/166679/ Хабрахабр — Замена двоичной логики — увеличит ли это производительность?]

<math>S^-a \vee Sa \vee S^+a = +<* [http:/math>/arvi.livejournal.com/144259.html Жизнь сквозь решето сети — Третье состоянье]

'''Трёхчленный закон Блейка-Порецкого'''* [http://arvi.livejournal.com/144849.html Жизнь сквозь решето сети — Трёхзначная логика]

<math>a \vee Sa' \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b<* [http:/math>, или/traditio-ru.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Традиция — Троичная логика]