Изменения
→Некоторые другие ЯП
==Введение=={{Определение|definition =Вычислительное устройство является '''Тьюринг-эквивалентным''' (англ.''Turing-equivalent''), если оно может эмулировать [[Машина Тьюринга|машину Тьюринга]]. }}{{Определение|definition =Задача называется '''Тьюринг-полной''' (англ. ''Turing-complete''), если её можно решить, используя только машину Тьюринга или любую систему, являющуюся Тьюринг-эквивалентной. }}
Зачастую Тьюринг-эквивалентные языки программирования называют Тьюринг-полными.
* Фиксированное описание (формальность<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия — Формальный язык]</ref>). * Всегда достаточный объём доступной памяти — в идеале здесь имеется в виду неограниченная память, однако физические рамки не позволяют сделать память ЭВМ бесконечной, поэтому она просто должна быть ''"always big enough"''. * Неограниченность времени выполнения — любая программа в должна иметь возможность работать до тех пор, пока не завершится. * Возможность функциональной композиции (вызов одной функции из другой, рекурсия). * Наличие циклов <tex>{\bf while}</tex> с прерыванием или эквивалентных им конструкций. * Возможность останавливать выполнение (''halt'') или каким-то образом подавать сигнал о результатах выполнения. * Представление множества натуральных чисел, понятие нуля и следующего числа. Возможны другие подобные системы. * Поддержка входных и выходных данных (I/O), причём без формальных ограничений в объёме. Очевидно, что если любая программа, написанная на каком-то языке программирования, принимает на вход не более фиксированного n бит данных и возвращает не более n бит, этот язык не может быть Тьюринг-полным. ==Тьюринг-полнота и неполнота некоторых языков программирования== Доказать Тьюринг-полноту языка программирования можно, предложив способ реализации машины Тьюринга на этом языке. Кроме того, можно предложить на нём интерпретатор Тьюринг-полного языка. ===Assembly language=== Язык Ассемблера достаточно примитивен относительно языков программирования высокого уровня: он рассчитан на архитектуру с конечной памятью и работает с конечным набором регистров. Однако, не был бы он полным по Тьюрингу, не были бы Тьюринг-полны и любые высокоуровневые языки программирования. Всё необходимое для машины Тьюринга на asm можно сделать примерно так: ADDS r0, r0, #1 <font color=green>; сдвиг ленты вправо</font> ADDS r0, r0, #-1 <font color=green>; сдвиг ленты влево</font> ADDS [r0], [r0], #1 <font color=green>; инкремент значения, на которое "указывает" головка ленты</font> ADDS [r0], [r0], #-1 <font color=green>; декремент значения, на которое "указывает" головка ленты</font> И далее использовать инструкцию <tex>\mathrm{BEQ}</tex> или ей подобную, чтобы выполнять определённую последовательность команд при определённом текущем значении, таким образом обеспечив ветвление. ===Pascal=== Язык Pascal позволяет смоделировать ленту машины Тьюринга с помощью двунаправленного списка из переменных, создаваемых оператором <tex>\mathrm{new}</tex>, семантика которого не предполагает отказа в создании переменной. Также с помощью списковможно смоделировать сколь угодно большие числа. Стандарт не накладывает никаких ограничений: указательный тип абстрактен, множество значений указательного типа языком не ограничено.В Паскале есть еще один тип данных с неограниченным множеством значений, файловый, также пригодный для моделирования ленты машины Тьюринга и представления больших чисел. Достаточно утверждений для очевидности Тьюринг-полноты языка Pascal. ===C=== В языке C нет высокоуровневого понятия переменной (в смысле Паскаля), есть объекты (object), хранящиеся в памяти как последовательно расположенные байты,имеющие адрес (байты в свою очередь состоят из неадресуемых битов). Целые типы ограничены (конечное множество значений), указатель отождествляется с адресом, постулируется возможность хранить адрес в целочисленной переменной (int или long — зависит от реализации), откуда следует ограниченность множества значений указателей, а стало быть, и ограниченность адресного пространства C-машины. То есть язык C, как и язык ассемблера, ориентирован на архитектуру с конечной памятью. Файл не является типом данных языка C, в отличие от Паскаля. Это вещь из окружения, для работы с которой есть операции над потоками в виде набора библиотечных функций. Тип fpos_t, принятый в стандарте C для позиционирования файлов, постулируется как «отличный от массива тип данных (object type)». Следовательно, множество значений этого типа конечно, а значит, максимальная длина файла в языке C ограничена сверху. ===SQL=== Сам по себе SQL никогда не считался полным по Тьюрингу языком. Однако, у него существует множество расширений, позволяющих делать рекурсивные запросы, циклы, списки, деревья и пр., например, с помощью PostgreSQL<ref>[http://assets.en.oreilly.com/1/event/27/High%20Performance%20SQL%20with%20PostgreSQL%20Presentation.pdf High Performance with PostgreSQL 8.4]</ref>. Более того, на в 2011 г. Habrahabr появилась статья, где показана машина Тьюринга на SQL<ref>[https://habrahabr.ru/post/113165/|Машина Тьюринга на чистом SQL]</ref> (в реализации Firebird 2.1, который ограничивает вложенность рекурсивных запросов до 2014 уровней). Тем не менее, всё ещё остаётся ограниченное query execution time. ===HTML=== HTML можно назвать языком программирования только в контексте формальной полемики. На деле он является языком гипертекстовой разметки и ни чем больше. Т. е. на HTML можно совершить только некоторую ограниченную совокупность действий, интерпретируемых браузером, однако никто не запрещает сделать язык, идентичный по синтаксису с HTML, но интерпретируемый совершенно по другому таким образом, чтобы он был полным по Тьюрингу. ===Некоторые другие ЯП=== {| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Название языка'''!