Участник:Dgerasimov/Численные методы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(/* 1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия ...)
(/* 1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия ...)
 
(не показано 17 промежуточных версий 4 участников)
Строка 28: Строка 28:
 
<wikitex>Начально-краевые задачи:
 
<wikitex>Начально-краевые задачи:
  
# Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$
+
# Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости)
# Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию)
+
# Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию)
 
# Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}  + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение)
 
# Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}  + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение)
  
Виды уравнений: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3).
+
Классификация: [https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation#Equations_of_second_order wiki]
 +
Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3).
  
Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = Q$ — линейное с постоянным коэффициентом.
+
Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного
 +
 
 +
Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = Q$ — линейное с постоянным коэффициентом.
  
 
TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное
 
TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное
Строка 40: Строка 43:
 
TODO: частные случаи
 
TODO: частные случаи
  
Что-то про скорость передачи сигнала
+
TODO: какие-то свойства точных решений
  
 +
Свойства приближенных методов:
  
Транспортивность:
+
# Транспортивность - свойство приближенного решения воспроизводить теоретическую скорость передачи сигнала.
 +
# Консервативность - свойство метода воспроизводить закон сохранения энергии.
  
TODO Закон сохранения энергии в интегральной форме
+
Закон сохранения энергии в интегральной форме: $\frac{d}{dt} \int\limits_a^b T dx = -(uT - \varkappa \frac {\partial T}{\partial x})|_a^b$
  
Консервативность — если метод воспроизводит закон сохранения энергии.
+
Принцип максимума (Понтрягина?): $T_a \le T_0(x) \le T_b \implies T_a \le T(x, t) \le T_b$ (для уравнения теплопроводности).
 
 
Какой-то принцип максимума Понтрягина.
 
  
 +
TODO: типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов
 
</wikitex>
 
</wikitex>
  
 
=== 2. Основные понятия теории разностных схем: дискретизация, разностный шаблон, явная и неявная схемы. Типовой алгоритм решения начально-краевой задачи для модельного уравнения теплопроводности. ===
 
=== 2. Основные понятия теории разностных схем: дискретизация, разностный шаблон, явная и неявная схемы. Типовой алгоритм решения начально-краевой задачи для модельного уравнения теплопроводности. ===
 +
 
=== 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса. ===  
 
=== 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса. ===  
 +
IMG_1127, страница 12
 +
 +
Рихтмайтер, страница 54
 +
 +
Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q.
 +
 
#* [http://en.wikipedia.org/wiki/Lax_equivalence_theorem Lax equivalence theorem]
 
#* [http://en.wikipedia.org/wiki/Lax_equivalence_theorem Lax equivalence theorem]
=== 4. Построение разностных схем методом разложения в ряд Тейлора. Параметрические разностные схемы. ===  
+
 
 +
=== 4. Построение разностных схем методом разложения в ряд Тейлора. Параметрические разностные схемы. ===
 +
IMG_1128
 +
 
 
=== 5. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом (методом конечных объемов). ===  
 
=== 5. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом (методом конечных объемов). ===  
=== 6. Прямой анализ устойчивости разностных схем для уравнения конвективного переноса. Число Куранта (сеточное число Струхала), критерий Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ). ===  
+
=== 6. Прямой анализ устойчивости разностных схем для уравнения конвективного переноса. Число Куранта (сеточное число Струхала), критерий Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ). ===
 +
 
 +
IMG_1131
 +
 
 
=== 7. Прямой анализ устойчивости разностных схем для параболического уравнения теплопроводности в неподвижной среде. Сеточное число Рейнольдса. ===  
 
=== 7. Прямой анализ устойчивости разностных схем для параболического уравнения теплопроводности в неподвижной среде. Сеточное число Рейнольдса. ===  
 
=== 8. Анализ устойчивости разностных схем методом дифференциального приближения (на примере явной схемы «против потока» для уравнения конвективного переноса). Понятие схемной релаксации. ===  
 
=== 8. Анализ устойчивости разностных схем методом дифференциального приближения (на примере явной схемы «против потока» для уравнения конвективного переноса). Понятие схемной релаксации. ===  
=== 9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана. ===  
+
=== 9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана. ===
 +
 
 +
IMG_1134
 +
 
 
=== 10. Разностные методы решения нелинейных уравнений в частных производных. Частично-неявная аппроксимация, внутренние итерации по нелинейности, линеаризация по Ньютону. ===  
 
=== 10. Разностные методы решения нелинейных уравнений в частных производных. Частично-неявная аппроксимация, внутренние итерации по нелинейности, линеаризация по Ньютону. ===  
 
=== 11. Разностные методы решения систем линейных уравнений в частных производных. Диагонально-неявная аппроксимация, векторная (матричная) прогонка. ===  
 
=== 11. Разностные методы решения систем линейных уравнений в частных производных. Диагонально-неявная аппроксимация, векторная (матричная) прогонка. ===  
 
=== 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений. ===  
 
=== 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений. ===  
 
=== 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости. ===  
 
=== 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости. ===  
=== 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса. ===  
+
=== 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса. ===
=== 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля. ===  
+
IMG_1144
=== 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом. ===  
+
 
