Укладка графа на плоскости — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
<br/>
 
<br/>
 
{| class="standard" border=0
 
{| class="standard" border=0

Текущая версия на 19:14, 4 сентября 2022


Пример планарного графа. Синим контуром обозначены грани, за исключением внешней грани (всего 5 граней). Обратите внимание, что внутри грани могут содержаться другие ребра и вершины.
Определение:
Граф обладает укладкой в пространстве [math]L[/math], если он изоморфен графу, вершинами которого являются некоторые точки пространства, а ребрами — жордановы кривые [1], соединяющие соответствующие вершины, причем
  1. Кривая, являющаяся ребром не проходит через другие вершины графа, кроме вершин, которые она соединяет;
  2. Две кривые, являющиеся ребрами, пересекаются лишь в вершинах, инцидентных одновременно обоим этим ребрам.
Соответствующий граф, составленный из точек пространства и жордановых кривых из [math]L[/math], называют укладкой исходного графа.



Определение:
Граф называется планарным (англ. planar graph), если он обладает укладкой на плоскости. Плоским (англ. plane graph, planar embedding of the graph) называется граф уже уложенный на плоскости.
Определение:
Плоский граф разбивает плоскость на несколько областей, называемых гранями (англ. faces). Одна из граней не ограничена, ее называют внешней (англ. external) гранью, а остальные — внутренними (англ. unbounded) гранями.


Для плоских графов есть простое соотношение, называемое формулой Эйлера: [math]V - E + F = 2[/math], где [math]V[/math] — вершины, [math]E[/math] — ребра, [math]F[/math] — грани.

Это свойство позволяет в некоторых случаях просто доказывать непланарность некоторых графов, например непланарность [math]K_5[/math] и [math]K_{3,3}[/math].

Понятно, что любой граф, содержащий подграф [math]K_5[/math] или [math]K_{3,3}[/math] непланарен. Оказывается, верно и обратное утверждение, но для его формулировки потребуется вспомогательное определение:

Полный двудольный граф [math]K_{3,3}[/math]. Этот граф непланарен, и его не получится изобразить на плоскости без пересечений ребер.
Определение:
Gomeomorf.png

Введем отношение [math]R[/math] следующим образом: два графа находятся в отношении [math]R[/math], если один можно свести к другому заменой вершины степени 2 на ребро между вершинами смежными ей, или наоборот, добавлением вершины степени два на ребро (см. картинку).

Отношением гомеоморфизма (или топологической эквивалентности) назовем транзитивное замыкание отношения [math]R[/math]: [math]R[/math]*.


Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных [math]K_5[/math] и [math]K_{3,3}[/math]: теорема Понтрягина-Куратовского.

Теорема:
В трехмерном евклидовом пространстве любой граф укладывается.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Все вершины произвольного графа [math]G[/math] помещаем в различных точках координатной оси [math]OX[/math]. Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через ось [math]OX[/math], и зафиксируем [math]|E|[/math] различных таких плоскостей. Теперь каждое ребро [math](u, v)[/math] изобразим полуокружностью, проходящей в соответствующей плоскости через вершины [math]u, v[/math]. Ясно, что различные ребра не будут пересекаться кроме как в общих вершинах.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Примечания

  1. Жордановыми кривыми, неформально говоря, называют кривые без самопересечений, которые можно «нарисовать одним росчерком пера».

Источники информации

  • Асанов М, Баранский В., Расин В. - Дискретная математика - Графы, матроиды, алгоритмы
  • Харари, Ф. Теория графов. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — С. 126. — ISBN 978­-5­-397­-00622­-4.