Изменения

Символ [[Формальные_грамматики|Нетерминал]] <tex>A</tex> называется '''порождающим'''(англ. ''generating''), если из него может быть выведена конечная терминальная цепочка. Иначе он называется '''непорождающим'''.

Очевидно, что если и только если все нетерминальные символы Вначале для всех нетерминалов в <tex>\mathrm{isGenerating}</tex> поставим <tex>false</tex>. В <tex>\mathrm{counter}</tex> поставим количество нетерминалов в правой части являются порождающими. Нетерминалы, то порождающим является и символу которых счётчик <tex>\mathrm{counter}</tex> нулевой, стоящий добавим в левой части. Это позволяет обнаружить непорождающие нетерминалы с помощью следующей процедурыочередь и отметим их порождающими.<br># Найти правила, не содержащие нетерминалов Пока в правых частях. Составить множество нетерминаловочереди есть элементы, встречающихся в левых частях таких достаём очередной нетерминал и уменьшаем <tex>\mathrm{counter}</tex> для всех правилиз <tex>\mathrm{concernedRules}</tex> для данного нетерминала.# Если найдено такое правилосчётчик количества порождающих терминалов обнулился, что все нетерминалыто добавим нетерминал, стоящие стоящий в его правой, левой части уже входят в множество, то добавить в множество нетерминалы, стоящие данного правила в очередь и пометим его левой частипорождающим.<br># Если на шаге 2 множество изменилось, повторить шаг 2.# Получено множество всех порождающих Каждый из нетерминалов грамматикипопадёт в очередь только один раз, а все нетерминалыследовательно мы пройдем по списку правил, не попавшие в негоправой части которых он встречается, один раз. Таким образом, являются непорождающимисуммарно получаем <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>.

Нетерминал <tex>A</tex> называется '''достижимым''' (англ. ''reachable'') в [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|КС-грамматике ]] <tex>\Gamma</tex>, если существует порождение <tex>S \Rightarrow^* \alpha A \beta</tex>. Иначе он называется '''недостижимым'''(англ. ''unreachable'').}}Очевидно, что если нетерминал в левой части правила является достижимым, то и все нетерминалы правой части являются достижимыми. {{Лемма|statement=После удаления из грамматики правил, содержащих недостижимые нетерминалы, язык не изменится.|proof=Недостижимые нетерминалы по определению не достижимы из стартового, следовательно они не могли участвовать в выводе какого-либо слова.

Очевидно, что если нетерминал в левой части правила является достижимым, то и все нетерминалы правой части являются достижимыми. Найти недостижимые нетерминалы можно с помощью следующей процедуры.=== Пример ===Рассмотрим следующую грамматику:<br> :<tex> S\rightarrow AB|CD\\ A\rightarrow EF\\ G\rightarrow AD\\ C\rightarrow c</tex>Применяя описанный алгоритм:

# Если найдено правилоИз <tex>S</tex> достижимы нетерминалы <tex>A</tex>, <tex>B</tex>, <tex>C</tex> и <tex>D</tex>. Добавим их в левой части которого стоит нетерминалмножество и получим <tex>\lbrace S, A, B, C, содержащийся в множествеD \rbrace</tex>.# Множество изменилось. Переберём заново правила из грамматики. Из <tex>A</tex> можно вывести <tex>E</tex> и <tex>F</tex>, добавить добавим их в множество все нетерминалы из правой части.# Если на шаге 2 множество изменилосьСнова переберём правила. Из <tex>C</tex> можно вывести только терминал, повторить шаг 2а <tex>G</tex> нет в множестве.# Получено После последнего обхода правил грамматики множество всех достижимых нетерминаловне изменилось, а значит мы нашли все достижимые нетерминалы: <tex>\lbrace S, A, B, не попавшие в негоC, D, E, являются недостижимымиF \rbrace</tex>. При удалении из грамматики недостижимых нетерминалов и правил, их содержащих, язык не изменится# Теперь удалим правило <tex>G\rightarrow AD</tex>, так как эти нетерминалы недостижимы из стартовогооно содержит в левой части нетерминал, то и которого нет в выводе любого слова они встречаться не моглиполученном множестве.

Нетерминал <tex>A</tex> называется '''полезным''' (англ. ''useful'') в КС-грамматике <tex>\Gamma</tex>, если он может участвовать в выводе, то есть существует порождение вида <tex>S \Rightarrow ^* \alpha A \beta \Rightarrow ^* w</tex>. Иначе он называется '''бесполезным'''(англ. ''useless'').

