53
правки
Изменения
Нет описания правки
|proof=
Предварительно заметим, что в доказательстве используются утверждения [[Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности#l1|леммы I]] и [[Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности#l2|леммы II]] из статьи [[Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности]]. Итак, уложим <tex>G_2</tex> на сфере и уложим <tex>G_1</tex> на плоскости так, чтобы ребро <tex>e_1 \in G_1</tex> смежное с <tex>v_1</tex> (если таковое имеется) оказалось на границе внешней грани (по [[#l2|лемме II]] это возможно). Если такого ребра <tex>e_1</tex> не существует, значит вершина <tex>v_1</tex> изолирована, в таком случае возьмем любую укладку <tex>G_1</tex> на плоскости и переместим точку, соответствующую <tex>v_1</tex> во внешнюю грань. Сожмем часть плоскости, содержащую укладку <tex>G_1</tex> так, чтобы она вмещалась в одну из граней укладки <tex>G_2</tex> смежную с <tex>v_1</tex>. Рассмотрим множество <tex>U</tex> вершин смежных с <tex>v_1</tex>. Уберем кривые, соответствующие ребрам, инцидентным <tex>v_1</tex>. Ясно, что после этого множество вершин <tex>U</tex> лежит на внешней границе укладки <tex>G_1</tex>. Соединим теперь каждую вершину из <tex>U</tex> c <tex>v_2</tex> непересекающимися жордановыми линиями так, чтобы они не задевали укладок <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>(рис. 1). Таким образом мы совместили вершины <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex> в вершине <tex>v_2</tex>, а значит получили укладку графа <tex>G</tex> на сфере, следовательно <tex>G</tex> - планарен.[[Файл:ConnectionOnSphere.png|200px|center|thumb|рис. 1.]]
}}
Положим <tex>G_1</tex> — это блок графа <tex>G'</tex> являющийся висячей вершиной дерева <tex>T</tex> (вспомним, что в дереве, в котором более одной вершины, всегда есть есть висячие вершины, и то, что висячими вершинами в графе блоков и т.с. не могут быть т.с.), a <tex>v</tex> {{---}} т.с. в <tex>G'</tex> смежная с <tex>G_1</tex> в <tex>T</tex>. <tex>G_1</tex> планарен по утверждению теоремы, т.к. блоки графа <tex>G'</tex> совпадают с блоками графа <tex>G</tex>. Заметим, что <tex>deg(v) > 1</tex>, т.к. <tex>v</tex> {{---}} т.с., следовательно не висячая. Рассмотрим два случая:
#<tex>deg(v) = 2</tex> в <tex>T</tex>(рис. 2). Обозначим за <tex>T'</tex> <tex>T\backslash \{u,v\}</tex>. Поскольку степень ни одной из т.с. <tex>G'</tex> принадлежащих <tex>T</tex> (кроме удаленной <tex>v</tex>) не уменьшилась, значит <tex>T'</tex> удовлетворяет условиям на <tex>T</tex> из предположения индукции. Заметим, что <tex>VT' = VT - 2 = m - 2 < m</tex>. Заметим также, что <tex>T'</tex> связен, т.к. <tex>u</tex> и <tex>v</tex> по очереди были висячими вершинами <tex>T</tex> и <tex>T\backslash \{u\}</tex>.[[Файл:UVDeg2.png|200px|center|thumb|рис. 2.]]#<tex>deg (v) > 2</tex> в <tex>T</tex>(рис. 3). Обозначим за <tex>T'</tex> <tex>T\backslash \{u\}</tex>. Поскольку степень ни одной из т.с. <tex>G'</tex> принадлежащих <tex>T</tex> (кроме <tex>v</tex>, для нее степень уменьшилась ровно на <tex>1</tex>) не уменьшилась, а для вершины <tex>v</tex> в <tex>T'</tex> верно, что <tex>deg(v) >= 2</tex>, то <tex>T'</tex> удовлетворяет условиям на <tex>T</tex> из предположения индукции. Заметим, что <tex>VT' = VT - 1 = m - 1 < m</tex>. Заметим также, что <tex>T'</tex> связен, т.к. <tex>u</tex> была висячей вершиной в <tex>T</tex>[[Файл:UVDeg3.png|200px|center|thumb|рис. 3.]]
Рассмотрим подграф <tex>G_2</tex> графа <tex>G'</tex> соответствующий дереву <tex>T'</tex>. Поскольку <tex>T'</tex> связен, степени вершин в <tex>T'</tex> соответствующих т.с. графа <tex>G'</tex> удовлетворяют предположению индукции и, очевидно, также как и <tex>T</tex> граф <tex>T'</tex> является подграфом графа блоков и точек сочленений <tex>G</tex>, получим, что <tex>G_2</tex> планарен по предположению индукции, т.к. <tex>VT' < m</tex>.
