Изменения

# === 1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов.===<wikitex>Начально-краевые задачи: # Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости)# Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию)# Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение) Классификация: [https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation#Equations_of_second_order wiki]Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3). Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = Q$ — линейное с постоянным коэффициентом. TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное TODO: частные случаи TODO: какие-то свойства точных решений  Свойства приближенных методов: # Транспортивность - свойство приближенного решения воспроизводить теоретическую скорость передачи сигнала.# Консервативность - свойство метода воспроизводить закон сохранения энергии. Закон сохранения энергии в интегральной форме: $\frac{d}{dt} \int\limits_a^b T dx = -(uT - \varkappa \frac {\partial T}{\partial x})|_a^b$ Принцип максимума (Понтрягина?): $T_a \le T_0(x) \le T_b \implies T_a \le T(x, t) \le T_b$ (для уравнения теплопроводности). TODO: типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов</wikitex> === 2. Основные понятия теории разностных схем: дискретизация, разностный шаблон, явная и неявная схемы. Типовой алгоритм решения начально-краевой задачи для модельного уравнения теплопроводности.=== # === 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса.=== IMG_1127, страница 12 Рихтмайтер, страница 54 Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q. 

# === 4. Построение разностных схем методом разложения в ряд Тейлора. Параметрические разностные схемы.===IMG_1128 # === 5. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом (методом конечных объемов).=== # === 6. Прямой анализ устойчивости разностных схем для уравнения конвективного переноса. Число Куранта (сеточное число Струхала), критерий Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ).=== IMG_1131 # === 7. Прямой анализ устойчивости разностных схем для параболического уравнения теплопроводности в неподвижной среде. Сеточное число Рейнольдса.=== # === 8. Анализ устойчивости разностных схем методом дифференциального приближения (на примере явной схемы «против потока» для уравнения конвективного переноса). Понятие схемной релаксации.=== # === 9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана.=== IMG_1134 # === 10. Разностные методы решения нелинейных уравнений в частных производных. Частично-неявная аппроксимация, внутренние итерации по нелинейности, линеаризация по Ньютону.=== # === 11. Разностные методы решения систем линейных уравнений в частных производных. Диагонально-неявная аппроксимация, векторная (матричная) прогонка.=== # === 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений.=== # === 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости.=== # === 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.===IMG_1144 * [https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations wiki] Нелинейность, неустойчивость, неэволюционный характер уравнений (что это??) Что-то про выброшенный эффект Квазистационарность по полю давления, возникает трудность с поиском давления. Wall, Inlet, Outlet? Что-то про векторный потенциал. # === 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля.===* [https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_equation wiki]* [https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_flow_from_the_Navier%E2%80%93Stokes_equations wiki]# === 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом.===* [http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/pdf/fluid_flow_for_the_rest_of_us.pdf тык] Частично-неявная схема, расщепление по физическим процессам # === 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка.===