Изменения
→Смотри так же
{{Теорема
|about=Теорема об укладке графа с планарными компонентами вершинной двусвязности.|statement=Если [[Отношение вершинной двусвязности|компоненты вершинной двусвязности]] [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа ]] <tex>G</tex> [[Укладка графа на плоскости|планарны]], то и сам граф <tex>G</tex> планарен.
|proof=
|proof=
}}
Докажем утверждение теоремы для одной из компоненты связности графа <tex>G</tex>. Ясно, что имея укладки на плоскости каждой из компонент связности какого-либо графа , мы можем получить укладку на плоскости и всего графа.Итак пусть граф <tex>G</tex> связен. Если <tex>G = K_1</tex>, то <tex>G</tex> очевидно планерен, поэтому предположим, что <tex>|EG| \ge geqslant 1</tex> , а значит имеется по-крайней мере один блокв <tex>G</tex>. Рассмотрим связный подграф <tex>T</tex> графа блоков и точек сочленений графа <tex>G</tex> такой, все висячие вершины что <tex>\forall v</tex> - блоки графа т.с. <tex>G</tex> имеем <tex>\deg(v) \geqslant 2</tex>. Из [[Граф блоков-точек сочленения#lemma1|леммы]] и из связности <tex>T</tex> - получаем, что <tex>T</tex> - — двудольное [[Дерево, эквивалентные определения|дерево]].
Докажем индукцией по числу вершин в графе <tex>T</tex>, что подграф <tex>G'</tex> графа <tex>G</tex> состоящий из блоков графа <tex>G</tex> принадлежащих графу <tex>T</tex> планарен (далее будем говритьговорить, что <tex>G'</tex> соответствует <tex>T</tex>).
'''База индукции.'''
<div style="border:1px solid dashed #000; width:90%; margin: 10px; padding:4px; background-color: #fdfdfd; padding-left:10px;">Если <tex>|VT| = 1</tex>, то граф <tex>T</tex> - тривиальный. Его единственная вершина - — это блок графа <tex>G</tex>, который по утверждению теоремы - планарен.
</div>
'''Индукционный переход.'''
<div style="border:1px solid dashed #000; width:90%; margin: 10px; padding:4px; background-color: #fdfdfd; padding-left:10px;">Пусть утверждение верно для <tex>|VT| < m</tex>. Рассмотрим <tex>T</tex>, для которого <tex>|VT| = m > 1</tex>, и соответствующий <tex>T</tex> подграф <tex>G'</tex> графа <tex>G</tex>. Докажем, что <tex>G'</tex> - планарен.
Положим <tex>G_1</tex> - — это блок графа <tex>G'</tex> являющийся висячей вершиной дерева <tex>T</tex>(вспомним, что в дереве, в котором более одной вершины, всегда есть есть висячие вершины, и то, что висячими вершинами в графе блоков и т.с. не могут быть т.с.), a <tex>v</tex> {{--- }} т.с. в <tex>G'</tex> смежная с <tex>G_1</tex> в <tex>T</tex>. <tex>G_1</tex> планарен по утверждению теоремы, т.к. блоки графа <tex>G'</tex> совпадают с блоками графа <tex>G</tex>. Заметим, что <tex>\deg (v ) > 01</tex>, т.к. <tex>v</tex> {{--- }} т.с., следовательно не висячая. Рассмотрим два случая:# <tex>deg v = 2</tex> в <tex>T</tex>. Обозначим за <tex>T'</tex> <tex>T\backslash {u,v}</tex>. Поскольку степень ни одной из т.с. <tex>G'</tex> принадлежащих <tex>T</tex> (кроме удаленной <tex>v</tex>) не уменьшилась, то ни одна из тех т.с. не превратиться в лист в <tex>T'</tex>. Заметим, что <tex>VT' = VT - 2 = m - 2 < m</tex>. Заметим также, что <tex>T'</tex> - связен, т.к. {u. v} по очереди были висячими вершинами <tex>T</tex> и <tex>T\backslash {u}</tex>.# <tex>deg v > 2</tex> в <tex>T</tex>. Обозначим за <tex>T'</tex> <tex>T\backslash {u}</tex>. Поскольку степень ни одной из т.с. <tex>G'</tex> принадлежащих <tex>T</tex> (кроме кроме <tex>v</tex> - для нее степень уменьшилась ровно на 1) не уменьшилась ни одна из тех т.с. не превратиться в лист в <tex>T'</tex>. <tex>deg v >= 2</tex> в <tex>T'</tex>, а значит и <tex>v</tex> не является листом в <tex>T'</tex>. Заметим, что <tex>VT' = VT - 1 = m - 1 < m</tex>. Заметим также, что <tex>T'</tex> - связен, т.к. {u} была висячей вершиной в <tex>T</tex>. Рассмотрим подграф <tex>G_2</tex> графа <tex>G'</tex> соответствующий дереву <tex>T'</tex>. Поскольку T' - связен, то <tex>T\backslash \{G_1\}</tex> связен, и очевидно также как и <tex>T</tex> является подграфом графа блоков и точек сочленений <tex>G</tex>. А значит <tex>G_2</tex> планарен по предположению индукции, т.к. <tex>|V(T\backslash \{u\})| = |VT| - 1 = m - 1 < m</tex>.
</div>
Рассматривая в качестве <tex>T</tex> граф компонент реберной двусвязности <tex>T_G</tex> блоков и точек сочленений <tex>G</tex>. По [[Граф блоков-точек сочленения|лемме]] <tex>T_G</tex> {{---}} дерево, следовательно каждая его вершина имеет степень как минимум <tex>1</tex>. Поскольку граф <tex>G</tex> содержит хотя бы один блок. Если это единственный блок, то <tex>T_G</tex> не содержит ни одной точки сочленения. Если граф <tex>G</tex> содержит хотя бы <tex>2</tex> блока и, следовательно хотя бы одну точку сочленения, то <tex>T_G</tex> {{---}} дерево, содержащее хотя бы одно ребро. Поскольку в графе блоков и точек сочленений точки сочленений не могут быть висячими вершинами, то каждая из т.с. графа <tex>G</tex> получаем принадлежащих <tex>T_G</tex> имеет степень как минимум <tex>2</tex>. Получаем, что <tex>T_G</tex> удовлетворяет условиям на <tex>T</tex> из предположения индукции, а значит <tex>G</tex> - планарен.
}}
'''Замечание.''' В доказательстве теоремы непосредственно указывается способ получения укладки графа <tex>G</tex> из имеющихся укладок его блоков. ==См. также==*[[Укладка_графа_с_планарными_компонентами_реберной_двусвязности|Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности]] ==Источникиинформации== * Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. '''Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы''' — НИЦ РХД, 2001. — 288 с. — ISBN 5-93972-076-5