1632
правки
Изменения
м
Есть оптимизация этого алгоритма, если делить отрезок не на равные части, а в отношении золотого сечения, {{---}} [[Поиск с помощью золотого сечения]]== См. также ==
rollbackEdits.php mass rollback
'''Троичный поиск''' (''ternary search, тернарный поиск'') {{---}} метод поиска минимума или максимума функции на отрезке, которая либо сначала строго возрастает, затем строго убывает, либо наоборот.
== Алгоритм ==
[[File:Ternar2.png|thumb|280px|Пример. <tex>f(a) < f(b) \implies x_{min} \in [l, b]</tex>]]
Рассмотрим этот алгоритм на примере поиска минимума (поиск максимума аналогичен). [[File:Ternar2.png|thumb|300px|Пример. <tex>f(a) < f(b) \Rightarrow x_{min} \in [l, b]</tex>]]
Пусть функция <tex>f(x)</tex> на отрезке <tex>[l, r]</tex> имеет минимум, и мы хотим найти точку <tex>x_{min}</tex>, в которой он достигается.
Посчитаем значения функции в точках <tex> a = l + \fracdfrac{(r-l)}{3} </tex> и <tex> b = l + \fracdfrac{2(r-l)}{3} </tex>.
Так как в точке <tex>x_{min}</tex> минимум, то на отрезке <tex>[l, x_{min}]</tex> функция убывает, а на <tex>[x_{min}, r]</tex> {{---}} возрастает, то есть
<tex> \forall x', x'' \in [l, r]: \\
l < x' < x'' < x_{min} \Rightarrow implies f(l) > f(x') > f(x'') > f(x_{min}) \\x_{min} < x' < x'' < r \Rightarrow implies f(x_{min}) < f(x') < f(x'') < f(r) </tex>.
Значит если <tex>f(a) < f(b)</tex>, то <tex>x_{min} \in [l, b]</tex>,
Тогда нам нужно изменить границы поиска и искать дальше,
пока не будет достигнута необходимая точность, то есть <tex> r-l < \varepsilon </tex>.
Из рассуждений и рисунка может возникнуть идея взять, например, отрезок <tex>[l, a]</tex> вместо отрезка <tex>[l, b]</tex>. Но этого делать нельзя, потому что мы не умеем различать случаи, когда <tex>f(a) < f(b)</tex> и <tex>a</tex> слева или справа от минимума.
Можно заметить, что если мы всегда будем брать отрезок <tex>[l, b]</tex> при <tex>f(a) < f(b)</tex> или <tex>[a, r]</tex> при <tex>f(a) > f(b)</tex> , то минимум функции всегда будет в нашем отрезке. Если <tex>f(a) = f(b)</tex>, то можно взять любой отрезок.
=== Псевдокод ===
Рекурсивный вариант:
'''double''' ternarySearchMin('''double''' f(), '''double''' left, '''double''' right, '''double''' eps) : '''if (''' right - left < eps) '''return ''' (left + right) / 2
a = (left * 2 + right) / 3
b = (left + right * 2) / 3
'''if (''' f(a) < f(b)) '''return ''' ternarySearchMin(f, left, b, eps) '''else''' '''return ''' ternarySearchMin(f, a, right, eps)
Итеративный вариант:
'''double''' ternarySearchMin('''double''' f(), '''double''' left, '''double''' right, '''double''' eps) : '''while (''' right - left > eps)
a = (left * 2 + right) / 3
b = (left + right * 2) / 3
'''if (''' f(a) < f(b))
right = b
'''else'''
left = a
'''return ''' (left + right) / 2
=== Время работы ===
Так как на каждой итерации мы считаем два значения функции и уменьшаем область поиска в полтора раза, пока <tex> r - l > \varepsilon</tex>,
то время работы алгоритма составит
<texdpi = "135">2 \log_{\frac32} \left(\fracdfrac{r - l}{\varepsilon}\right)</tex> == Смотрите также ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA Троичный поиск — Википедия[Поиск с помощью золотого сечения]]
== Литература Источники информации ==
* Дональд Кнут {{---}} Искусство программирования, том . Том 3. Сортировка и поиск = . / Knuth D.E. {{---}} The Art of Computer Programming, vol. Vol.3. Sorting and Searching.* [[wikipedia:ru:Троичный поиск|Троичный поиск — Википедия]]* [[wikipedia:Ternary search|Ternary search {{---}} Wikipedia]]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Алгоритмы поиска]]
