Изменения
→Пример
== Порождающие и непорождающие нетерминалы ==
===Описание===
{{Определение
|definition=
[[Формальные_грамматики|Нетерминал ]] <tex>A</tex> называется '''порождающим'''(англ. ''generating''), если из него может быть выведена конечная терминальная цепочка. Иначе он называется '''непорождающим'''.
}}
Очевидно, что если и только если все нетерминальные символы нетерминалы правой части правила являются порождающими, то порождающим является и символнетерминал, стоящий в левой части. Это позволяет обнаружить непорождающие нетерминалы с помощью следующей процедуры.# Найти правила, не содержащие нетерминалов в правых частях. Составить множество нетерминалов, встречающихся в левых частях таких правил.# Если найдено такое правило, что все нетерминалы, стоящие в его правой части, уже входят в множество, то добавить в множество нетерминалы, стоящие в его левой части.# Если на шаге 2 множество изменилось, повторить шаг 2.# Получено множество всех порождающих нетерминалов грамматики, а все нетерминалы, не попавшие в него, являются непорождающими.
{{Лемма
|statement=
Непорождающие нетерминалы по определению не могли участвовать в выводе какого-либо слова.
}}
===Алгоритм===
'''Шаг 0'''. Множество порождающих нетерминалов пустое.<br>
'''Шаг 1'''. Находим правила, не содержащие нетерминалов в правых частях и добавляем нетерминалы, встречающихся в левых частях таких правил, в множество.<br>
'''Шаг 2'''. Если найдено такое правило, что все нетерминалы, стоящие в его правой части, уже входят в множество, то добавим в множество нетерминалы, стоящие в его левой части. <br>
'''Шаг 3'''. Повторим предыдущий шаг, если множество порождающих нетерминалов изменилось.<br>
В результате получаем множество всех порождающих нетерминалов грамматики, а все нетерминалы, не попавшие в него, являются непорождающими.
=== Время работы алгоритма ===
Данный алгоритм работает за <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2)</tex>, где <tex>\left| \Gamma \right|</tex> {{---}} размер грамматики. Однако используя [[Очередь|очередь]] можно ускорить его до <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>.
===Модификация алгоритма с очередью===
Для реализации алгоритма поиска непорождающих нетерминалов будем использовать следующие структуры:
*<tex>\mathrm{isGenerating[nonterm_i]}</tex> {{---}} является ли нетерминал <tex>\mathrm{nonterm_i}</tex> порождающим или нет,
*<tex>\mathrm{counter[rule_i]}</tex> {{---}} счетчик количества нетерминалов, которые ещё не помечены порождающими, для каждого из правил,
*<tex>\mathrm{concernedRules[nonterm_i]}</tex> {{---}} для каждого нетерминала <tex>\mathrm{nonterm_i}</tex> список номеров правил, в правой части которых он встречается,
*<tex>\mathrm{Q}</tex> {{---}} очередь нетерминалов, помеченных порождающими, но ещё не обработанных.
Вначале для всех нетерминалов в <tex>\mathrm{isGenerating}</tex> поставим <tex>false</tex>. В <tex>\mathrm{counter}</tex> поставим количество нетерминалов в правой части. Нетерминалы, у которых счётчик <tex>\mathrm{counter}</tex> нулевой, добавим в очередь и отметим их порождающими.<br>
Пока в очереди есть элементы, достаём очередной нетерминал и уменьшаем <tex>\mathrm{counter}</tex> для всех правил из <tex>\mathrm{concernedRules}</tex> для данного нетерминала. Если счётчик количества порождающих терминалов обнулился, то добавим нетерминал, стоящий в левой части данного правила в очередь и пометим его порождающим.<br>
Каждый из нетерминалов попадёт в очередь только один раз, следовательно мы пройдем по списку правил, в правой части которых он встречается, один раз. Таким образом, суммарно получаем <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>.
=== Пример ===
Рассмотрим следующую грамматику: <br>
:<tex>
S\rightarrow Ac\\
A\rightarrow SD\\
D\rightarrow aD\\
A\rightarrow a
</tex>
Применяя описанный алгоритм:
# Изначально множество порождающих нетерминалов состоит из одного элемента <tex>A</tex>.
# Добавим в множество нетерминал <tex>S</tex>, так как существует правило <tex>S\rightarrow Ac</tex>, в правой части которого стоят нетерминал <tex>A</tex>, который есть в множестве, и терминал <tex>c</tex>.
# После следующего обхода правил из грамматики множество не изменится.
# Теперь удалим правила <tex>A\rightarrow SD</tex> и <tex>D\rightarrow aD</tex>, так как они содержат нетерминалы, которых нет в полученном множестве.
