Изменения

|definition = Турниром называется '''Турнир''' (англ. ''Tournament'') — [[ориентированный граф]], между любой парой различных вершин которого есть ровно одно ориентированное ребро.}} Турниром из <tex>n</tex> вершин можно изобразить исход игры между <tex>n</tex> людьми, где каждый играет с каждым. Тогда ребро будет ориентировано от выигравшего человека к проигравшему. [[Файл:Tournament_1_3.png|415px|thumb|left|Турниры из трех вершин]] <br clear="all">==Свойства турниров=====Оценка количества турниров в графе===Если в турнире опустить ориентацию ребер, то мы получим полный граф. А так как существует два варианта ориентации каждого ребра, то количество турниров в графе из <tex>n</tex> вершин равно <tex dpi=150>2^{\frac{n\cdot(n-1)}{2}}</tex>.===Транзитивность=== [[Файл:Tournament_transitive.png|300px|thumb|right|Транзитивный турнир с 8 вершинами]]Турнир, в котором <tex>(a, b)\land(b, c) \Rightarrow (a, c)</tex>, называется транзитивным. В транзитивном турнире вершины могут быть полностью упорядочены в порядке достижимости.{{Теорема|id=theorem1|statement=Пусть <tex>T=\langle V, E\rangle</tex> — турнир, <tex>| V| = n</tex>. Тогда следующие утверждения эквивалентны:#<tex>T</tex> транзитивен;#<tex>T</tex> не содержит циклов длины <tex>3</tex>;#<tex>T</tex> ациклический;# множества, составленные из <tex>\deg^{-}</tex> или <tex>\deg^{+}</tex> для каждой вершины <tex>T</tex>, есть <tex>\{ 0, 1, 2,..., n - 1\} </tex>;#<tex>T</tex> содержит ровно один гамильтонов путь.|proof= <tex>1 \Rightarrow 2:</tex> Пусть существует цикл длины <tex>3: (u, v), (v, w), (w, u). </tex> Однако по транзитивности должно существовать ребро <tex>(u, w)</tex>, т.е. между <tex>u, w</tex> есть <tex>2</tex> противоположно направленных ребра, что невозможно по определению турнира. <tex>2 \Rightarrow 3:</tex> Пусть в графе содержится цикл длины <tex>k \neq 3</tex>. Это не может быть цикл длины <tex>2</tex> (противоречит определению турнира). Обозначим его вершины в порядке обхода <tex>v_1, v_2, \ldots, v_k, k \geqslant 4</tex>. Заметим, что т.к. нет циклов длины <tex>3</tex>, выполнена транзитивность (в противном случае существовали бы ребра <tex>(u, v), (v, w), (w, u)</tex>). Докажем по индукции, что существует ребро <tex>(v_1, v_{k - 1}).</tex>  '''База индукции''' <tex>k = 3</tex>: <tex>(v_1, v_2) , (v_2, v_3) \in E \Rightarrow (v_1, v_3) \in E </tex> (по транзитивности).  '''Переход индукции''' Пусть доказано для всех <tex>i < k - 1</tex>, что <tex>(v_1, v_i) \in E</tex>, также известно, что <tex>(v_i, v_{i+1}) \in E</tex>, тогда по транзитивности <tex>(v_1, v_{i+1}) \in E</tex>. Таким образом, в транзитивном турнире содержится цикл длины <tex>3</tex> — противоречие (см. предыдущий пункт). <tex>3 \Rightarrow 4: </tex> Обозначим множество значений степеней исхода как <tex>Deg^{+}(T)</tex>. Докажем индукцией по <tex>n</tex>. '''База индукции''' <tex>n = 1</tex>: верно, т.к. есть одна вершина степени <tex>0</tex>  '''Переход индукции''' Пусть доказано для <tex>n - 1</tex>. В ациклическом графе существует сток <tex>t, deg^{+}t = 0</tex>. Рассмотрим граф <tex>T-t</tex>. <tex>Deg^{+}(T - t) = \{0, 1, \ldots, n - 2\}</tex> . Т.к. из каждой <tex>v \in V \setminus \{t\}</tex> ведет одно ребро в <tex>t</tex>, <tex> Deg^{+}(T)=\{deg^{+}t\} \cup \{x + 1 \mid x \in Deg^{+}(T -t)\} = \{0, 1, \ldots, n - 1\}</tex>. Для степеней захода можно доказать аналогично, рассмотрев исток вместо стока. <tex>4 \Rightarrow 5: </tex> По [[Теорема Редеи-Камиона|теореме Редеи-Камиона]], в любом турнире есть гамильтонов путь, докажем индукцией по <tex>n</tex>, что этот путь единственный. '''База индукции''' <tex>n = 1</tex>: верно, путь из одной вершины. '''Переход индукции''' Рассмотрим вершину <tex>s: deg^{-}(s) = 0</tex>. Она будет первой в гамильтоновом пути (иначе мы в нее не зайдем). Рассмотрим граф <tex>T - s</tex>. Т.к. <tex>s</tex> была соединена со всеми его вершинами, их степени меньше на <tex>1</tex> соответствующих степеней в исходном турнире, значит <tex>Deg^{-}(T-s)=\{0,1, \ldots, n - 2\}</tex>, следовательно в <tex>T-s</tex> существует единственный гамильтонов путь <tex>v_1, v_2, \ldots v_{n -1}</tex> (по предположению). Пусть существуют <tex>2</tex> гамильтонова пути, начинающиеся на <tex>s</tex>, но тогда существуют 2 пути в <tex>T-s</tex> {{---}} противоречие. <tex>5 \Rightarrow 1: </tex> Пусть <tex>P=v_1, v_2, \ldots, v_n</tex> — единственный гамильтонов путь. Пусть найдется <tex>m</tex> — наименьший индекс такой, что в вершину <tex>v_m</tex> идет ребро из вершины с большим индексом, а <tex>v_k</tex> — вершина с наибольшим индексом, из которой ребро ведет в <tex>v_m</tex>. Возможно несколько случаев:# <tex> m \neq 1, k \neq n: </tex> Из <tex>v_{m -1}</tex> ведет ребро в <tex>v_{m+1}</tex> (по минимальности <tex>m</tex>), а из <tex>v_m</tex> ведет ребро в <tex>v_{k +1}</tex> (по максимальности <tex>k</tex>). Тогда будет существовать еще один гамильтонов путь <tex>P_1 = v_1, \ldots, v_{m-1}, v_{m+1}, \ldots, v_{k}, v_m, v_{k+1}, \ldots, v_n</tex>.# <tex> m \neq 1, k = n: </tex> <tex>P_1 = v_1, \ldots, v_{m-1}, v_{m+1}, \ldots, v_{n}, v_m</tex>.# <tex> m = 1, k \neq n:</tex> <tex>P_1 = v_2, \ldots, v_{k}, v_1, v_{k+1}</tex>#<tex> m = 1, k = n:</tex> <tex>P_1 = v_2, \ldots, v_n, v_1</tex>'''Замечание''' Может достигаться равенство <tex>m + 1 = n</tex>, в этом случае нужно исключить из пути <tex>2</tex> последовательных вхождения <tex>v_n</tex>. Во всех случаях получаем противоречие с единственностью гамильтонова пути, значит не существует такого <tex>m</tex>, т.е <tex>(v_i, v_j) \in E \Leftrightarrow i < j</tex>. Значит <tex>\forall i, j, k: 1 \leqslant i, j, k \leqslant n</tex> <tex> (v_i, v_j) \in E \land (v_j, v_k) \in E \Rightarrow i < j \land j < k \Rightarrow (v_i, v_k) \in E </tex>.

==Сильный =Теория Рамсея===Транзитивные турниры играют существенную роль в [[Теория_Рамсея | теории Рамсея]], изучающей условия, при которых в произвольно формируемых математических объектах обязан появиться некоторый порядок. В частности, любой турнирс <tex>n</tex> вершинами содержит транзитивный подтурнир с <tex>1+\lfloor\log_2 n\rfloor</tex> вершинами. Для его построения выберем любую вершину <tex>v</tex> как часть этого подтурнира и построим подтурнир рекурсивно на множестве либо входящих соседей вершины <tex>v</tex>, либо на множестве исходящих соседей, в зависимости от того, какое множество больше. <br clear="all"> ===Конденсация==={{ОпределениеУтверждение|statement = Конденсация любого турнира является транзитивным турниром. |definition proof = Турнир Рассмотрим <tex>T2</tex> компоненты сильной связности <tex>U, V</tex> называется сильно связанным, если для любых вершин найдутся <tex>u \in U, v \in V: (u,v ) \in T E</tex> существует путь из , либо <tex>(v, u) \in E </tex> , значит в конденсации есть либо ребро <tex>(U,V)</tex>v, либо <tex>(V,U)</tex>. Т.к. мы рассмотрели произвольную пару вершин конденсации турнира, она является турниром. Конденсация любого орграфа ациклична, а по доказанной [[#theorem1|теореме]], это означает, что она транзитивна.

==Гамильтонов турнир=Сильно связные турниры==={{Определение|definition = Турнир называется [[Отношение связности, компоненты связности#sc_def |сильно связным]], если из любой вершины существуют пути до всех других.}}

|definition = Турнир называется [[Гамильтоновы графы | гамильтоновым]], если он содержит гамильтонов цикл.