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Год изобретения'''!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Парадигма'''!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Уровень'''!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Зависимость от архитектуры процессора'''!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Полнота по Тьюрингу'''|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1972|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Процедурный|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| зав. от ISO|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C++|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1983|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Мультипарадигменный|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий/Низкий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Язык Ассемблера|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1950|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Полнофункциональный|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| SQL|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1989|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Haskell|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1990|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Функциональный|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| HTML|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1986|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| CSS|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1996|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Java|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1995|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| JavaScript|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1995|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Python|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1991|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| XML|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1998|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Brainfuck|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1993|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Whitespace|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 2003|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да |} ==Интересные случаи полноты по Тьюрингу== ===Шаблоны C++=== Шаблоны C++ позволяют производить сложные вычисления ещё на стадии компиляции программы. Впервые это было продемонстрировано Эрвином Унрухом, который реализовал рекурсивный алгоритм распознавания простых чисел в процессе компиляции. Позже в статье Университета Индиана было продемонстрировано кодирование машины Тьюринга в шаблонах C++<ref>[http://web.archive.org/web/20131101122512/http://ubietylab.net/ubigraph/content/Papers/pdf/CppTuring.pdf C++ Templates are Turing-complete]</ref>. ===Java Generics=== Аналогично C++ Templates, Generics, несмотря на свои отличия, тоже оказались полными по Тьюрингу, что было подтверждено Раду Григор в одной из статей Кентского Университета<ref>[http://arxiv.org/pdf/1605.05274.pdf Java Generics are Turing-complete]</ref>. ===URISC=== '''URISC''' (от англ. ''Ultimate RISC'') — предельный случай процессора типа RISC (буквально: компьютер с предельно сокращённым набором инструкций), который умеет выполнять одну-единственную инструкцию. Обычно это «вычесть и пропустить следующую инструкцию, если вычитаемое было больше уменьшаемого» (англ. ''«reverse-subtract and skip if borrow»''). Аналогичная концепция, основанная именно на «вычесть и перейти, если результат не положительный» (англ. ''«subtract and branch unless positive»''), называется '''SUBLEQ'''. '''URISC''' также известен в современной литературе как '''OISC''' (англ. One Instruction Set Computer) и является полным по Тьюрингу. ===mov=== Утилита M/o/Vfuscator превращает любую программу на языке C в огромную последовательность из инструкций <tex>\mathrm {mov}</tex><ref>[https://github.com/xoreaxeaxeax/movfuscator M/o/Vfuscator]</ref>. {| cellpadding="0" style= align="left";|[[Файл:gcc_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы GCC]]|[[Файл:mov_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы M/o/Vfuscator]]|} {| cellpadding="0" style= align="left";|[[Файл:Demo_mov.gif|thumb|500px|left|Простые числа с использованием одной инструкции]]|} ===HTML5 + CSS3=== Нововведения новых версий HTML/CSS позволяют построить<ref>[http://eli.fox-epste.in/rule110-full.html Rule 110]</ref> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 правило 110], которое является Тьюринг-полным. ===Excel=== Excel имеет свой скриптовый язык. Однако, для кодирования Машины Тьюринга в таблице Excel достаточно использование только формул<ref>[http://www.felienne.com/archives/2974 Excel Turing Machine]</ref>. ===Тьюринг-полнота в играх=== * Minecraft<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=7sNge0Ywz-M|Demonstrating the CPU. Then coughing a lot. Sorry about that. I may be dying.]