Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Обратная перестановка)
(Группа перестановок)
Строка 79: Строка 79:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex> M </tex> - множество, <tex> M = \{ x, y, z, ... \} </tex>, и на этом множестве задана бинарная операция <tex> \circ </tex>, такая, что для любого <tex> x, y \in M: x \circ y = z \in M </tex>.
+
Дано множество <tex> M </tex> и бинарная операция на нём <tex> \circ </tex>, такая, что для любого <tex> x, y \in M: x \circ y = z \in M </tex>.
  
 
Тогда группой называется алгебраическая структура, удовлетворяющая следующим свойствам:
 
Тогда группой называется алгебраическая структура, удовлетворяющая следующим свойствам:
  
# <tex> (g_1 \circ g_2) \circ g_3 = g_1 \circ (g_2 \circ g_3) </tex> - ассоциативность соответствующей бинарной операции.
+
# <tex> (g_1 \circ g_2) \circ g_3 = g_1 \circ (g_2 \circ g_3) </tex> ассоциативность соответствующей бинарной операции.
 
# Существование нейтрального элемента <tex> e </tex> относительно операции <tex> \circ </tex>, такого, что для любого <tex> g \in M: g \circ e = e \circ g = g </tex>
 
# Существование нейтрального элемента <tex> e </tex> относительно операции <tex> \circ </tex>, такого, что для любого <tex> g \in M: g \circ e = e \circ g = g </tex>
# Существование обратного элемента <tex> g^{-1} </tex>, такого, что для любого <tex> g \in M </tex>существует <tex> g^{-1} \in M: g \circ g^{-1} = g^{-1} \circ g = e </tex>
+
# Для любого <tex> g \in M </tex>существует <tex> g^{-1} \in M</tex> называемый обратным элементом, такой, что <tex>: g \circ g^{-1} = g^{-1} \circ g = e </tex>
  
 
}}
 
}}

Версия 08:39, 10 декабря 2011

Умножение перестановок

Определение:
Умножением (композицией) перестановок называется перестановка, получающаяся по следующему правилу: [math] (a \circ b)_i = a_{b_i} [/math]


Утверждение:
Умножение перестановок ассоциативно: [math] (a \circ (b \circ c))_i = ((a \circ b) \circ c)_i [/math]
[math]\triangleright[/math]

Доказывается простым раскрытием скобок.

  1. [math] (a \circ (b \circ c))_i = a_{(b \circ c)_i} = a_{b_{c_i}} [/math]
  2. [math] ((a \circ b) \circ c)_i = (a \circ b)_{c_i} = a_{b_{c_i}} [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Пример

[math] \varphi(1)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 5 & 6 & 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] \varphi(2)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 1 & 3 & 6 & 5 & 2 \end{bmatrix} [/math]

[math] (\varphi(1) \circ \varphi(2))_i=[/math] [math] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 5 & 6 & 3 & 1 & 4 \end{bmatrix} \circ[/math] [math] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 1 & 3 & 6 & 5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 3 & 6 & 5 & 2 \\ 3 & 2 & 6 & 4 & 1 & 5 \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 1 & 3 & 6 & 5 & 2 \end{bmatrix} =[/math] [math]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 6 & 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}[/math]

Обратная перестановка

Определение:
Обратной перестановкой [math] a^{-1} [/math] к перестановке [math] a [/math] называется такая перестановка, что: [math] (a^{-1} \circ a)_i = (a \circ a^{-1})_i = i [/math]


Определение:
Перестановка, равная своей обратной, называется инволюцией: [math] a_i = a^{-1}_i \Rightarrow (a \circ a ^{-1})_i = (a \circ a)_i = a_{a_i} = i [/math]


Получение обратной перестановки

Пусть в массиве p[i] содержится перестановка, тогда в массиве op[i], после выполнения алгоритма, будет содержаться обратная перестановка.

for(i = 0; i < n; i++)
{
       for(j = 0; j < n; j++)
       {
           if(p[j] == i + 1) 
           {
               op[i] = j + 1;
           }
       }
}

При представлении перестановки в виде циклов обратную перестановку можно легко получить, инвертировав все ребра в циклах.

[math] a = (1, 3, 2), (4, 5) \Rightarrow a^{-1} = (1, 2, 3), (4, 5) [/math]

Группа перестановок

Определение:
Дано множество [math] M [/math] и бинарная операция на нём [math] \circ [/math], такая, что для любого [math] x, y \in M: x \circ y = z \in M [/math].

Тогда группой называется алгебраическая структура, удовлетворяющая следующим свойствам:

  1. [math] (g_1 \circ g_2) \circ g_3 = g_1 \circ (g_2 \circ g_3) [/math] — ассоциативность соответствующей бинарной операции.
  2. Существование нейтрального элемента [math] e [/math] относительно операции [math] \circ [/math], такого, что для любого [math] g \in M: g \circ e = e \circ g = g [/math]
  3. Для любого [math] g \in M [/math]существует [math] g^{-1} \in M[/math] называемый обратным элементом, такой, что [math]: g \circ g^{-1} = g^{-1} \circ g = e [/math]


Утверждение:
Множество перестановок с [math] n [/math] элементами с операцией умножения является группой (часто группу перестановок называют симметрической, и обозначают [math] S_n [/math]).
[math]\triangleright[/math]
Свойства 1 и 3 доказаны выше, а в качестве нейтрального элемента выступает тождественная перестановка ([math] \pi_i = i [/math]).
[math]\triangleleft[/math]

Мощность множества симметрических групп: [math]\left\vert S_n \right\vert = n![/math]

Теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа изоморфна подгруппе некоторой группе перестановок.

Источники и литература