Упорядоченное множество — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Наивная реализация на массиве)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 49 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{Определение
+
'''Упорядоченное множество''' (англ. ''ordered set'') представляет собой коллекцию элементов, каждому из которых присваивается определенный ключ, отвечающий за порядок этого элемента в множестве. Бинарное отношение на упорядоченном множестве является [[отношение порядка|отношением порядка]].
|definition =
 
'''Упорядоченное множество''' <tex>Set</tex> представляет собой коллекцию элементов <tex>elem</tex>, каждому из которых присваивается определенный ключ <tex>key</tex>, отвечающий за порядок этого элемента в множестве. Бинарное отношение <tex>R</tex> на упорядоченном множестве <tex>Set</tex> является [[отношение порядка|отношением порядка]].
 
}}
 
''Вполне упорядоченным множеством'', которое явяется важнейшим частным случаем, называется упорядоченное множество, каждое непустое подмножество которого содержит минимальный элемент.
 
  
==Операции над упорядоченным множеством==
+
'''Вполне упорядоченным множеством''', которое явяется важнейшим частным случаем, называется упорядоченное множество, каждое непустое подмножество которого содержит минимальный элемент.
Над упорядоченным множеством <tex>Set</tex> заданы следующие операции:
 
=== Insert ===
 
Функция <tex>\mathrm {insert(Set, elem, elemKey)}</tex> добавляет заданный элемент <tex>elem</tex>, имеющий ключ <tex>elemKey</tex>, в подходящее место множества <tex>Set</tex> (сохраняя свойство упорядоченности).
 
  
=== Delete ===
+
== Операции над упорядоченным множеством ==
Функция <tex>\mathrm {delete(Set, key)}</tex> удаляет элемент, имеющий ключ <tex>key</tex> (сохраняя свойство упорядоченности).
+
Над упорядоченным множеством <tex>set</tex> заданы следующие операции:
 +
* <tex>\mathrm {insert(set, elem)}</tex> {{---}} добавляет заданный элемент <tex>elem</tex> в подходящее место множества <tex>set</tex> (сохраняя свойство упорядоченности),
 +
* <tex>\mathrm {delete(set, elem)}</tex> {{---}} удаляет элемент <tex>elem</tex> (сохраняя свойство упорядоченности),
 +
* <tex>\mathrm {search(set, elem)}</tex> {{---}} получает на вход искомое значение элемента <tex>elem</tex> и возвращает <tex>true</tex> при наличии элемента в множестве или <tex>false</tex> в противном случае,
 +
* <tex>\mathrm {minimum(set)}</tex> {{---}} возвращает минимальный элемент множества <tex>set</tex>,
 +
* <tex>\mathrm {maximum(set)}</tex> {{---}} возвращает максимальный элемент множества <tex>set</tex>,
 +
* <tex>\mathrm {predecessor(set, elem)}</tex> {{---}} возвращает элемент, стоящий перед элементом <tex>elem</tex> множества <tex>set</tex>.
 +
* <tex>\mathrm {successor(set, elem)}</tex> {{---}} возвращает элемент, стоящий после элемента <tex>elem</tex> множества <tex>set</tex>.
  
=== Search ===
+
== Наивная реализация на массиве ==
Функция <tex>\mathrm {search(Set, key)}</tex>, которая получает на вход искомый ключ <tex>key</tex>, и возвращает указатель на элемент множества <tex>Set</tex> или специальное значение <tex>null</tex>, если такого элемента нет.
+
Упорядоченное множество <tex>s</tex>, содержащее <tex>n</tex> элементов, можно реализовать с помощью [[Сортировки | отсортированного]] массива <tex>elements[0..n-1]</tex>.
  
=== Minimum ===
+
Рассмотрим реализацию на примере отсортированного по возрастанию целочисленного массива.
Функция <tex>\mathrm {minimum(Set)}</tex> возвращает указатель на минимальный элемент множества <tex>Set</tex>.
 
  
=== Maximum ===
 
Функция <tex>\mathrm {maximum(Set)}</tex> возвращает указатель на максимальный элемент множества <tex>Set</tex>.
 
 
=== Predecessor ===
 
Функция <tex>\mathrm {predecessor(Set, elem)}</tex> возвращает указатель на элемент, стоящий перед элементом <tex>elem</tex> множества <tex>Set</tex>.
 
 
=== Successor ===
 
Функция <tex>\mathrm {successor(Set, elem)}</tex> возвращает указатель на элемент, стоящий после элемента <tex>elem</tex> множества <tex>Set</tex>.
 