Грамматика <tex>\Gamma</tex> не содержит бесполезных нетерминалов <tex>\Leftrightarrow</tex> тогда и только тогда, когда грамматика <tex>\Gamma</tex> не содержит ни недостижимых нетерминалов, ни непорождающих.

''Необходимость.'' <tex>\Leftarrow</tex><br/>:Очевидно, т.к. так как недостижимые и непорождающие нетерминалы являются бесполезными.

''Достаточность.'' <tex>\Rightarrow</tex><br/>:Рассмотрим любой нетерминал <tex>A</tex>. Так как он достижим, существуют <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>, такие, что <tex>S \Rightarrow ^* \alpha A \beta</tex>. Из того, что любой нетерминал является порождающим, следует, что из любой строки можно вывести строку из терминалов. Значит, существует <tex>\omega \in \Sigma ^ *</tex>: <tex>S \Rightarrow ^* \alpha A \beta \Rightarrow ^* \omega</tex>, и <tex>A</tex> {{---}} не бесполезный.

===Алгоритм===Алгоритм удаления бесполезных нетерминалов состоит из грамматики прост, как три рубля.двух этапов:# Удалить из грамматики правила, содержащие непорождающие нетерминалы и правила, в которых они встречаются.# Удалить из грамматики правила, содержащие недостижимые нетерминалы и правила, в которых они встречаются.

После сих === Корректность алгоритма ===Достаточность данных действий в грамматике не будет бесполезных символовследует из доказанной выше теоремы.

|id=th2th1

Пусть <tex>\Gamma</tex> - грамматика без непорождающих нетерминалов. Тогда после После удаления недостижимых нетерминалов из грамматики правил, содержащих недостижимые нетерминалы, не появятся новые непорождающие не появятсянетерминалы.

Допустим, что в грамматике появился непорождающий нетерминал <tex>A</tex>. Так как до удаления недостижимых нетерминалов существовал вывод из <tex>A</tex> некоторой конечной цепочки терминалов<tex>\omega</tex>, то удалилось было удалено хотя бы какое-то одно или несколько правил правило из этого вывода. Возьмем первое удаленное правило  Пусть <tex>CB\rightarrow\alpha</tex> {{---}} правило, первым из удалённых применяемое в выводе <tex>A \Rightarrow ^* \omega</tex>. Оно могло удалиться быть удалено тольков том случае, если в <tex>\alpha</tex> присутствуют недостижимые символынетерминалы. Но так как было выбрано первое удаленное удалённое правило из вывода, то <tex>CB</tex> — достижим, а, следовательно, достижимы и все символы нетерминалы из <tex>\alpha</tex>. Значит, это правило удалиться не моглобыть удалено.

''Примечание=== Пример === 1. Пусть нам дана грамматика:''<br> :<tex> S\rightarrow AS|BS|s \\ E\rightarrow EF|FF \\ A\rightarrow a \\ F\rightarrow f</tex><br>2. Удалим правила, содержащие непорождающие нетерминалы: <br> :<tex> S\rightarrow AS|s \\ E\rightarrow EF|FF \\ A\rightarrow a \\ F\rightarrow f</tex><br>3. Теперь удалим недостижимые нетерминалы:<br> :<tex> S\rightarrow AS|s \\ A\rightarrow a</tex> === Замечание ===Шаги алгоритма нельзя менять местами.

Эти шаги нельзя менять местами. Рассмотрим следующую грамматику:<br>

:<tex> S\rightarrow AB|a\\ A\rightarrow b</tex>

Все нетерминалы в этой грамматике достижимы. Однако, если удалить <tex>B</tex> как непорождающий, то нетерминал <tex>A\rightarrow b</tex>станет недостижимым.== См. также ==* [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|Контекстно-свободные грамматики]]* [[Нормальная_форма_Хомского|Нормальная форма Хомского]]

Если начать == Источники информации ==* [[wikipedia:Formal_grammar | Wikipedia {{---}} Formal grammar]]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Chomsky_normal_form Wikipedia {{---}} Chomsky normal form]* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' {{---}} Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с проверки достижимостиангл. — Москва, Издательский дом «Вильямс», то все символы грамматики оказываются достижимыми2002. Если затем удалить <tex>B</tex> как непорождающий символ, то останется грамматика — 528 с бесполезными символами <tex>A</tex> и <tex>b</tex>.: ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)

== Литература ==[[Категория: Теория формальных языков]]* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' — '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2[[Категория: Контекстно-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. свободные грамматики]][[Категория: ISBN 5-8459-0261Нормальные формы КС-4 (рус.)грамматик]]