1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}'''Троичный поиск''' (или ''ternary search, тернарный поиск'') {{---}} метод поиска минимума или максимума функции на отрезке, которая либо сначала строго возрастает, затем строго убывает, либо наоборот.== Алгоритм ==
ternarySearch(l, r, eps) [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] if (r-l < eps) return (left + right) / 2 a = (left * 2 + right) / 3 b = (left + right * 2) / 3 if (f(a) < f(b)) return ternarySearch(f, a, r, eps) else return ternarySearch(f, l, b, eps) end[[Категория: Алгоритмы поиска]]
rollbackEdits.php mass rollback
[[File:Ternar2.png|thumb|280px|Пример. <tex>f(a) < f(b) \implies x_{min} \in [l, b]</tex>]] Рассмотрим этот алгоритм на примере поиска минимума (поиск максимума аналогичен).
Пусть функция <tex>f(x)</tex> на отрезке <tex>[l, r]</tex> имеет минимум, и мы хотим найти точку <tex>x_{min}</tex>, в которой он достигается.
Посчитаем значения функции в точках <tex> a = l + \fracdfrac{(r-l)}{3} </tex> и <tex> b = l + \fracdfrac{2(r-l)}{3} </tex>. Так как в точке <tex>x_{min}</tex> минимум, то на отрезке <tex>[l, x_{min}]</tex> функция убывает, а на <tex>[x_{min}, r]</tex> {{---}} возрастает, то есть
<tex> \forall x', x'' \in [l, r]: \\
l < x' < x'' < x_{min} \Rightarrow implies f(l) > f(x') > f(x'') > f(x_{min}) \\x_{min} < x' < x'' < r \Rightarrow implies f(x_{min}) < f(x') < f(x'') < f(r) </tex>.
Значит если <tex>f(a) < f(b)</tex>, то <tex>x_{min} \in [l, b]</tex>,
аналогично из <tex>f(a) > f(b)</tex> следует <tex> x_{min} \in [a, gr]</tex>.
Тогда нам нужно изменить границы поиска и искать дальше,
пока не будет достигнута необходимая точность, то есть <tex> r-l < \varepsilon </tex>.
Из рассуждений и рисунка может возникнуть идея взять, например, отрезок <tex>[l, a]</tex> вместо отрезка <tex>[l, b]</tex>. Но этого делать нельзя, потому что мы не умеем различать случаи, когда <tex>f(a) < f(b)</tex> и <tex>a</tex> слева или справа от минимума. Можно заметить, что если мы всегда будем брать отрезок <tex>[l, b]</tex> при <tex>f(a) < f(b)</tex> или <tex>[a, r]</tex> при <tex>f(a) > f(b)</tex> , то минимум функции всегда будет в нашем отрезке. Если <tex>f(a) = f(b)</tex>, то можно взять любой отрезок. === Псевдокод=== Рекурсивный вариант: '''double''' ternarySearchMin('''double''' f(), '''double''' left, '''double''' right, '''double''' eps): '''if''' right - left < eps '''return''' (left + right) / 2 a = (left * 2 + right) / 3 b = (left + right * 2) / 3 '''if''' f(a) < f(b) '''return''' ternarySearchMin(f, left, b, eps) '''else''' '''return''' ternarySearchMin(f, a, right, eps) Итеративный вариант: '''double''' ternarySearchMin('''double''' f(), '''double''' left, '''double''' right, '''double''' eps): '''while''' right - left > eps a = (left * 2 + right) / 3 b = (left + right * 2) / 3 '''if''' f(a) < f(b) right = b '''else''' left = a '''return''' (left + right) / 2 === Время работы === Так как на каждой итерации мы считаем два значения функции и уменьшаем область поиска в полтора раза, пока <tex> r - l > \varepsilon</tex>,то время работы алгоритма составит <tex dpi = "135">2 \log_{\frac32} \left(\dfrac{r - l}{\varepsilon}\right)</tex> == См. также == * [[Поиск с помощью золотого сечения]] == Источники информации == * Дональд Кнут {{---}} Искусство программирования. Том 3. Сортировка и поиск. / Knuth D.E. {{---}} The Art of Computer Programming. Vol. 3. Sorting and Searching.* [[wikipedia:ru:Троичный поиск|Троичный поиск — Википедия]]* [[wikipedia:Ternary search|Ternary search {{---}} Wikipedia]]
