Редактирование: Уравнение Пелля

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 +
{{Требует доработки
 +
|item1=(Исправлено)Надо написать доказательство существования решения уравнения Пелля с помощью цепных дробей. Это доказательство можно перенести в отдельную статью.
 +
}}
 +
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Уравнение вида <tex>x^2-dy^2=1</tex>, где <tex>d\in\mathbb{N}</tex> не является квадратом, называется '''уравнением Пелля'''.
+
Уравнение вида <tex>x^2-dy^2=1</tex>, где <tex>d\in\mathbb{N}</tex> не является квадратом, называется уравнением Пелля
Как правило, стоит задача поиска всех целых корней этого уравнения при данном <tex>d</tex>.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 12: Строка 15:
 
Рассматриваем <tex>x,y>0</tex>, остальные корни получатся из симметрии. Так как <tex>\sqrt{d}\geqslant 1</tex>, то <tex>x>y>0</tex>.
 
Рассматриваем <tex>x,y>0</tex>, остальные корни получатся из симметрии. Так как <tex>\sqrt{d}\geqslant 1</tex>, то <tex>x>y>0</tex>.
 
<tex>x+\sqrt{d}y>2y</tex>. Следовательно <tex>1=x^2-dy^2=(x-\sqrt{d}y)(x+\sqrt{d}y)>(x-\sqrt{d}y)2y</tex>. Разделим обе части на <tex>2y^2</tex> получим :
 
<tex>x+\sqrt{d}y>2y</tex>. Следовательно <tex>1=x^2-dy^2=(x-\sqrt{d}y)(x+\sqrt{d}y)>(x-\sqrt{d}y)2y</tex>. Разделим обе части на <tex>2y^2</tex> получим :
<tex>\frac{x}{y}-\sqrt{d} < \frac{1}{2y^2}</tex>. Значит по [[Цепные дроби как приближение к числу#contFracCrit|теореме о приближении]] <tex>\frac{x}{y}</tex> является подходящей дробью для <tex>\sqrt{d}</tex>.
+
<tex>\frac{x}{y}-\sqrt{d} < \frac{1}{2y^2}</tex>. Значит по теореме о приближении <tex>\frac{x}{y}</tex> является подходящей дробью для <tex>\sqrt{d}</tex>.
 
}}
 
}}
 
== Существование решения уравнения Пелля ==
 
{{Теорема
 
|statement=
 
Уравнение Пелля имеет нетривиальное решение. Доказательство через цепные дроби.
 
|proof=
 
Разложим <tex>\sqrt{d}</tex> в цепную дробь. <tex> \sqrt{d}=a_0+\frac{1}{a_1+\cdots+\frac{1}{a_0+\sqrt{d}}}</tex>. Значит <tex>\sqrt{d}=\frac{P_{n-1}(a_0+\sqrt{d})+P_{n-2}}{Q_{n-1}(a_0+\sqrt{d})+Q_{n-2}}</tex>, отсюда <tex>P_{n-1}a_0+P_{n-1}\sqrt{d}+P_{n-2}=Q_{n-1}d+(Q_{n-1}a_0+Q_{n-2})\sqrt{d}</tex>. Отсюда получаем систему
 
<tex>\begin{cases}
 
P_{n-2}=Q_{n-1}d-P_{n-1}a_0 \\
 
Q_{n-2}=P_{n-1}-Q_{n-1}a_0 \\
 
\end{cases}</tex>
 
 
Умножаем первое на <tex>Q_{n-1}</tex> и вычитаем второе, умноженное на <tex>P_{n-1}</tex>. Получаем <tex>(-1)^{n+1}=P_{n-2}Q_{n-1}-Q_{n-2}P_{n-1}=Q_{n-1}^2d-P_{n-1}Q_{n-1}a_0-P_{n-1}^2+Q_{n-1}P_{n-1}a_0=Q_{n-1}^2d-P_{n-1}^2</tex>. Если <tex>n</tex> нечётное, то мы нашли решение. Пусть <tex>n</tex> чётное. Тогда <tex>x^2-dy^2=-1\Rightarrow (x-\sqrt{d}y)(x+\sqrt{d}y)=-1</tex>. <tex>(x-\sqrt{d}y)^2=x^2+dy^2-2xy\sqrt{d}</tex> в тоже время <tex>(x-\sqrt{d})^2=\frac{1}{(x+\sqrt{d}y)^2}=\frac{1}{(x^2+dy^2)+2xy\sqrt{d}}</tex>. В итоге получаем <tex>1=(x^2+dy^2-2xy\sqrt{d})(x^2+dy^2+2xy\sqrt{d})=(x^2+dy^2)^2-(2xy)^2d</tex>.
 
