Укладка графа с планарными компонентами вершинной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Смотри так же)
Строка 1: Строка 1:
 +
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 +
|+
 +
|-align="center"
 +
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|
 +
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 +
 +
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 +
 +
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 +
 +
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 +
 +
''Антивоенный комитет России''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 +
|}
 +
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=об укладке графа с планарными компонентами вершинной двусвязности
 
|about=об укладке графа с планарными компонентами вершинной двусвязности

Версия 09:35, 1 сентября 2022

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.

Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.

Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.

Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.

Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.
Теорема (об укладке графа с планарными компонентами вершинной двусвязности):
Если компоненты вершинной двусвязности графа [math]G[/math] планарны, то и сам граф [math]G[/math] планарен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем вспомогательную лемму.

Лемма (I):
Пусть графы [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] планарны. Граф [math]G[/math] получается из [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] совмещением вершин [math]v_1 \in G_1[/math] и [math]v_2 \in G_2[/math]. Тогда [math]G[/math] планарен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Предварительно заметим, что в доказательстве используются утверждения леммы I и леммы II из статьи Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности. Итак, уложим [math]G_2[/math] на сфере и уложим [math]G_1[/math] на плоскости так, чтобы ребро [math]e_1 \in G_1[/math] смежное с [math]v_1[/math] (если таковое имеется) оказалось на границе внешней грани (по лемме II это возможно). Если такого ребра [math]e_1[/math] не существует, значит вершина [math]v_1[/math] изолирована, в таком случае возьмем любую укладку [math]G_1[/math] на плоскости и переместим точку, соответствующую [math]v_1[/math] во внешнюю грань. Иначе сожмем часть плоскости, содержащую укладку [math]G_1[/math] так, чтобы она вмещалась в одну из граней укладки [math]G_2[/math] смежную с [math]v_1[/math]. Рассмотрим множество [math]U[/math] вершин смежных с [math]v_1[/math]. Уберем кривые, соответствующие ребрам, инцидентным [math]v_1[/math]. Ясно, что после этого множество вершин [math]U[/math] лежит на внешней границе укладки [math]G_1[/math]. Соединим теперь каждую вершину из [math]U[/math] c [math]v_2[/math] непересекающимися жордановыми линиями так, чтобы они не задевали укладок [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] (рис. 1). Таким образом мы совместили вершины [math]v_1[/math] и [math]v_2[/math] в вершине [math]v_2[/math], а значит получили укладку графа [math]G[/math] на сфере, следовательно [math]G[/math] - планарен.

рис. 1.
[math]\triangleleft[/math]

Докажем утверждение теоремы для одной из компоненты связности графа [math]G[/math]. Ясно, что имея укладки на плоскости каждой из компонент связности графа, мы можем получить укладку на плоскости и всего графа. Итак пусть граф [math]G[/math] связен. Если [math]G = K_1[/math], то [math]G[/math] очевидно планерен, поэтому предположим, что [math]|EG| \geqslant 1[/math] , а значит имеется по-крайней мере один блок в [math]G[/math]. Рассмотрим связный подграф [math]T[/math] графа блоков и точек сочленений графа [math]G[/math] такой, что [math]\forall v[/math] - т.с. [math]G[/math] имеем [math]\deg(v) \geqslant 2[/math]. Из леммы и из связности [math]T[/math] получаем, что [math]T[/math] — двудольное дерево.

Докажем индукцией по числу вершин в графе [math]T[/math], что подграф [math]G'[/math] графа [math]G[/math] состоящий из блоков графа [math]G[/math] принадлежащих графу [math]T[/math] планарен (далее будем говорить, что [math]G'[/math] соответствует [math]T[/math]).

База индукции.

Если [math]|VT| = 1[/math], то граф [math]T[/math] тривиальный. Его единственная вершина — это блок графа [math]G[/math], который по утверждению теоремы планарен.

Индукционный переход.

Пусть утверждение верно для [math]|VT| \lt m[/math]. Рассмотрим [math]T[/math], для которого [math]|VT| = m \gt 1[/math], и соответствующий [math]T[/math] подграф [math]G'[/math] графа [math]G[/math]. Докажем, что [math]G'[/math] планарен.

