Редактирование: Универсальное семейство хеш-функций

==Определение==

Качественная хеш-функция удовлетворяет (приближенно) условию простого равномерного [[Хеширование|хеширования]]: для каждого ключа, независимо от хеширования других ключей, равновероятно помещение его в любую из <tex> m </tex> ячеек. Но это условие обычно невозможно проверить, так как распределение вероятностей, с которыми поступают входные данные, как правило, неизвестно. К тому же, вставляемые ключи могут и не быть независимыми. Если наш противник будет умышленно выбирать ключи для хеширования при помощи конкретной хеш-функции, то при некоторых реализациях хеш-таблиц может получиться так, что все ключи будут записаны в одну и ту же ячейку таблицы, что приведет к среднему времени выборки <tex> \Theta(n) </tex>. Таким образом,  любая фиксированная хеш-функция становится уязвимой. И единственный эффективный выход из данной ситуации {{---}} случайный выбор хеш-функции. Такой подход называется универсальным хешированием. Он гарантирует хорошую производительность в среднем, вне зависимости от данных, выбранных нашим противником.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> H </tex> {{---}} конечное множество хеш-функций, которые отображают пространство ключей <tex>\ U </tex> в диапазон <tex> \{0, 1, 2, .. , m - 1\} </tex>.
Такое множество называется '''универсальным''', если для каждой пары ключей <tex> k, l \in U, (k\ne l)</tex> количество хеш-функций <tex> h \in H </tex>, для которых <tex> h(k) = h(l) </tex> не превышает <tex dpi = "180"> \frac{|H|}{m} </tex>.
}}

Иными словами, при случайном выборе хеш-функции из <tex> H </tex> вероятность коллизии между различными ключами <tex> k, l </tex> не превышает вероятности совпадения двух случайным образом выбранных хеш-значений из множества <tex> \{0, 1, 2, .. , m - 1\} </tex>, которая равна <tex dpi = "180"> \frac{1}{m} </tex>.

==Построение универсального множества хеш-функций==
{{Теорема
|statement=
Множество хеш функций <tex>H_{p,m}=\{h_{a,b}:a\in Z_p^*,b\in Z_p\}</tex>, где <tex>h_{a,b}(k)=((ak+b)\mod p)\mod m</tex>, <tex>Z_p^*=\{1,2,...,p-1\}</tex>, <tex>Z_p=\{0,1,...,p-1\}</tex>, <tex>p</tex> {{---}} простое число, является универсальным.
|proof=
Рассмотрим <tex>k,l\in Z_p:k\ne l</tex>. Пусть для данной хеш-функции <tex>h_{a,b}</tex> 

<tex>r=(ak+b)\mod p</tex>,

<tex>s=(al+b)\mod p</tex>.

<tex>r\ne s</tex>, так как <tex>r-s\equiv a(k-l)\pmod p</tex>, а <tex>p</tex> {{---}} простое число, <tex>a</tex> и <tex>(k-l)</tex> не равны нулю по модулю <tex>p</tex>. Значит, произведение <tex>r</tex> и <tex>s</tex> также отлично от нуля по модулю <tex>p</tex>. Таким, образом, коллизии "по модулю <tex>p</tex>" отсутствуют. Более того, каждая из <tex>p(p-1)</tex> возможных пар <tex>(a,b)</tex>, приводят к различным парам <tex>(r,s):r\ne s</tex>. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть возможность однозначного определения <tex>a</tex> и <tex>b</tex> по заданным <tex>r</tex> и <tex>s</tex>:

<tex>a=\left((r-s)((k-l)^{-1}\mod p)\right)\mod p,\ b=(r-ak)\mod p</tex>.

Поскольку имеется только <tex>p(p-1)</tex> возможных пар <tex>(r,s):r\ne s</tex>, то имеется взаимнооднозначное соответствие между парами <tex>(a,b)</tex> и парами <tex>(r,s):r\ne s</tex>. Таким образом, для любых <tex>k,l</tex> при равномерном случайном выборе пары <tex>(a,b)</tex> из <tex>Z_p^*\times Z_p</tex>, получаемая в результате пара <tex>(r,s)</tex> может быть с равной вероятностью любой из пар с отличающимися значениями по модулю <tex>p</tex>.

Отсюда следует, что вероятность того, что различные ключи <tex>k,l</tex> приводят к коллизии, равна вероятности того, что <tex>r\equiv s\pmod m</tex> при произвольном выборе отличающихся по модулю <tex>p</tex> значений <tex>r</tex> и <tex>s</tex>. Для данного <tex>r</tex> имеется <tex>p-1</tex> возможное значение <tex>s</tex>. При этом число значений <tex>s:s\ne r</tex> и <tex>s\equiv r\pmod p</tex>, не превышает

<tex dpi = "150">\left\lceil \frac{p}{m}\right\rceil-1\le\frac{p+m-1}{m}-1=\frac{p-1}{m}</tex>.

