Условная вероятность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 1: Строка 1:
== Определение ==
 
Пусть задано [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] <tex>(\Omega, P)</tex>.
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id = def1
 
|id = def1
 
|definition =
 
|definition =
'''Условной вероятностью''' события A при условии, что произошло событие B, называется число
+
'''Условной вероятность:''' Пусть задано [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] <tex>(\Omega, P)</tex>. Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число
 
<tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex>\frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}</tex>, где <tex>A, B \subset \Omega</tex>.}}
 
<tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex>\frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}</tex>, где <tex>A, B \subset \Omega</tex>.}}
 
== Замечания ==
 
== Замечания ==

Версия 18:06, 5 января 2014

Определение:
Условной вероятность: Пусть задано вероятностное пространство [math](\Omega, P)[/math]. Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число [math]{P}(A \mid B) = [/math] [math]\frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}[/math], где [math]A, B \subset \Omega[/math].

Замечания

  • Если [math]{P}(B) = 0[/math], то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
  • Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
[math]{P}(A\cap B) = {P}(A \mid B) {P}(B)[/math].
  • Если события [math]A[/math] и [math]B[/math] независимые, то [math]{P}(A \mid B) = [/math] [math]\frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = {P}(A)[/math]

Пример

Пусть имеется 12 шариков, из которых 5 — чёрные, а 7 — белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от 1 до 5, а белые — от 6 до 12. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.

Обозначим за [math]A[/math] событие "достали чёрный шар" и за [math]B[/math] событие "достали шар с чётным номером". Тогда [math]P(B) = \frac{1}{2}[/math], т. к. ровно половина шариков имеют чётный номер, а [math]P(A \cap B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}[/math], т. к. только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.

Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна [math]{P}(A \mid B) = \frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = \frac{1}{3}[/math]

См. также

Источники