Укладка графа с планарными компонентами рёберной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 34: Строка 34:
  
 
<div style="border:1px solid #000; width:90%; margin: 10px; padding:4px; background-color: #fdfdfd; padding-left:10px;">
 
<div style="border:1px solid #000; width:90%; margin: 10px; padding:4px; background-color: #fdfdfd; padding-left:10px;">
Если <tex>|VT| = 1</tex>, то граф <tex>T</tex> - тривиальный. Его единственная вершина - это к.р.д. графа <tex>G</tex>, которая по утверждению теоремы - планарна.
+
Если <tex>|VT| = 1</tex>, то граф <tex>T</tex> {{---}} тривиальный граф. Его единственная вершина - это к.р.д. графа <tex>G</tex>, которая по условию теоремы - планарна.
 
</div>
 
</div>
  
Строка 42: Строка 42:
 
Пусть утверждение верно для <tex>|VT| < m</tex>. Рассмотрим <tex>T</tex>, для которого <tex>|VT| = m > 1</tex>, и соответствующий <tex>T</tex> подграф <tex>G'</tex> графа <tex>G</tex>. Докажем, что <tex>G'</tex> планарен.  
 
Пусть утверждение верно для <tex>|VT| < m</tex>. Рассмотрим <tex>T</tex>, для которого <tex>|VT| = m > 1</tex>, и соответствующий <tex>T</tex> подграф <tex>G'</tex> графа <tex>G</tex>. Докажем, что <tex>G'</tex> планарен.  
  
Положим <tex>G_1</tex> &mdash; к.р.д. графа <tex>G'</tex> являющийся висячей вершиной дерева <tex>T</tex>, a <tex>e</tex> &mdash; мост в <tex>G'</tex> инцидентный <tex>G_1</tex> в <tex>T</tex>. <tex>G_1</tex> планарен по утверждению теоремы, т.к. к.р.д. графа <tex>G'</tex> совпадают с к.р.д. графа <tex>G</tex>. Далее рассмотрим подграф <tex>G_2</tex> графа <tex>G'</tex>, соответствующий дереву <tex>T\backslash \{G_1\}</tex>. Поскольку <tex>G_1</tex> &mdash; висячая вершина <tex>T</tex>, то <tex>T\backslash \{G_1\}</tex> связен, и, очевидно, также как и <tex>T</tex> является подграфом графа к.р.д. <tex>G</tex>. Итак <tex>G_2</tex> планарен по предположению индукции, т.к. <tex>|V(T\backslash \{u\})| = |VT| - 1 = m - 1 < m</tex>.  
+
Положим <tex>G_1</tex> &mdash; к.р.д. графа <tex>G'</tex> являющийся висячей вершиной дерева <tex>T</tex>, a <tex>e</tex> &mdash; мост в <tex>G'</tex> инцидентный <tex>G_1</tex> в <tex>T</tex>. <tex>G_1</tex> планарен по условию теоремы, т.к. к.р.д. графа <tex>G'</tex> совпадают с к.р.д. графа <tex>G</tex>. Далее рассмотрим подграф <tex>G_2</tex> графа <tex>G'</tex>, соответствующий дереву <tex>T\backslash \{G_1\}</tex>. Поскольку <tex>G_1</tex> &mdash; висячая вершина <tex>T</tex>, то <tex>T\backslash \{G_1\}</tex> связен, и, очевидно, также как и <tex>T</tex> является подграфом графа к.р.д. <tex>G</tex>. Итак <tex>G_2</tex> планарен по предположению индукции, т.к. <tex>|V(T\backslash \{u\})| = |VT| - 1 = m - 1 < m</tex>.  
  
Из определения ребер дерева к.р.д. получаем, что графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> соединены в графе <tex>G'</tex> единственным мостом <tex>e \in G'</tex> инцидентным блоку <tex>G_1</tex> в дереве <tex>T</tex>. Поскольку <tex>T = \{G_1\}\cup e\cup \{G_2\}</tex>, то и <tex>G' = \{G_1\}\cup e\cup \{G_2\}</tex>. Покажем как из укладок <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> получить укладку <tex>G'</tex>.
+
Из определения ребер дерева к.р.д. получаем, что графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> соединены в графе <tex>G'</tex> единственным мостом <tex>e \in G'</tex> инцидентным блоку <tex>G_1</tex> в дереве <tex>T</tex>. Поскольку <tex>T = G_1\cup e\cup G_2</tex>, то и <tex>G' = G_1\cup e\cup G_2</tex>. Покажем как из укладок <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> получить укладку <tex>G'</tex>.
  
