Редактирование: Тьюринг-полнота

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
==Введение==
+
Говорят, что задача является '''Тьюринг-полной''', если её можно решить, используя только [[Машина Тьюринга|машину Тьюринга]] или любую систему, являющуюся Тьюринг-эквивалентной.
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
Вычислительное устройство является '''Тьюринг-эквивалентным''' (англ. ''Turing-equivalent''), если оно может эмулировать [[Машина Тьюринга|машину Тьюринга]].  
+
Вычислительное устройство является '''Тьюринг-эквивалентным''', если оно может эмулировать машину Тьюринга.  
 
}}
 
}}
{{Определение
 
|definition =
 
Задача называется '''Тьюринг-полной''' (англ. ''Turing-complete''), если её можно решить, используя только машину Тьюринга или любую систему, являющуюся Тьюринг-эквивалентной.
 
}}
 
 
 
Зачастую Тьюринг-эквивалентные языки программирования называют Тьюринг-полными.
 
Зачастую Тьюринг-эквивалентные языки программирования называют Тьюринг-полными.
  
 
В теории вычислимости ''исполнитель'' (множество вычисляющих элементов) называется '''Тьюринг-полным''', если на нём можно реализовать любую вычислимую функцию. Другими словами, для каждой вычислимой функции существует вычисляющий её элемент (например, машина Тьюринга) или программа для исполнителя, а все функции, вычисляемые множеством вычислителей, являются вычислимыми функциями (возможно, при некотором кодировании входных и выходных данных).
 
В теории вычислимости ''исполнитель'' (множество вычисляющих элементов) называется '''Тьюринг-полным''', если на нём можно реализовать любую вычислимую функцию. Другими словами, для каждой вычислимой функции существует вычисляющий её элемент (например, машина Тьюринга) или программа для исполнителя, а все функции, вычисляемые множеством вычислителей, являются вычислимыми функциями (возможно, при некотором кодировании входных и выходных данных).
  
Любой полный по Тьюрингу язык достаточно универсален, чтобы иметь возможность имитировать любой другой язык (хотя и с потенциальным замедлением в работе). Такие языки эквивалентны в рамках вычислений, которые могут произвести. Полные по Тьюрингу языки настолько распространены, что их можно обнаружить даже в примитивных на первый взгляд системах, например, [[Линейный клеточный автомат, эквивалентность МТ | клеточных автоматах]] или мозаичных системах.
+
Любой полный по Тьюрингу язык достаточно универсальный, чтобы имитировать все другие (хотя и с потенциальным замедлением в работе). Такие языки эквивалентны в рамках вычислений, которые могут произвести. Полные по Тьюрингу языки настолько распространены, что их можно обнаружить даже в примитивных на первый взгляд системах, например, клеточных автоматах или мозаичных системах.
 +
 
 +
На практике полнота по Тьюрингу — идеализация. Компьютеры имеют ограниченное количество памяти и будут работать ограниченное количество времени, прежде чем их выключат.
  
На практике полнота по Тьюрингу похожа на идеализацию. Компьютеры имеют ограниченное количество памяти, а неограниченная по времени их работа может быть прервана физическим воздействием (выключение, поломка), что как бы ограничивает число задач, которые они могут решить. На самом деле, физические ограничения в контексте Тьюринг-полноты не берутся во внимание: Тьюринг-полный исполнитель не должен быть ограничен по времени и памяти лишь самим исполнителем.
 
  
 
==Критерии Тьюринг-полноты==
 
==Критерии Тьюринг-полноты==
  
Если на языке программирования можно реализовать машину Тьюринга, то такой язык Тьюринг-полон, и наоборот. Возможность реализации машины Тьюринга на конкретном языке программирования можно ''грубо'' описать как перечень требований, которым этот язык должен для этого удовлетворять:
+
Если на языке программирования можно реализовать машину Тьюринга, то такой язык Тьюринг-полон, и наоборот. Возможность реализации машины Тьюринга на конкретном языке программирования можно грубо описать как перечень требований, которым этот язык должен для этого удовлетворять:
  
* Конечность (нет бесконечных символьных множеств и пр.).
+
* Конечность (нет бесконечных символьных множеств и пр.)
  
