286
правок
Изменения
м
== Определение ==
Пусть задано [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] <tex>(\Omega, P)</tex>.
1) <tex dpi = "140">{Q_B}(\oslash)= 0</tex>
2) <tex dpi = "140">{Q_B}(\Omega) = 1</tex>
3) <tex dpi = "140">\forall A \subset \Omega \enskip {Q_B}(A) \geq 0</tex>
4) Если события <tex dpi = "140">A_1, A_2, ... A_n</tex> не пересекаются, то <tex dpi = "140">{Q_B}(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = {Q_B}(A_1) + {Q_B}(A_2) + ... + {Q_B}(A_n)</tex>
Доказательства (будут под спойлерами):
1) <tex dpi = "140">{Q_B}(\oslash) = \frac{P(\oslash \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\oslash)}{P(B)} = 0</tex>
2) <tex dpi = "140">{Q_B}(\Omega) = \sum_{\omega \in \Omega}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} = \sum_{\omega \in B}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} + \sum_{\omega \in \Omega \setminus B}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} =
\frac{P(B)}{P(B)} + \frac{P(\oslash)}{P(B)} = 1</tex>
3) <tex dpi = "140">\forall A \subset \Omega \enskip {Q_B}(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \geq 0</tex>, т. к. <tex dpi = "140">P(A \cap B) \geq 0</tex> и <tex dpi = "140">P(B) \geq 0</tex>
4) Пусть события <tex dpi = "140">A_1, A_2, ... A_n</tex> не пересекаются. Тогда: <tex dpi = "140">{Q_B}(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = \frac{P((A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) \cap B)}{P(B)} = \frac{P((A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) \cup ... \cup (A_n \cap B))}{P(B)} = </tex>
<tex dpi = "140"> = \frac{P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + ... + P(A_n \cap B))}{P(B)} = {Q_B}(A_1) + {Q_B}(A_2) + ... + {Q_B}(A_n)</tex>
Fix т.к.
{{Определение
|id = def1
|definition =
'''Условной вероятностьюУсловная вероятность''' (англ. ''conditional probability'' ): Пусть задано [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] <tex>(\Omega, P)</tex>. Условной вероятностью события <tex>A </tex> при условии, что произошло событие <tex>B</tex>, называется число<tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex dpi = "140">\fracdfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}</tex>, где <tex dpi = "140">A, B \subset \Omega</tex>.}}
== Замечания ==
* Если <tex dpi = "140">{P}(B) = 0</tex>, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
* Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
: <tex dpi = "140">{P}(A\cap B) = {P}(A \mid B) {P}(B)</tex>.* Условная вероятность является вероятностьюЕсли события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> [[Независимые события|независимые]], то есть функция <tex>{Q_BP}(A \mid B) = </tex>, заданная формулой: <tex dpi = "140">\dfrac{{Q_BP}(A\cap B)}{{P}(B) } = {P}(A \mid B ) </tex>,удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры:
== Пример ==
Пусть имеется <tex>12 </tex> шариков, из которых <tex>5 </tex> {{---}} чёрные, а <tex>7 </tex> {{---}} белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от <tex>1 </tex> до <tex>5</tex>, а белые {{---}} от <tex>6 </tex> до <tex>12</tex>. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.
Обозначим за <tex>A</tex> событие "достали чёрный шар" и за <tex>B</tex> событие "достали шар с чётным номером". Тогда <tex>P(B) = \fracdfrac{1}{2}</tex>, т. к. так как ровно половина шариков имеют чётный номер, а <tex>P(A \cap B) = \fracdfrac{2}{12} = \fracdfrac{1}{6}</tex>, т. к. так как только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.
Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна <tex dpi = "140">{P}(A \mid B) = \fracdfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = \fracdfrac{1}{3}</tex>
==См. также==
* [[Формула полной вероятности]]
* [[Формула Байеса]]
* [[Независимые события]]
== Источники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятностьВикипедия {{---}} Условная вероятность]
*''Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.'' Алгебра и начала математического анализа, стр. 284.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности]]