 
==Наивная реализация на массиве==
 
Пусть <tex>Set</tex> — упорядоченное множество (массив), состоящее из <tex>n</tex> элементов. В
 
<tex>Set[1, i]</tex> хранятся элементы множества, в <tex>Set[2, i]</tex> — их ключи.
 
 
Функция <tex>\mathrm {insert(Set, elem, elemKey)}</tex>:
 
 
<code>
 
<code>
  '''func''' insert(Set, elem, elemKey):
+
  '''struct''' Set<T>:
    n = n + 1
+
  '''int''' n                           <font color=green>// количество элементов множества</font color=green>
    Array.Resize(Set[2], n)
+
  '''T'''[n] elements                    <font color=green>// массив элементов множества типа ''T''</font color=green>
    i = n - 1
 
    Set[1, i] = Set[1, i - 1]
 
    Set[2, i] = Set[2, i - 1]
 
    '''while''' elemKey < Set[2, i - 1]
 
        Set[1, i - 1] = Set[1, i - 2]
 
        Set[2, i - 1] = Set[2, i - 2]
 
        i = i - 1
 
    Set[1, i] = elem
 
    Set[2, i] = elemKey
 
 
</code>
 
</code>
  
Функция <tex>\mathrm {delete(Set, key)}</tex>:
+
=== '''insert''' ===
 
<code>
 
<code>
  '''func''' delete(Set, key):
+
  '''func''' insert(Set<T> s, T elem):
     i = 0
+
     s.n = s.n + 1                                    <font color=green>// Увеличиваем количество элементов множества на единицу,</font color=green>
     '''while''' Set[2,i] < key && i < n
+
                                                      <font color=green>// увеличиваем размер массива с элементами множества на единицу.</font color=green>
        i = i + 1
+
     s.elements[s.n - 1] = elem                      <font color=green>// Вставляем ''elem'' в конец массива</font color=green>
     '''if''' i < n
+
     '''int''' i = s.n - 1
        '''if''' i < n - 1
+
    '''while''' s.elements[i] < s.elements[i - 1]         <font color=green>// Сортируем массив,</font color=green>
            Set[1, j] = Set[1, j + 1]
+
        swap(s.elements[i], s.elements[i - 1])      <font color=green>// пока ''elem'' не окажется в нужном месте.</font color=green>
            Set[2, j] = Set[2, j + 1]
 
    n = n - 1
 
    Array.Resize(Set[2], n)
 
 
</code>
 
</code>
 +
Время выполнения {{---}} <tex>O(n)</tex>.
  
Функция <tex>\mathrm {search(Set, key)}</tex>:
+
=== '''delete''' ===
 
<code>
 
<code>
  '''int''' search(Set, key):
+
  '''func''' delete(Set<T> s, T elem):
     '''for''' i = 0 '''to''' n - 1
+
     '''int''' i = 0                                         <font color=green>// Устанавливаем счетчик на первый элемент.</font color=green>
         '''if''' Set[2, i] == key
+
    '''while''' i < s.n '''and''' s.elements[i] != elem          <font color=green>// Ищем индекс элемента ''elem''.</font color=green>
            '''return''' Set[1, i]
+
         i++
    '''return''' null
+
    '''if''' i != s.n                                      <font color=green>// Если элемент найден, то</font color=green>
 +
        '''for''' j = i '''to''' s.n - 2                          <font color=green>// сдвигаем все элементы массива, большие ''elem'',</font color=green>
 +
            s.elements[j] = s.elements[j + 1]        <font color=green>// на одну позицию влево (elem удаляется).</font color=green>
 +
        s.n = s.n - 1                                <font color=green>// Уменьшаем число элементов массива на единицу.</font color=green>
 
</code>
 
</code>
 +
Время выполнения {{---}} <tex>O(n)</tex>.
 +
 +
=== '''search''' ===
 +
Для нахождения результата используем [[Целочисленный двоичный поиск|бинарный поиск]].
  
Функция <tex>\mathrm {minimum(Set)}</tex>:
 
 
<code>
 
<code>
  '''int''' minimum(Set):
+
  '''bool''' search(Set<T> s, T elem):
     '''return''' Set[1, 0]
+
    '''int''' i = binSearch(s.elements, elem)
 +
     '''return''' s.elements[i] == elem                        <font color=green>// Сравниваем найденное значение с искомым...</font color=green>
 
</code>
 
</code>
 +
Время выполнения {{---}} <tex>O(\log n)</tex>.
 +
 +
=== '''minimum''' ===
 +
Первый элемент множества минимальный, так как массив отсортирован по возрастанию.
  