Положим [math]G_1[/math] — это блок графа [math]G'[/math] являющийся висячей вершиной дерева [math]T[/math] (вспомним, что в дереве, в котором более одной вершины, всегда есть есть висячие вершины, и то, что висячими вершинами в графе блоков и т.с. не могут быть т.с.), a [math]v[/math] — т.с. в [math]G'[/math] смежная с [math]G_1[/math] в [math]T[/math]. [math]G_1[/math] планарен по утверждению теоремы, т.к. блоки графа [math]G'[/math] совпадают с блоками графа [math]G[/math]. Заметим, что [math]\deg(v) \gt 1[/math], т.к. [math]v[/math] — т.с., следовательно не висячая. Рассмотрим два случая:

  1. [math]\deg(v) = 2[/math] в [math]T[/math] (рис. 2). Обозначим за [math]T'[/math] [math]T\backslash \{u,v\}[/math]. Поскольку степень ни одной из т.с. [math]G'[/math] принадлежащих [math]T[/math] (кроме удаленной [math]v[/math]) не уменьшилась, значит [math]T'[/math] удовлетворяет условиям на [math]T[/math] из предположения индукции. Заметим, что [math]VT' = VT - 2 = m - 2 \lt m[/math]. Заметим также, что [math]T'[/math] связен, т.к. [math]u[/math] и [math]v[/math] по очереди были висячими вершинами [math]T[/math] и [math]T\backslash \{u\}[/math].
    рис. 2. Красные — точки сочленений. Голубые — блоки.
  2. [math]\deg (v) \gt 2[/math] в [math]T[/math] (рис. 3). Обозначим за [math]T'[/math] [math]T\backslash \{u\}[/math]. Поскольку степень ни одной из т.с. [math]G'[/math] принадлежащих [math]T[/math] (кроме [math]v[/math], для нее степень уменьшилась ровно на [math]1[/math]) не уменьшилась, а для вершины [math]v[/math] в [math]T'[/math] верно, что [math]\deg(v) \gt = 2[/math], то [math]T'[/math] удовлетворяет условиям на [math]T[/math] из предположения индукции. Заметим, что [math]VT' = VT - 1 = m - 1 \lt m[/math]. Заметим также, что [math]T'[/math] связен, т.к. [math]u[/math] была висячей вершиной в [math]T[/math].
    рис. 3. Красные — точки сочленений. Голубые — блоки.

Рассмотрим подграф [math]G_2[/math] графа [math]G'[/math] соответствующий дереву [math]T'[/math]. Поскольку [math]T'[/math] связен, степени вершин в [math]T'[/math] соответствующих т.с. графа [math]G'[/math] удовлетворяют предположению индукции и, очевидно, также как и [math]T[/math] граф [math]T'[/math] является подграфом графа блоков и точек сочленений [math]G[/math], получим, что [math]G_2[/math] планарен по предположению индукции, т.к. [math]VT' \lt m[/math].

Из определения ребер дерева блоков и точек сочленений получаем, что графы [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] имеют единственную общую точку — точку сочленения [math]v[/math]. Поскольку множество блоков [math]G'[/math] принадлежащих [math]T[/math] состоит из [math]G_1[/math] и множества блоков [math]T'[/math], то [math]G' = G_1\cup G_2[/math]. [math]G_1, G_2, G'[/math] удовлетворяют условию леммы I, поэтому получим укладку [math]G[/math] из укладок [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] так, как это сделано в доказательстве леммы. Получаем, что [math]G'[/math] планарен. А значит предположение индукции верно.

Рассматривая в качестве [math]T[/math] граф [math]T_G[/math] блоков и точек сочленений [math]G[/math]. По лемме [math]T_G[/math] — дерево, следовательно каждая его вершина имеет степень как минимум [math]1[/math]. Поскольку граф [math]G[/math] содержит хотя бы один блок. Если это единственный блок, то [math]T_G[/math] не содержит ни одной точки сочленения. Если граф [math]G[/math] содержит хотя бы [math]2[/math] блока и, следовательно хотя бы одну точку сочленения, то [math]T_G[/math] — дерево, содержащее хотя бы одно ребро. Поскольку в графе блоков и точек сочленений точки сочленений не могут быть висячими вершинами, то каждая из т.с. графа [math]G[/math] принадлежащих [math]T_G[/math] имеет степень как минимум [math]2[/math]. Получаем, что [math]T_G[/math] удовлетворяет условиям на [math]T[/math] из предположения индукции, а значит [math]G[/math] планарен.
[math]\triangleleft[/math]

Замечание. В доказательстве теоремы непосредственно указывается способ получения укладки графа [math]G[/math] из имеющихся укладок его блоков.

См. также

Источники информации

  • Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы — НИЦ РХД, 2001. — 288 с. — ISBN 5-93972-076-5
  • H. Whitney Non-separable and planar graphs — Trans. Amer. Math. Soc., 1932.