* Фиксированное описание (формальность<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия — Формальный язык]</ref>).
+
* Фиксированное описание
  
* Всегда достаточный объём доступной памяти — в идеале здесь имеется в виду неограниченная память, однако физические рамки не позволяют сделать память ЭВМ бесконечной, поэтому она просто должна быть ''"always big enough"''.
+
* Всегда достаточный объём доступной памяти — в идеале здесь имеется в виду бесконечная память, однако физические рамки не позволяют сделать память ЭВМ бесконечной, поэтому она просто должна быть "always big enough".
  
* Неограниченность времени выполнения — любая программа в должна иметь возможность работать до тех пор, пока не завершится.
+
* Неограниченность времени выполнения
  
* Возможность функциональной композиции (вызов одной функции из другой, рекурсия).
+
* Возможность функциональной композиции (вызов одной функции из другой, рекурсия)
  
* Наличие циклов <tex>{\bf while}</tex> с прерыванием или эквивалентных им конструкций.
+
* Циклы while с прерыванием или эквивалентные им
  
* Возможность останавливать выполнение (''halt'') или каким-то образом подавать сигнал о результатах выполнения.
+
* Возможность останавливать выполнение (halt) или каким-то образом подавать сигнал о результатах выполнения
  
* Представление множества натуральных чисел, понятие нуля и следующего числа. Возможны другие подобные системы.  
+
* Представление множества натуральных чисел, понятие "следующее число". Возможны другие подобные системы.  
  
* Поддержка входных и выходных данных (I/O), причём без формальных ограничений в объёме. Очевидно, что если любая программа, написанная на каком-то языке программирования, принимает на вход не более фиксированного n бит данных и возвращает не более n бит, этот язык не может быть Тьюринг-полным.
+
* Поддержка входных и выходных данных (I/O), причём без ограничений в объёме. Если любая программа, написанная на каком-то языке программирования, принимает на вход не более фиксированного n бит данных и возвращает не более n бит, этот язык не может быть Тьюринг-полным.  
  
 
==Тьюринг-полнота и неполнота некоторых языков программирования==
 
==Тьюринг-полнота и неполнота некоторых языков программирования==
  
Доказать Тьюринг-полноту языка программирования можно, предложив способ реализации машины Тьюринга на этом языке. Кроме того, можно предложить на нём интерпретатор Тьюринг-полного языка.
+
Доказать Тьюринг-полноту языка программирования можно, предложив способ реализации машины Тьюринга на этом языке. Кроме того, можно предложить интерпретатор языка на другом Тьюринг-полном языке.
  
 
===Assembly language===
 
===Assembly language===
  
Язык Ассемблера достаточно примитивен относительно языков программирования высокого уровня: он рассчитан на архитектуру с конечной памятью и работает с конечным набором регистров. Однако, не был бы он полным по Тьюрингу, не были бы Тьюринг-полны и любые высокоуровневые языки программирования.  
+
Язык Ассемблера сильно ограничен: он рассчитан на архитектуру с конечной памятью и работает с конечным набором регистров. Однако, не был бы он полным по Тьюрингу, не были бы Тьюринг-полны и другие языки программирования.  
  
 
Всё необходимое для машины Тьюринга на asm можно сделать примерно так:
 
Всё необходимое для машины Тьюринга на asm можно сделать примерно так:
  
   ADDS r0, r0, #1 <font color=green>; сдвиг ленты вправо</font>
+
   ADDS r0, r0, #1 ; сдвиг ленты вправо
   ADDS r0, r0, #-1 <font color=green>; сдвиг ленты влево</font>
+
   ADDS r0, r0, #-1 ; сдвиг ленты влево
   ADDS [r0], [r0], #1 <font color=green>; инкремент значения, на которое "указывает" головка ленты</font>
+
   ADDS [r0], [r0], #1 ; инкремент значения, на которое "указывает" головка ленты
   ADDS [r0], [r0], #-1 <font color=green>; декремент значения, на которое "указывает" головка ленты</font>
+
   ADDS [r0], [r0], #-1 ; декремент значения, на которое "указывает" головка ленты
  
И далее использовать инструкцию <tex>\mathrm{BEQ}</tex> или ей подобную, чтобы выполнять определённую последовательность команд при определённом текущем значении, таким образом обеспечив ветвление.
+
И далее использовать инструкцию ''BEQ'' или ей подобную, чтобы выполнять определённую последовательность команд при определённом текущем значении, таким образом обеспечив ветвление.
  