}}
 
 
== Другое доказательство существования решения ==
 
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Строка 52: Строка 39:
  
 
Поскольку <tex>a_1a_2-db_1b_2\equiv a_1^2-b_1^2d\equiv c\equiv 0(mod~|c|)</tex> и <tex>a_1b_2-a_2b_1\equiv a_1b_1-a_1b_1 \equiv 0(mod~|c|)</tex>, то числа <tex> x = \frac{a_1a_2-b_1b_2d}{c}</tex> и <tex>y = \frac{a_1b_2-a_2b_1}{c}</tex> целые. <tex>x^2-dy^2=(x-y\sqrt{d})(x+y\sqrt{d}) = \frac{a_2-b_2\sqrt{d}}{a_1-b_1\sqrt{d}}\frac{a_2+b_2\sqrt{d}}{a_1+b_1\sqrt{d}} = \frac{a_2^2-db_2^2}{a_1^2-db_1^2}=\frac{c}{c}=1</tex>. Поэтому <tex>(x, y) </tex> - искомое нетривиальное решение уравнения Пелля.
 
Поскольку <tex>a_1a_2-db_1b_2\equiv a_1^2-b_1^2d\equiv c\equiv 0(mod~|c|)</tex> и <tex>a_1b_2-a_2b_1\equiv a_1b_1-a_1b_1 \equiv 0(mod~|c|)</tex>, то числа <tex> x = \frac{a_1a_2-b_1b_2d}{c}</tex> и <tex>y = \frac{a_1b_2-a_2b_1}{c}</tex> целые. <tex>x^2-dy^2=(x-y\sqrt{d})(x+y\sqrt{d}) = \frac{a_2-b_2\sqrt{d}}{a_1-b_1\sqrt{d}}\frac{a_2+b_2\sqrt{d}}{a_1+b_1\sqrt{d}} = \frac{a_2^2-db_2^2}{a_1^2-db_1^2}=\frac{c}{c}=1</tex>. Поэтому <tex>(x, y) </tex> - искомое нетривиальное решение уравнения Пелля.
 +
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Уравнение Пелля имеет нетривиальное решение. Доказательство через цепные дроби.
 +
|proof=
 +
Разложим <tex>\sqrt{d}</tex> в цепную дробь. <tex> \sqrt{d}=a_0+\frac{1}{a_1+\cdots+\frac{1}{a_0+\sqrt{d}}}</tex>. Значит <tex>\sqrt{d}=\frac{P_{n-1}(a_0+\sqrt{d})+P_{n-2}}{Q_{n-1}(a_0+\sqrt{d})+Q_{n-2}}</tex>, отсюда <tex>P_{n-1}a_0+P_{n-1}\sqrt{d}+P_{n-2}=Q_{n-1}d+(Q_{n-1}a_0+Q_{n-2})\sqrt{d}</tex>. Отсюда получаем систему
 +
<tex>\begin{cases}
 +
P_{n-2}=Q_{n-1}d-P_{n-1}a_0 \\
 +
Q_{n-2}=P_{n-1}-Q_{n-1}a_0 \\
 +
\end{cases}</tex>
 +
 +
Умножаем первое на <tex>Q_{n-1}</tex> и вычитаем второе, умноженное на <tex>P_{n-1}</tex>. Получаем <tex>(-1)^{n+1}=P_{n-2}Q_{n-1}-Q_{n-2}P_{n-1}=Q_{n-1}^2d-P_{n-1}Q_{n-1}a_0-P_{n-1}^2+Q_{n-1}P_{n-1}a_0=Q_{n-1}^2d-P_{n-1}^2</tex>. Если <tex>n</tex> нечётное, то мы нашли решение. Пусть <tex>n</tex> чётное. Тогда <tex>x^2-dy^2=-1\Rightarrow (x-\sqrt{d}y)(x+\sqrt{d}y)=-1</tex>. <tex>(x-\sqrt{d}y)^2=x^2+dy^2-2xy\sqrt{d}</tex> в тоже время <tex>(x-\sqrt{d})^2=\frac{1}{(x+\sqrt{d}y)^2}=\frac{1}{(x^2+dy^2)+2xy\sqrt{d}}</tex>. В итоге получаем <tex>1=(x^2+dy^2-2xy\sqrt{d})(x^2+dy^2+2xy\sqrt{d})=(x^2+dy^2)^2-(2xy)^2d</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
[[Категория:Теория чисел]]
 
[[Категория:Теория чисел]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)