Функция <tex>\mathrm {maximum(Set)}</tex>:
 
 
<code>
 
<code>
  '''int''' maximum(Set):
+
  '''T''' minimum(Set<T> s):
     '''return''' Set[1, n - 1]
+
     '''T''' min = s.elements[0]
 +
    '''return''' min
 
</code>
 
</code>
 +
Время выполнения {{---}} <tex>O(1)</tex>.
 +
 +
=== '''maximum''' ===
 +
Выполняется аналогично операции <tex>\mathrm {minimum(set)}</tex>.
  
Функция <tex>\mathrm {predecessor(Set, elem)}</tex>:
 
 
<code>
 
<code>
  '''int''' predecessor(Set, elem):
+
  '''T''' maximum(Set<T> s):
     '''for''' i = 1 '''to''' n - 1
+
     '''T''' max = s.elements[s.n - 1]
        '''if''' elem == Set[1, i]
+
     '''return''' max
            '''return''' Set[1, i - 1]
 
     '''return''' null
 
 
</code>
 
</code>
 +
Время выполнения {{---}} <tex>O(1)</tex>.
 +
 +
=== '''successor''' ===
 +
В операции используется [[Целочисленный двоичный поиск|правосторонний бинарный поиск]], который вернет такое <tex>i</tex>, что <tex> s.elements[i - 1]\leqslant elem < s.elements[i] </tex>.
  
Функция <tex>\mathrm {successor(Set, elem)}</tex>:
 
 
<code>
 
<code>
  '''int''' successor(Set, elem):
+
  '''T''' successor(Set<T> s, T elem):
     '''for''' i = 0 '''to''' n - 2
+
     '''if''' elem > s.elements[s.n - 1]                            <font color=green>// Если элемент больше максимального,</font color=green>
        '''if''' elem == Set[1, i]
+
        '''return''' ''null''                                         <font color=green>// возвращаем ''null''.</font color=green>
            '''return''' Set[1, i + 1]
+
    '''else if''' elem < s.elements[0]
     '''return''' null
+
        '''return''' min(s)                                        <font color=green>// Если элемент меньше минимального, возвращаем минимальный элемент.</font color=green>
 +
    '''int''' i = binSearch(s.elements, elem)                      <font color=green>// Иначе ищем элемент, больший ''elem''.</font color=green>
 +
     '''return''' s.elements[i]
 
</code>
 
</code>
 +
Время выполнения {{---}} <tex>O(\log n)</tex>. Операция <tex>\mathrm{predecessor}</tex> выполняется аналогичным образом.
 +
 +
== Замечания ==
 +
* В случае, когда упорядоченность элементов коллекции не важна, возможно использование [[Хеш-таблица|''хешей'']].
  
В случае, когда упорядоченность элементов коллекции не важна, возможно использование [[Хеш-таблица|''хешей'']].
+
== Примеры ==
 +
* Пустое множество <tex>  \varnothing </tex>,
 +
* множество натуральных чисел <tex>  \mathbb N </tex>,
 +
* множество целых чисел  <tex>  \mathbb Z </tex>,
 +
* строки, отсортированные в [[лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
  
==Примеры==  
+
== Источники информации ==
* Графы;
+
* Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / — 1-е изд. — Пер. с англ под ред. А. Шеня. — М.: МЦНМО, 2002.—960 с. — ISBN 5-900916-37-5
* Пустое множество <tex>  \varnothing </tex>;
+
* Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 368 с.
* Множество натуральных чисел <tex>  \mathbb N </tex>.
+
* Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Упорядоченное_множество Википедия — Упорядоченное множество]
  
== Литература ==
+
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
# Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / — 1-е изд. — Пер. с англ под ред. А. Шеня. — М.: МЦНМО, 2002.—960 с. — ISBN 5-900916-37-5
+
[[Категория:Деревья поиска]]
# Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 368 с.
+
[[Категория: Структуры данных]]
# Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
 

Текущая версия на 19:25, 4 сентября 2022

Упорядоченное множество (англ. ordered set) представляет собой коллекцию элементов, каждому из которых присваивается определенный ключ, отвечающий за порядок этого элемента в множестве. Бинарное отношение на упорядоченном множестве является отношением порядка.

Вполне упорядоченным множеством, которое явяется важнейшим частным случаем, называется упорядоченное множество, каждое непустое подмножество которого содержит минимальный элемент.