Уложим <tex>G_2</tex> на сфере и уложим <tex>G_1</tex> на плоскости так, чтобы ребро <tex>e_1 \in G_1</tex> смежное с <tex>e</tex> в G' (если таковое имеется) оказалось на границе внешней грани (по [[#l2|лемме II]] это возможно). Если такого ребра <tex>e_1</tex> не существует, значит к.р.д. <tex>G_1</tex> &mdash; тривиальный граф. В таком случае возьмем любую укладку <tex>G_1</tex> на плоскости. Обозначим за <tex>u</tex> вершину из <tex>G_2</tex> инцедентную <tex>e</tex>. Сожмем часть плоскости, содержащую укладку <tex>G_1</tex>, так, чтобы она вмещалась в одну из граней укладки <tex>G_2</tex> смежную с <tex>u</tex>. Проведем жорднанову кривую, соответствующую ребру <tex>e</tex>, от вершины <tex>u</tex> к инцидентоной <tex>e</tex> вершине графа <tex>G_1</tex> так, чтобы она не пересекалась с укладками <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>. Мы получили укладку графа <tex>G'</tex> на сфере, а значит (по [[#l1|лемме I]]) <tex>G'</tex> планарен, следовательно предположение индукции верно.
+
Уложим <tex>G_2</tex> на сфере и уложим <tex>G_1</tex> на плоскости так, чтобы ребро <tex>e_1 \in G_1</tex> смежное с <tex>e</tex> в G' (если таковое имеется) оказалось на границе внешней грани (по [[#l2|лемме II]] это возможно). Если такого ребра <tex>e_1</tex> не существует, значит к.р.д. <tex>G_1</tex> &mdash; тривиальный граф. В таком случае возьмем любую укладку <tex>G_1</tex> на плоскости. Пусть <tex>u\in G_2</tex> {{---}} вершина инцидентную <tex>e</tex>. Сожмем часть плоскости, содержащую укладку <tex>G_1</tex>, так, чтобы она вмещалась в одну из граней укладки <tex>G_2</tex> смежная с <tex>u</tex>. Проведем жорднанову кривую, соответствующую ребру <tex>e</tex>, от вершины <tex>u</tex> к инцидентоной <tex>e</tex> вершине графа <tex>G_1</tex> так, чтобы она не пересекалась с укладками <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>. Мы получили укладку графа <tex>G'</tex> на сфере, а значит (по [[#l1|лемме I]]) <tex>G'</tex> планарен, следовательно предположение индукции верно.
 
</div>
 
</div>
  
Строка 52: Строка 52:
 
}}
 
}}
  
'''Замечание.''' Доказательство теоремы непосредственно задает способ укладки графа <tex>G</tex>.
+
'''Замечание.''' Доказательство теоремы непосредственно задает способ укладки графа <tex>G</tex> из укладок его к.р.д.
  
 
==Источники==
 
==Источники==
  
Асанов М., Баранский В., Расин В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.
+
Асанов М., Баранский В., Расин В. {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы {{---}} Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.
  
H. Whitney - Non-separable and planar graphs - Trans. Amer. Math. Soc., 1932.
+
H. Whitney {{---}} Non-separable and planar graphs {{---}} Trans. Amer. Math. Soc., 1932.

Версия 23:29, 21 октября 2010

Теорема (об укладке графа с планарными компонентами реберной двусвязности):
Если компоненты реберной двусвязности (к.р.д.) графа [math]G[/math] планарны, то и сам граф [math]G[/math] планарен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем для начала ряд вспомогательных лемм.

Лемма (I):
Граф [math]G[/math] планарен тогда и только тогда, когда он обладает укладкой на сфере
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим укладку графа [math]G[/math] на сфере. Возьмем на сфере точку [math]N[/math], не лежащую на ребре, и не вершину. Выберем на сфере точку [math]S[/math] противолежащую [math]N[/math] ([math]N[/math] и [math]S[/math] лежат на одном диаметре и при этом не совпадают). Проведем через точку [math]S[/math] касательную к сфере плоскость. Спроектируем на плоскость все точки сферы, проведя все возможные лучи из точки [math]N[/math] через точки сферы до пересечения с плоскостью. Ясно, что эта проекция дает укладку графа [math]G[/math] на плоскости.