 +
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations wiki]
 +
 
 +
Нелинейность, неустойчивость, неэволюционный характер уравнений (что это??)
 +
 
 +
Что-то про выброшенный эффект
 +
 
 +
Квазистационарность по полю давления, возникает трудность с поиском давления.
 +
 
 +
Wall, Inlet, Outlet?
 +
 
 +
Что-то про векторный потенциал.
 +
 
 +
=== 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля. ===
 +
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_equation wiki]
 +
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_flow_from_the_Navier%E2%80%93Stokes_equations wiki]
 +
 
 +
=== 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом. ===
 +
* [http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/pdf/fluid_flow_for_the_rest_of_us.pdf тык]
 +
 
 +
Частично-неявная схема, расщепление по физическим процессам
 +
 
 
=== 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка. ===
 
=== 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка. ===
  

Текущая версия на 21:39, 16 января 2014

Содержание

Какие-то ключевые темы[править]

  • Модельное уравнение теплопроводности
  • Элементы теории аппроксимации
  • Построение разностных схем методом конечных объемов
  • Вычислительная устойчивость разностных схем. Простой анализ устойчивости.
  • Метод дифференциального (?) приближения для анализа усойчивости разностных схем
  • Метод фон Неймана анализа устойчивости разностных схем
  • Численное решение нелинейных уравнений
  • Численное решение уравнений с несколькими пространственными переменными
  • Уравнения Навье-Стокса
  • Примеры точных решений уравнений Навье-Стокса. Течение Пуазейля.
  • Случай круглой трубы
  • Метод SMAC
  • Модификация SMAC, расщепление в дельта-форме.

Курсовой проект[править]

TODO: запилить нормальное описание курсача

sfdfsdf[править]

Вопросы от Сегаля[править]

1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов.[править]

<wikitex>Начально-краевые задачи:

  1. Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости)
  2. Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию)
  3. Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение)

Классификация: wiki Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3).

Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного

Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = Q$ — линейное с постоянным коэффициентом.

TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное

TODO: частные случаи

TODO: какие-то свойства точных решений

Свойства приближенных методов:

  1. Транспортивность - свойство приближенного решения воспроизводить теоретическую скорость передачи сигнала.
  2. Консервативность - свойство метода воспроизводить закон сохранения энергии.

Закон сохранения энергии в интегральной форме: $\frac{d}{dt} \int\limits_a^b T dx = -(uT - \varkappa \frac {\partial T}{\partial x})|_a^b$

Принцип максимума (Понтрягина?): $T_a \le T_0(x) \le T_b \implies T_a \le T(x, t) \le T_b$ (для уравнения теплопроводности).

TODO: типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов </wikitex>

2. Основные понятия теории разностных схем: дискретизация, разностный шаблон, явная и неявная схемы. Типовой алгоритм решения начально-краевой задачи для модельного уравнения теплопроводности.[править]

3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса.[править]

IMG_1127, страница 12

Рихтмайтер, страница 54

Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q.

4. Построение разностных схем методом разложения в ряд Тейлора. Параметрические разностные схемы.[править]

IMG_1128

5. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом (методом конечных объемов).[править]

6. Прямой анализ устойчивости разностных схем для уравнения конвективного переноса. Число Куранта (сеточное число Струхала), критерий Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ).[править]

IMG_1131

7. Прямой анализ устойчивости разностных схем для параболического уравнения теплопроводности в неподвижной среде. Сеточное число Рейнольдса.[править]

8. Анализ устойчивости разностных схем методом дифференциального приближения (на примере явной схемы «против потока» для уравнения конвективного переноса). Понятие схемной релаксации.[править]

9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана.[править]

IMG_1134

10. Разностные методы решения нелинейных уравнений в частных производных. Частично-неявная аппроксимация, внутренние итерации по нелинейности, линеаризация по Ньютону.[править]

11. Разностные методы решения систем линейных уравнений в частных производных. Диагонально-неявная аппроксимация, векторная (матричная) прогонка.[править]

12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений.[править]

13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости.[править]

14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.[править]

IMG_1144

Нелинейность, неустойчивость, неэволюционный характер уравнений (что это??)

Что-то про выброшенный эффект

Квазистационарность по полю давления, возникает трудность с поиском давления.

Wall, Inlet, Outlet?

Что-то про векторный потенциал.

15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля.[править]

16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом.[править]

Частично-неявная схема, расщепление по физическим процессам

17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка.[править]

Учебники от Сегаля[править]

То, что присылалось в письме когда-то

  1. А.А. Самарский. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
  2. Р. Рихтмайер, К. Мортон. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.
  3. Д. Андерсон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер. Вычислительная гидродинамика и теплообмен, т. 1,2. М.: Мир, 1990.
  4. К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей., т.1,2. М.: Мир, 1991.
  5. С. Патанкар. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Мир, 1984 (!!!).
  6. Г.Н. Дульнев, В.Г. Парфенов, А.В. Сигалов. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена. М.: Высшая школа, 1990.