Операции над упорядоченным множеством

Над упорядоченным множеством [math]set[/math] заданы следующие операции:

  • [math]\mathrm {insert(set, elem)}[/math] — добавляет заданный элемент [math]elem[/math] в подходящее место множества [math]set[/math] (сохраняя свойство упорядоченности),
  • [math]\mathrm {delete(set, elem)}[/math] — удаляет элемент [math]elem[/math] (сохраняя свойство упорядоченности),
  • [math]\mathrm {search(set, elem)}[/math] — получает на вход искомое значение элемента [math]elem[/math] и возвращает [math]true[/math] при наличии элемента в множестве или [math]false[/math] в противном случае,
  • [math]\mathrm {minimum(set)}[/math] — возвращает минимальный элемент множества [math]set[/math],
  • [math]\mathrm {maximum(set)}[/math] — возвращает максимальный элемент множества [math]set[/math],
  • [math]\mathrm {predecessor(set, elem)}[/math] — возвращает элемент, стоящий перед элементом [math]elem[/math] множества [math]set[/math].
  • [math]\mathrm {successor(set, elem)}[/math] — возвращает элемент, стоящий после элемента [math]elem[/math] множества [math]set[/math].

Наивная реализация на массиве

Упорядоченное множество [math]s[/math], содержащее [math]n[/math] элементов, можно реализовать с помощью отсортированного массива [math]elements[0..n-1][/math].

Рассмотрим реализацию на примере отсортированного по возрастанию целочисленного массива.

struct Set<T>:
  int n                            // количество элементов множества
  T[n] elements                    // массив элементов множества типа T

insert

func insert(Set<T> s, T elem):
    s.n = s.n + 1                                    // Увеличиваем количество элементов множества на единицу,
                                                     // увеличиваем размер массива с элементами множества на единицу.
    s.elements[s.n - 1] = elem                       // Вставляем elem в конец массива
    int i = s.n - 1
    while s.elements[i] < s.elements[i - 1]          // Сортируем массив,
        swap(s.elements[i], s.elements[i - 1])       // пока elem не окажется в нужном месте.

Время выполнения — [math]O(n)[/math].

delete

func delete(Set<T> s, T elem):
    int i = 0                                         // Устанавливаем счетчик на первый элемент.
    while i < s.n and s.elements[i] != elem           // Ищем индекс элемента elem.
        i++
    if i != s.n                                       // Если элемент найден, то
        for j = i to s.n - 2                          // сдвигаем все элементы массива, большие elem,
            s.elements[j] = s.elements[j + 1]         // на одну позицию влево (elem удаляется).
        s.n = s.n - 1                                 // Уменьшаем число элементов массива на единицу.

Время выполнения — [math]O(n)[/math].

search

Для нахождения результата используем бинарный поиск.

bool search(Set<T> s, T elem):
    int i = binSearch(s.elements, elem)
    return s.elements[i] == elem                         // Сравниваем найденное значение с искомым...

Время выполнения — [math]O(\log n)[/math].

minimum

Первый элемент множества минимальный, так как массив отсортирован по возрастанию.

T minimum(Set<T> s):
    T min = s.elements[0]
    return min

Время выполнения — [math]O(1)[/math].

maximum

Выполняется аналогично операции [math]\mathrm {minimum(set)}[/math].

T maximum(Set<T> s):
    T max = s.elements[s.n - 1]
    return max

Время выполнения — [math]O(1)[/math].

successor

В операции используется правосторонний бинарный поиск, который вернет такое [math]i[/math], что [math] s.elements[i - 1]\leqslant elem \lt s.elements[i] [/math].

T successor(Set<T> s, T elem):
    if elem > s.elements[s.n - 1]                            // Если элемент больше максимального,
        return null                                          // возвращаем null.
    else if elem < s.elements[0]
        return min(s)                                        // Если элемент меньше минимального, возвращаем минимальный элемент.
    int i = binSearch(s.elements, elem)                      // Иначе ищем элемент, больший elem.
    return s.elements[i]

Время выполнения — [math]O(\log n)[/math]. Операция [math]\mathrm{predecessor}[/math] выполняется аналогичным образом.

Замечания

  • В случае, когда упорядоченность элементов коллекции не важна, возможно использование хешей.

Примеры

  • Пустое множество [math] \varnothing [/math],
  • множество натуральных чисел [math] \mathbb N [/math],
  • множество целых чисел [math] \mathbb Z [/math],
  • строки, отсортированные в лексикографическом порядке.

Источники информации

  • Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / — 1-е изд. — Пер. с англ под ред. А. Шеня. — М.: МЦНМО, 2002.—960 с. — ISBN 5-900916-37-5
  • Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 368 с.
  • Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
  • Википедия — Упорядоченное множество