Обратно рассмотрим укладку графа [math]G[/math] на плоскости. Возьмем сферу, которая касается плоскости, и обозначим точку касания за [math]S[/math]. Противолежащую [math]S[/math] точку на сфере обозначим за [math]N[/math]. Проведем все возможные лучи от точек плоскости через точки сферы до точки [math]N[/math]. Ясно что при этом укладка графа [math]G[/math] на плоскости будет перенесена на некоторую укладку графа [math]G[/math] на сфере.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (II):
Для любого выделенного ребра планарного графа найдется такая укладка графа на плоскости, что выделенное ребро будет лежать на границе внешней грани.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Возьмем укладку графа на сфере. Перенесем эту укладку графа на сфере в укладку на плоскости так как это сделано в лемме I, за точку [math]N[/math] возьмем точку на сфере, не лежащую на ребре, не являющуюся вершиной и принадлежащую грани на границе которой лежит выделенное ребро. Полученная укладка на плоскости обладает нужным нам свойством.
[math]\triangleleft[/math]

Докажем утверждение теоремы для одной из компонент связности графа [math]G[/math]. Ясно, что имея укладки на плоскости каждой из компонент связности графа, мы можем получить укладку на плоскости и всего графа. Итак пусть граф [math]G[/math] связен. Рассмотрим связный подграф [math]T[/math] графа к.р.д. графа [math]G[/math]. Из леммы и из связности [math]T[/math] получаем, что [math]T[/math]дерево.

Докажем индукцией по числу вершин в графе [math]T[/math], что подграф [math]G'[/math] графа [math]G[/math] состоящий из к.р.д. и мостов графа [math]G[/math] принадлежащих графу [math]T[/math] планарен (далее будем говорить, что [math]G'[/math] соответствует [math]T[/math]).

База индукции.

Если [math]|VT| = 1[/math], то граф [math]T[/math] — тривиальный граф. Его единственная вершина - это к.р.д. графа [math]G[/math], которая по условию теоремы - планарна.

Индукционный переход.

Пусть утверждение верно для [math]|VT| \lt m[/math]. Рассмотрим [math]T[/math], для которого [math]|VT| = m \gt 1[/math], и соответствующий [math]T[/math] подграф [math]G'[/math] графа [math]G[/math]. Докажем, что [math]G'[/math] планарен.

Положим [math]G_1[/math] — к.р.д. графа [math]G'[/math] являющийся висячей вершиной дерева [math]T[/math], a [math]e[/math] — мост в [math]G'[/math] инцидентный [math]G_1[/math] в [math]T[/math]. [math]G_1[/math] планарен по условию теоремы, т.к. к.р.д. графа [math]G'[/math] совпадают с к.р.д. графа [math]G[/math]. Далее рассмотрим подграф [math]G_2[/math] графа [math]G'[/math], соответствующий дереву [math]T\backslash \{G_1\}[/math]. Поскольку [math]G_1[/math] — висячая вершина [math]T[/math], то [math]T\backslash \{G_1\}[/math] связен, и, очевидно, также как и [math]T[/math] является подграфом графа к.р.д. [math]G[/math]. Итак [math]G_2[/math] планарен по предположению индукции, т.к. [math]|V(T\backslash \{u\})| = |VT| - 1 = m - 1 \lt m[/math].

Из определения ребер дерева к.р.д. получаем, что графы [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] соединены в графе [math]G'[/math] единственным мостом [math]e \in G'[/math] инцидентным блоку [math]G_1[/math] в дереве [math]T[/math]. Поскольку [math]T = G_1\cup e\cup G_2[/math], то и [math]G' = G_1\cup e\cup G_2[/math]. Покажем как из укладок [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] получить укладку [math]G'[/math].

Уложим [math]G_2[/math] на сфере и уложим [math]G_1[/math] на плоскости так, чтобы ребро [math]e_1 \in G_1[/math] смежное с [math]e[/math] в G' (если таковое имеется) оказалось на границе внешней грани (по лемме II это возможно). Если такого ребра [math]e_1[/math] не существует, значит к.р.д. [math]G_1[/math] — тривиальный граф. В таком случае возьмем любую укладку [math]G_1[/math] на плоскости. Пусть [math]u\in G_2[/math] — вершина инцидентную [math]e[/math]. Сожмем часть плоскости, содержащую укладку [math]G_1[/math], так, чтобы она вмещалась в одну из граней укладки [math]G_2[/math] смежная с [math]u[/math]. Проведем жорднанову кривую, соответствующую ребру [math]e[/math], от вершины [math]u[/math] к инцидентоной [math]e[/math] вершине графа [math]G_1[/math] так, чтобы она не пересекалась с укладками [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math]. Мы получили укладку графа [math]G'[/math] на сфере, а значит (по лемме I) [math]G'[/math] планарен, следовательно предположение индукции верно.

Рассматривая в качестве [math]T[/math] граф к.р.д. [math]G[/math] получаем что [math]G[/math] - планарен.
[math]\triangleleft[/math]

Замечание. Доказательство теоремы непосредственно задает способ укладки графа [math]G[/math] из укладок его к.р.д.

Источники

Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

H. Whitney — Non-separable and planar graphs — Trans. Amer. Math. Soc., 1932.