Вероятность того, что <tex>s</tex> приводит к коллизии с <tex>r</tex> при приведении по модулю <tex>m</tex>, не превышает <tex dpi = "150">\frac{p-1}{m}\cdot\frac{1}{p-1}=\frac{1}{m}</tex>.

Значит, <tex dpi = "150">\forall k\ne l\in Z_p\ P(h_{a,b}(k)=h_{a,b}(l))\le\frac{1}{m}</tex>, что означает, что множество хеш-функций <tex>H_{p,m}</tex> является универсальным.
}}

== Попарная независимость ==

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> H </tex> {{---}} универсальное семейство хеш-функций.
Говорят что оно обладает свойством '''попарной независимости''', если при фиксированных <tex> x, y</tex>  <tex> (0 \le x, y \le m-1)</tex> для каждой пары ключей <tex> k, l \in U (k\ne l) </tex>  вероятность того, что <tex> h(k) = x </tex>  и  <tex> h(l) = y </tex>, равна  <tex dpi = "150"> \frac{1}{m^2} + o(\frac{1}{m^2}) </tex>.
}}

==Построение попарно независимого множества хеш-функций==
{{Теорема
|statement=
Семейство хеш функций, описанное выше, также является попарно независимым.
|proof=
Для функции <tex>h_{a,b}</tex> получаем

<tex>x \equiv (ak+b)\bmod p \bmod m</tex>

<tex>y \equiv (al+b)</tex> <tex>mod</tex> <tex>p</tex> <tex>mod</tex> <tex>m</tex>

Выразим отсюда <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. Вычтя из первого уравнения второе, получим:

<tex>x - y = a(k - l)</tex> <tex>mod</tex> <tex>p</tex> <tex>mod</tex> <tex>m</tex>

Теперь сначала первое домножим на <tex>l</tex>, и второе на <tex>k</tex>. Вычитаем:

<tex>lx - ky = b(l - k)</tex> <tex>mod</tex> <tex>p</tex> <tex>mod</tex> <tex>m</tex>

Запишем иначе:

<tex>x - y \equiv a(k - l)+im</tex>  <tex>\pmod p</tex>

<tex>lx - ky \equiv b(l - k)+jm</tex>  <tex>\pmod p</tex>,

где <tex dpi = "135"> 0 \le i, j < \lfloor \frac{p}{m} \rfloor </tex>. 

Стоит отметить, что эти равенства мы считаем выполненными, если при данных <tex>a, b, x</tex> и <tex>y</tex> и '''каких-либо''' <tex>i</tex> и <tex>j</tex> они будут верными (исходя из того как мы их получили).

<tex>k \ne l</tex>, <tex>p</tex> {{---}} простое, тогда

<tex>a \equiv (k - l)^{-1}(x - y - im)</tex>   <tex>\pmod p</tex>

<tex>b \equiv (l - k)^{-1}(lx - ky - jm)</tex>   <tex>\pmod p</tex>

Теперь заметим, что <tex>a</tex> принимает <tex>p</tex> различных значений, а <tex>i</tex> {{---}} <tex dpi = "130">\lfloor \frac{p}{m} \rfloor</tex> значений. Понятно, что для заданных <tex>x, y</tex> и <tex>a</tex> с вероятностью лишь  <tex dpi = "130"> \frac{1}{m} </tex>  найдётся <tex>i</tex>, обращающий первое равенство в тождество; аналогично и со вторым равенством.   

Остаётся подытожить наши выкладки.

<tex>P( [x \equiv (ak+b)</tex> <tex>mod</tex> <tex>p</tex> <tex>mod</tex> <tex>m]</tex>  <tex>\wedge</tex>   <tex>[y \equiv (al+b)</tex> <tex>mod</tex> <tex>p</tex> <tex>mod</tex> <tex>m])</tex> 
<tex>=</tex>

<tex>=</tex>
<tex>P( [a \equiv (k - l)^{-1}(x - y - im)</tex>   <tex>\pmod p]</tex>  <tex>\wedge</tex>   <tex>[b \equiv (l - k)^{-1}(lx - ky - jm)</tex>   <tex>\pmod p])</tex> 
<tex>=</tex>

<tex>=</tex>
<tex>P( a \equiv (k - l)^{-1}(x - y - im)</tex>   <tex>\pmod p)</tex>  <tex>\cdot</tex>   <tex>P( b \equiv (l - k)^{-1}(lx - ky - jm)</tex>   <tex>\pmod p)</tex> 
<tex>=</tex>

<tex>=</tex>
<tex dpi = "130">(\frac{1}{m} + o(\frac{1}{m})) \cdot (\frac{1}{m} + o(\frac{1}{m})) = \frac{1}{m^2} + o(\frac{1}{m^2})</tex>

Переход к третьей строчке объясняется тем, что события, объединённые знаком <tex>\wedge</tex>, независимы.
}}

==Источники==

* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2005. — с. 294. — ISBN 5-8459-0857-4

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория:Хеширование]]