== Достижимые и недостижимые нетерминалы ==
===Описание===
{{Определение
|definition=
Нетерминал <tex>A</tex> называется '''достижимым''' (англ. ''reachable'') в [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|КС-грамматике ]] <tex>\Gamma</tex>, если существует порождение <tex>S \Rightarrow^* \alpha A \beta</tex>. Иначе он называется '''недостижимым'''(англ. ''unreachable'').
}}
Очевидно, что если нетерминал в левой части правила является достижимым, то и все нетерминалы правой части являются достижимыми. Найти недостижимые нетерминалы можно с помощью следующей процедуры.# Возьмём множество, состоящее из единственного элемента: <tex>\lbrace S \rbrace</tex>.# Если найдено правило, в левой части которого стоит нетерминал, содержащийся в множестве, добавить в множество все нетерминалы из правой части.# Если на шаге 2 множество изменилось, повторить шаг 2.# Получено множество всех достижимых нетерминалов, а нетерминалы, не попавшие в него, являются недостижимыми.
{{Лемма
|statement=
Недостижимые нетерминалы по определению не достижимы из стартового, следовательно они не могли участвовать в выводе какого-либо слова.
}}
===Алгоритм===
'''Шаг 0.''' Множество достижимых нетерминалов состоит из единственного элемента: <tex>\lbrace S \rbrace</tex>.<br>
'''Шаг 1.''' Если найдено правило, в левой части которого стоит нетерминал, содержащийся в множестве, добавим в множество все нетерминалы из правой части.<br>
'''Шаг 2.''' Повторим предыдущий шаг, если множество порождающих нетерминалов изменилось.<br>
Получаем множество всех достижимых нетерминалов, а нетерминалы, не попавшие в него, являются недостижимыми.
=== Время работы алгоритма ===
Данный алгоритм работает за <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2)</tex>, однако используя [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обход в глубину]] можно ускорить его до <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>.
=== Пример ===
Рассмотрим следующую грамматику:<br>
:<tex>
S\rightarrow AB|CD\\
A\rightarrow EF\\
G\rightarrow AD\\
C\rightarrow c
</tex>
Применяя описанный алгоритм:
# Возьмём множество, состоящее из единственного элемента: <tex>\lbrace S \rbrace</tex>.
# Из <tex>S</tex> достижимы нетерминалы <tex>A</tex>, <tex>B</tex>, <tex>C</tex> и <tex>D</tex>. Добавим их в множество и получим <tex>\lbrace S, A, B, C, D \rbrace</tex>.
# Множество изменилось. Переберём заново правила из грамматики. Из <tex>A</tex> можно вывести <tex>E</tex> и <tex>F</tex>, добавим их в множество.
# Снова переберём правила. Из <tex>C</tex> можно вывести только терминал, а <tex>G</tex> нет в множестве.
# После последнего обхода правил грамматики множество не изменилось, значит мы нашли все достижимые нетерминалы: <tex>\lbrace S, A, B, C, D, E, F \rbrace</tex>.
# Теперь удалим правило <tex>G\rightarrow AD</tex>, так как оно содержит в левой части нетерминал, которого нет в полученном множестве.
== Полезные и бесполезные нетерминалы ==
===Описание===
{{Определение
|definition=
Нетерминал <tex>A</tex> называется '''полезным''' (англ. ''useful'') в КС-грамматике <tex>\Gamma</tex>, если он может участвовать в выводе, то есть существует порождение вида <tex>S \Rightarrow ^* \alpha A \beta \Rightarrow ^* w</tex>. Иначе он называется '''бесполезным'''(англ. ''useless'').
}}
|id=th1
|statement=
Грамматика <tex>\Gamma</tex> не содержит бесполезных нетерминалов <tex>\Leftrightarrow</tex> тогда и только тогда, когда грамматика <tex>\Gamma</tex> не содержит ни недостижимых нетерминалов, ни непорождающих.
|proof=
}}
=== Алгоритм удаления бесполезных нетерминалов ===Алгоритм состоит из двух этапов:
# Удалить из грамматики правила, содержащие непорождающие нетерминалы.
# Удалить из грамматики правила, содержащие недостижимые нетерминалы.
=== Корректность алгоритма ===
Достаточность данных действий следует из доказанной выше теоремы.
{{Теорема
|id=th2th1
|statement=
|proof=
}}
S\rightarrow AB|a \\
A\rightarrow b
</tex>
Все нетерминалы в этой грамматике достижимы. Однако, если удалить <tex>B</tex> как непорождающий, то нетерминал <tex>A</tex> станет недостижимым.
== См. также ==
* [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|Контекстно-свободные грамматики]]
* [[Нормальная_форма_Хомского|Нормальная форма Хомского]]
== Источники информации ==
* [[wikipedia:Formal_grammar | Wikipedia {{---}} Formal grammar]]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Chomsky_normal_form Wikipedia {{---}} Chomsky normal form]
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' {{---}} Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