</ref>. Возможно, достижение Тьюринг-полноты в игре-песочнице с возможностью создания логических элементов было неизбежным, но сложность компьютеров, собираемых из блоков в данной игре, достойна внимания. * Little Big Planet<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=13GOFa1C4e4| LittleBigLife — The Game of Life in LittleBigPlanet]</ref>. Некоторые элементы игры представляют из себя ничто иное, как небольшие клеточные автоматы, которые можно запрограммировать. * Super Mario World<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=hB6eY73sLV0 SNES Code Injection -- Flappy Bird in SMW]</ref>. Умелое обращение с багами игры позволяет сделать в ней буквально всё, что позволяет 2d-пространство Nintendo. * [[Неразрешимость игры Braid|Braid]]. ==Тьюринговская трясина== '''Тьюринговская трясина''' — жаргонное общее название для языков программирования, которые ''Тьюринг-полны'', но обладают крайне примитивными синтаксисом и семантикой. Они неудобны для практического программирования (из-за трудности написания программ и низкой производительности), зато хорошо подходят для некоторых других задач (доказательство невычислимости некоторых функций, иллюстрация базовых принципов программирования и т. д.). Поэтому они интересны для информатики. Первыми представителями «трясины» были ''лямбда-исчисление'', ''комбинаторная логика'' и сама машина Тьюринга. Многие эзотерические языки программирования также являются «трясинами Тьюринга» (напр. Brainfuck, Spoon, Malbolge, Whitespace). ==Проблема остановки=={{Определение|definition= Проблема остановки {{---}} проблема определения факта остановки данной машины Тьюринга на данных входных данных (закончит выполнение или нет).}}{{Теорема|statement= Проблема остановки неразрешима|proof= Докажем от противного. Предположим существует такая полностью вычислимая функция <tex>halts(f)</tex>, которая возвращает <tex>true</tex>, если функция <tex>f</tex> остановится когда-либо, и <tex>false</tex>, если функция <tex>f</tex> никогда не остановится. Рассмотрим следующую функцию <tex>g</tex> '''void''' g(): '''if''' halts(g): '''for'''(;;)<tex>halts(g)</tex> должна возвращать либо <tex>true</tex>, либо <tex>false</tex>.* Если <tex>halts(g)</tex> вернула <tex>true</tex>, то <tex>g</tex> никогда не остановится, получили противоречие* Если <tex>halts(g)</tex> вернула <tex>false</tex>, то <tex>g</tex> остановится, получили противоречие}} ==Теорема Геделя о неполноте==Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться проблемой остановки машины Тьюринга.{{Теорема|statement= Любая непротиворечивая формальная система аксиом <tex>T</tex>, способная выражать утверждения о натуральных числах и доказывать простые арифметические факты, неполна {{---}} существуют утверждения о натуральных числах, которые она не может ни доказать, ни опровергнуть.|proof= # Предположим, что система <tex>T</tex> полна, т.е. доказывает или опровергает любое утверждение.# Сформулируем и запишем на языке арифметики утверждение <tex>O</tex> = "машина Тьюринга <tex>M</tex> точно остановится, если запустить ее с данными <tex>D</tex>".# Переберем все доказательства (<tex>P</tex> {{---}} истинно) и опровержения (<tex>\neg P</tex> {{---}} истинно) в системе <tex>T</tex>, чья длина совпадает с длиной <tex>O</tex>.# Так как система <tex>T</tex> полна, рано или поздно мы найдем опровержение или доказательство утверждения <tex>O</tex># Система <tex>T</tex> доказывает не только истинные факты (так как она только непротиворечива), т.е. доказываемое утверждение может быть ложным.# Тем не менее, мы фактически решили проблему остановки.}} ==См. также== * [[Машина Тьюринга]] * [[Лямбда-исчисление]] * [[Игра «Жизнь»]] * [[Busy beaver]] ==Примечания== <references /> ==Источники информации===
* [http://wiki.c2.com/?TuringComplete Cunningham & Cunningham, Inc. — Turing Complete]
* [http://cmcmsu.no-ip.info/download/alg.lang.completeness.pdf А. А. Вылиток. Об алгоритмической полноте некоторых языков программирования]
* [http://ethclassic.ru/2016/10/21/turing-completeness-reality/ «Умные контракты»: полнота по Тьюрингу и реальность]
* [http://habrahabr.ru/post/231897/ Хабрахабр — Является ли HTML языком программирования?]
* [http://beza1e1.tuxen.de/articles/accidentally_turing_complete.html Andreas Zwinkau — Accidentially Turing-complete]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/URISC Википедия — URISC]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]
[[Категория: Машина Тьюринга]]