 
===Pascal===
 
===Pascal===
  
Язык Pascal позволяет смоделировать ленту машины Тьюринга с помощью двунаправленного списка из переменных, создаваемых оператором <tex>\mathrm{new}</tex>, семантика которого не предполагает отказа в создании переменной. Также с помощью списков
+
Язык Pascal позволяет смоделировать ленту машины Тьюринга с помощью двунаправленного списка из переменных, создаваемых оператором ''new'', семантика которого не предполагает отказа в создании переменной. Также с помощью списков
 
можно смоделировать сколь угодно большие числа. Стандарт не накладывает никаких ограничений: указательный тип абстрактен, множество значений указательного типа языком не ограничено.
 
можно смоделировать сколь угодно большие числа. Стандарт не накладывает никаких ограничений: указательный тип абстрактен, множество значений указательного типа языком не ограничено.
 
В Паскале есть еще один тип данных с неограниченным множеством значений, файловый, также пригодный для моделирования ленты машины Тьюринга и представления больших чисел. Достаточно утверждений для очевидности Тьюринг-полноты языка Pascal.
 
В Паскале есть еще один тип данных с неограниченным множеством значений, файловый, также пригодный для моделирования ленты машины Тьюринга и представления больших чисел. Достаточно утверждений для очевидности Тьюринг-полноты языка Pascal.
Строка 68: Строка 64:
 
===SQL===
 
===SQL===
  
Сам по себе SQL никогда не считался полным по Тьюрингу языком. Однако, у него существует множество расширений, позволяющих делать рекурсивные запросы, циклы, списки, деревья и пр., например, с помощью PostgreSQL<ref>[http://assets.en.oreilly.com/1/event/27/High%20Performance%20SQL%20with%20PostgreSQL%20Presentation.pdf High Performance with PostgreSQL 8.4]</ref>. Более того, на в 2011 г. Habrahabr появилась статья, где показана машина Тьюринга на  SQL<ref>[https://habrahabr.ru/post/113165/|Машина Тьюринга на чистом SQL]</ref> (в реализации Firebird 2.1, который ограничивает вложенность рекурсивных запросов до 2014 уровней). Тем не менее, всё ещё остаётся ограниченное query execution time.
+
Сам по себе SQL не считается полным по Тьюрингу языком. Однако, у него существует множество расширений, позволяющих делать рекурсивные запросы, циклы, списки, деревья и пр. Например, реализация решений некоторых известных задач [http://assets.en.oreilly.com/1/event/27/High%20Performance%20SQL%20with%20PostgreSQL%20Presentation.pdf с помощью PostgreSQL 8.4]. Тем не менее, всё ещё остаётся ограниченное query execution time.
  
 
===HTML===
 
===HTML===
Строка 81: Строка 77:
 
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Парадигма'''
 
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Парадигма'''
 
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Уровень'''
 
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Уровень'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Зависимость от архитектуры процессора'''
+
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Машинно-зависимость'''
 
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Полнота по Тьюрингу'''
 
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Полнота по Тьюрингу'''
 
|-
 
|-
Строка 141: Строка 137:
 
|-
 
|-
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| JavaScript
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| JavaScript
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1995
+
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1965
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
Строка 186: Строка 182:
  
 
Аналогично C++ Templates, Generics, несмотря на свои отличия, тоже оказались полными по Тьюрингу, что было подтверждено Раду Григор в одной из статей Кентского Университета<ref>[http://arxiv.org/pdf/1605.05274.pdf Java Generics are Turing-complete]</ref>.
 
Аналогично C++ Templates, Generics, несмотря на свои отличия, тоже оказались полными по Тьюрингу, что было подтверждено Раду Григор в одной из статей Кентского Университета<ref>[http://arxiv.org/pdf/1605.05274.pdf Java Generics are Turing-complete]</ref>.
 
===URISC===
 
 
'''URISC''' (от англ. ''Ultimate RISC'') — предельный случай процессора типа RISC (буквально: компьютер с предельно сокращённым набором инструкций), который умеет выполнять одну-единственную инструкцию. Обычно это «вычесть и пропустить следующую инструкцию, если вычитаемое было больше уменьшаемого» (англ. ''«reverse-subtract and skip if borrow»''). Аналогичная концепция, основанная именно на «вычесть и перейти, если результат не положительный» (англ. ''«subtract and branch unless positive»''), называется '''SUBLEQ'''.
 
