Изменения

[[Основные определения, связанные со строками#string | Слово]] <tex>w = \beta_1 \ldots \beta_m</tex> [[Основные определения, связанные со строками#deflanguage | языка]] <tex>L</tex> называется '''неразложимым''' (англ. ''indecomposable word'') в этом языке, если никакое его непустое подслово <tex> \beta_i \beta_{i+1} \ldots \beta_{i+l},\, 1 \leqslant i,\, i + l \leqslant m,\, l \geqslant 0,</tex> отличное от самого слова <tex>w,</tex> не принадлежит языку <tex>L</tex>.

Обозначим через <tex>n(t) = n_0 + n_1 t + n_2 t^2 + \ldots</tex> [[Производящая функция | '''производящую функцию''']] '''для числа неразложимых слов языка''' <tex>L</tex>, через <tex>L(s) = l_0 + l_1 s + l_2 s^2 + \ldots</tex> — [[Язык Дика#def3 | '''производящую функцию для языка''' ]] <tex>L</tex> .

<tex> n_k\, \tilde{l_1l}_1^k} + n_{k-1}\, \lambda_{k-1} + \ldots + n_1\, \lambda_1 = \tilde{l_kl}_k. </tex>

Здесь через <tex>\lambda_i, \, i = 2, \ldots, k-1, </tex> обозначены коэффиценты при <tex>s^{k}</tex> в производящих функциях <tex> \tilde{l}^i} (s) </tex>. Уравнение

<tex> n_k\, \tilde{l_1l}_1^k} + n_{k-1}\, \lambda_{k-1} + \ldots + n_1\, \lambda_1 = \tilde{l_kl}_k. </tex>

— линейное уравнение относительно <tex> n_k </tex>. Коэффициент при <tex> n_k </tex> в нем равен <tex>\tilde{l_1l}_1^k} </tex> и, поусловию теоремы, отличен от нуля. Поэтому <tex> n_k </tex> однозначно определяется из уравнения

<tex> n_k\, \tilde{l_1l}_1^k} + n_{k-1}\, \lambda_{k-1} + \ldots + n_1\, \lambda_1 = \tilde{l_kl}_k. </tex>

С другой стороны, если задана функция <tex>n(t)</tex>, то мы должны положить <tex>\tilde{l_1l} _1 = n_0</tex>. Коэффициенты <tex>\tilde{l_kl} _k </tex> определяются теперь равенством <tex> n_k\, \tilde{l_1l}_1^k} + n_{k-1}\, \lambda_{k-1} + \ldots + n_1\, \lambda_1 = \tilde{l_kl}_k, </tex> так как все оэффициенты <tex>\lambda_i</tex> являются многочленами от <tex>\ \tilde{l_1}l}_1, \ldots, \tilde{l_l}_{k-1}} </tex>.