 
'''URISC''' также известен в современной литературе как '''OISC''' (англ. One Instruction Set Computer) и является полным по Тьюрингу.
 
  
 
===mov===
 
===mov===
  
Утилита M/o/Vfuscator превращает любую программу на языке C в огромную последовательность из инструкций <tex>\mathrm {mov}</tex><ref>[https://github.com/xoreaxeaxeax/movfuscator M/o/Vfuscator]</ref>.  
+
Утилита M/o/Vfuscator превращает любую программу на языке C в огромную последовательность из инструкций mov<ref>[https://github.com/xoreaxeaxeax/movfuscator M/o/Vfuscator]</ref>.  
 
 
{| cellpadding="0" style= align="left";
 
|[[Файл:gcc_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы GCC]]
 
|[[Файл:mov_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы M/o/Vfuscator]]
 
|}
 
  
{| cellpadding="0" style= align="left";
+
{| cellpadding="3" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
|[[Файл:Demo_mov.gif|thumb|500px|left|Простые числа с использованием одной инструкции]]
+
|[[Файл:gcc_asm.png|400px|thumb|Результат работы GCC]]
 +
|[[Файл:mov_asm.png|400px|thumb|Результат работы M/o/Vfuscator]]
 +
|[[Файл:Demo_mov.gif|right|thumb|900px|Простые числа с использованием одной инструкции]]
 
|}
 
|}
  
Строка 210: Строка 197:
 
Нововведения новых версий HTML/CSS позволяют построить<ref>[http://eli.fox-epste.in/rule110-full.html Rule 110]</ref> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 правило 110], которое является Тьюринг-полным.
 
Нововведения новых версий HTML/CSS позволяют построить<ref>[http://eli.fox-epste.in/rule110-full.html Rule 110]</ref> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 правило 110], которое является Тьюринг-полным.
  
===Excel===
+
===Minecraft<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=7sNge0Ywz-M|Demonstrating the CPU. Then coughing a lot. Sorry about that. I may be dying.]</ref>===
  
Excel имеет свой скриптовый язык. Однако, для кодирования Машины Тьюринга в таблице Excel достаточно использование только формул<ref>[http://www.felienne.com/archives/2974 Excel Turing Machine]</ref>.
+
===Little Big Planet<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=13GOFa1C4e4| LittleBigLife — The Game of Life in LittleBigPlanet]</ref>===
  
===Тьюринг-полнота в играх===
+
===Super Mario World<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=hB6eY73sLV0 SNES Code Injection -- Flappy Bird in SMW]</ref>===
  
* Minecraft<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=7sNge0Ywz-M|Demonstrating the CPU. Then coughing a lot. Sorry about that. I may be dying.]</ref>. Возможно, достижение Тьюринг-полноты в игре-песочнице с возможностью создания логических элементов было неизбежным, но сложность компьютеров, собираемых из блоков в данной игре, достойна внимания.
+
===[[Неразрешимость игры Braid|Braid]]===
  
* Little Big Planet<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=13GOFa1C4e4| LittleBigLife — The Game of Life in LittleBigPlanet]</ref>. Некоторые элементы игры представляют из себя ничто иное, как небольшие клеточные автоматы, которые можно запрограммировать.
+
===Excel===
 
 
* Super Mario World<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=hB6eY73sLV0 SNES Code Injection -- Flappy Bird in SMW]</ref>. Умелое обращение с багами игры позволяет сделать в ней буквально всё, что позволяет 2d-пространство Nintendo.
 
 
 
* [[Неразрешимость игры Braid|Braid]].
 
  
 
==Тьюринговская трясина==
 
==Тьюринговская трясина==
Строка 228: Строка 211:
 
'''Тьюринговская трясина''' — жаргонное общее название для языков программирования, которые ''Тьюринг-полны'', но обладают крайне примитивными синтаксисом и семантикой. Они неудобны для практического программирования (из-за трудности написания программ и низкой производительности), зато хорошо подходят для некоторых других задач (доказательство невычислимости некоторых функций, иллюстрация базовых принципов программирования и т. д.). Поэтому они интересны для информатики.
 
'''Тьюринговская трясина''' — жаргонное общее название для языков программирования, которые ''Тьюринг-полны'', но обладают крайне примитивными синтаксисом и семантикой. Они неудобны для практического программирования (из-за трудности написания программ и низкой производительности), зато хорошо подходят для некоторых других задач (доказательство невычислимости некоторых функций, иллюстрация базовых принципов программирования и т. д.). Поэтому они интересны для информатики.
 
   
 
   
Первыми представителями &laquo;трясины&raquo; были ''лямбда-исчисление'', ''комбинаторная логика'' и сама машина Тьюринга.  
+
Первыми представителями "трясины" были ''лямбда-исчисление'', ''комбинаторная логика'' и сама машина Тьюринга.  
  
 
Многие эзотерические языки программирования также являются «трясинами Тьюринга» (напр. Brainfuck, Spoon, Malbolge, Whitespace).
 
Многие эзотерические языки программирования также являются «трясинами Тьюринга» (напр. Brainfuck, Spoon, Malbolge, Whitespace).
 
==Проблема остановки==
 
{{Определение
 
|definition= Проблема остановки {{---}} проблема определения факта остановки данной машины Тьюринга на данных входных данных (закончит выполнение или нет).
 
}}
 
{{Теорема
 
|statement= Проблема остановки неразрешима
 
|proof= Докажем от противного. Предположим существует такая полностью вычислимая функция <tex>halts(f)</tex>, которая возвращает <tex>true</tex>, если функция <tex>f</tex> остановится когда-либо, и <tex>false</tex>, если функция <tex>f</tex> никогда не остановится.
 
 
Рассмотрим следующую функцию <tex>g</tex>
 
 
'''void''' g():
 
    '''if''' halts(g):
 
        '''for'''(;;)
 
<tex>halts(g)</tex> должна возвращать либо <tex>true</tex>, либо <tex>false</tex>.
 
* Если <tex>halts(g)</tex> вернула <tex>true</tex>, то <tex>g</tex> никогда не остановится, получили противоречие
 
* Если <tex>halts(g)</tex> вернула <tex>false</tex>, то <tex>g</tex> остановится, получили противоречие
 
}}
 
 
==Теорема Геделя о неполноте==
 
Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться проблемой остановки машины Тьюринга.
 
{{Теорема
 
|statement= Любая непротиворечивая формальная система аксиом <tex>T</tex>, способная выражать утверждения о натуральных числах и доказывать простые арифметические факты, неполна {{---}} существуют утверждения о натуральных числах, которые она не может ни доказать, ни опровергнуть.
 
|proof=
 
# Предположим, что система <tex>T</tex> полна, т.е. доказывает или опровергает любое утверждение.
 
# Сформулируем и запишем на языке арифметики утверждение <tex>O</tex> = "машина Тьюринга <tex>M</tex> точно остановится, если запустить ее с данными <tex>D</tex>".
 
# Переберем все доказательства (<tex>P</tex> {{---}} истинно) и опровержения (<tex>\neg P</tex> {{---}} истинно) в системе <tex>T</tex>, чья длина совпадает с длиной <tex>O</tex>.
 
# Так как система <tex>T</tex> полна, рано или поздно мы найдем опровержение или доказательство утверждения <tex>O</tex>
 
# Система <tex>T</tex> доказывает не только истинные факты (так как она только непротиворечива), т.е. доказываемое утверждение может быть ложным.
 
# Тем не менее, мы фактически решили проблему остановки.
 
}}
 
  
 
==См. также==
 
==См. также==
  
* [[Машина Тьюринга]]
+
[[Машина Тьюринга]]
 
 
* [[Лямбда-исчисление]]
 
 
 
* [[Игра «Жизнь»]]
 
 
 
* [[Busy beaver]]
 
  
 
==Примечания==
 
==Примечания==
Строка 294: Строка 240:
  
 
* [http://beza1e1.tuxen.de/articles/accidentally_turing_complete.html Andreas Zwinkau — Accidentially Turing-complete]
 
* [http://beza1e1.tuxen.de/articles/accidentally_turing_complete.html Andreas Zwinkau — Accidentially Turing-complete]
 
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/URISC Википедия — URISC]
 
  
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория вычислимости]]
 
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]
 
[[Категория: Машина Тьюринга]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: