Редактирование: Участник:Dominica

Ажтаи (Ajtai), Комлос (Komlos) и Шимереди (Szemeredi) сконструировали сортирующую сеть на N входов глубины <tex> O(\log N) </tex>, при они не углублялись в исследование значения константы, получавшейся при правильном соблюдении необходимой ассимптотики. Впоследствии Патерсон выяснил, что <tex> O(\log N) </tex> можно заменить на <tex> c\log_2 N </tex> с константой приблизительно равной <tex> 6100 </tex>. Здесь будет описана более поздняя реализация, которая включает в себя меньшую константу <tex>c</tex>, а именно, будет доказано, что для любого целого числа <tex>N</tex>  такого,что <tex>N \ge 2^{78}</tex> существует сортирующая сеть на <tex>N</tex>  входов, такая, что  глубина в худшем случае будет <tex>1830 \log_2 N - 58657 </tex>.

Основными составяющими этой конструкции будут сортирующие сети на <tex>M</tex> входов, такие ,что <tex>M</tex> относительно мало. Мы назовем их <tex>M</tex>-сортировщиками.  Для любых выбранных положительных целых чисел <tex>M</tex> и <tex>N</tex>  таких что <tex> N \ge M</tex>, конструкция будет включать в себя <tex>N</tex> проводов, и будет сделана из <tex>M</tex>-сортировщиков, глубина которых в худшем случае <tex>(48 + о(1))\log_MN + 115</tex> при <tex>M \to \inf</tex>.
(Стоит отметить, что асимптотическое <tex>o(1)</tex> здесь относится к <tex>M</tex>, а не к <tex>N</tex>).

== Представление в виде дерева и разделители ==

Сначала введем все необходимые понятия для построения сортирующей сети.

{{Определение
|definition=
'''Идеальным разделителем''' будем называть сеть, выходные провода которой разделены на K  блоков одинакового размера, таких, что принимая на вход любые <tex>a</tex> значений, сеть размещает первые <tex>a/k</tex> минимальные по величине  ключи в первый блок, следующие <tex>a/k</tex> по величине ключи – во второй, и т.д.
}}
Эти идеальные разделители могут быть использованы как модули для построения сортирующей сети на <tex>N</tex>  входов, где <tex>N  = k^d</tex> для некоторого положительного числа d. Такая сеть будет представлять собой композицию сетей <tex>N_0, N_1, N_2 \dots N_{d-1}</tex>, где <tex>N_t</tex> – парраллельная композиция <tex>k^t</tex> идеальных разделителей одинакового размера. <tex>k^{d - t}</tex> Выходных проводов уровня <tex>N_t</tex> разделены на <tex>k</tex> блоков одинакового размерв и каждый из этих блоков формирует вход для идеального разделителя из N_{t+1}.
Можно рассмотреть другую интерпретацию этой конструкции. k^d входных данных мы будем рассматривать как листья полного k-ичного дерева глубины d;  каждый модуль(разделитель) из N_t будем считать узлом, находящимся на высоте t  в нашем дереве. Будем считать, что в каждый момент времени t = 0, 1, 2, ... в - 1 входные провода распределены по всему уровню t нашего дерева. В то же время, каждый узел х на t уровне принимает k^{d - t}  проводов и эти провода затем используются как вход  для идеального разделителя который разбивает их на k блоков одинакового размера в промежуток времени между t  и t + 1. Выходные провода из  j получившегося блока идут в j ребенка вершины x. К моменту времени d каждый лист дерева содершит в себе только один провод, а этот провод содержит в себе значение, которое и приписывается к листу.

К сожалению, эта схема описывает сортирующую сеть глубины <tex>\Omega((\log_k N)(\log_m N)) </tex>: каждый идеальный разделитель на а проводов, если его делать из М-разделителей, должен иметь глубину более чем <tex>\log_M(\dfrac{k-1}{k}a). (Чтобы осознать это, заметим, что для каждого выхода y должно быть более чем <tex>\dfrac{k -1}{k}a</tex> входов x , таких, что ключ мог бы дойти от x до y). К счастью, схему можно переделать так, чтобы она описывала сортирующую сеть глубины <tex>O(\log_M N)</tex> : идеальные разделители можно заменить на более слабые модули константной глубины,чья слабость будет компенсироваться более сложным перемещением ключей через дерево.

Слабые модули мы назовем сепараторами. У каждого такого сепаратора есть а выходных проводов, которые делятся на блоки <tex> F_1, B_1, B_2, \dots, B_k, F_2 </tex> так, что <tex> |F_1| = |F_2|</tex> <tex> |B_1| = |B_2| = \dots = |B_k| </tex>;

Как правило, "обрамляющие блоки" <tex>F_1</tex> и <tex>F_2</tex> гораздо меньше всех остальных. В каком-то смысле, можно сказать, что сепаратор аппроксимирует идеальный разделитель. Тогда будем измерять точность аппроксимации величинами <tex> \delta_F, \varepsilon_F </tex> и <tex>\varepsilon_B</tex>. Сортирующая сеть, с такими же выходными проводами как и наш сепаратор, принимая на вход I, состоящее из a отдельных проводов, распределяет соответствующие <tex>I_j</tex> в выходные блоки <tex>B_j</tex>. Сераратор же распределяет вход <tex>I</tex> таким образом, что 1) для каждого <tex> j = 1, 2, \dots, k, </tex> не более <tex>\varepsilon_B a</tex> ключей из <tex>I_j</tex> не попадут в <tex>B_j</tex>.
2)для каждого целого j такого, что <tex>1\le j\le \delta_F|F_i|</tex>не более <tex>\varepsilon_F j</tex> из <tex>j</tex> самых маленьких чисел могут не попасть в <tex>F_1</tex> и не более <tex>\varepsilon_F j</tex> из <tex>j</tex> самых больших чисел могут не попасть в <tex>F_2</tex>
Что касается перемещения значений в дереве, то в момент времени <tex>t = 0</tex>  все <tex>k^d</tex> проводов входят в корень. Между временами <tex> t</tex> и <tex>t + 1</tex> каждый узел <tex>x</tex>, в который входят какие-нибудь провода, использует эти а проводов как вход для сепаратора, с разумно выбранным размером для выходных блоков. Провода из каждого выходного блока <tex>B_j</tex> посывлаются в <tex>j</tex>того сына узла <tex>x</tex>а провода попавшие в <tex>F_1</tex> или <tex>F_2/tex> посылаются обратно к родителю <tex>x</tex>. (Если <tex>x</tex>. - корень, то <tex>F_1</tex> и <tex>F_2</tex> должны быть пустыми. Так как   <tex>F_1</tex> и <tex>F_2/tex> сравнительно маленькие, то большинство значений провалится ниже к листам дерева;  так как сепаратор не идеальный, то некоторые ключи могут быть посланы вниз в неправильном направлениии. Свойство 1) гарантирует, что очень малое количество собъется с пути, а свойство 2) гарантирует, что большинство из этих ключей вернутся назад и смогут исправить свое положение позже.
== Конструкция сети ==

<tex>\alpha^*(t) = \dfrac{t\log \dfrac{1}{\nu} - \log N + \log(2A\nu k^3)}{\log A}</tex>

<tex>\omega^*(t) = \dfrac{t\log \dfrac{1}{\nu} + \log(A\nu k)}{\log Ak}</tex>

<tex>\alpha(t) \ge \alpha^*(t),\quad  \alpha(t)\equiv t\mod 2 </tex>


<tex>\omega(t) \ge \omega^*(t),\quad  \omega(t)\equiv t\mod  2 </tex>


<tex> O(\log N) </tex> 
<tex> c\log_2 N </tex>



<tex> \pi(\alpha(t),t) =
\begin{cases}
0,&\text{если $\alpha(t + 1)>\alpha(t)$,}\\
\dfrac{\nu}{AK}c(a(t),t), &\text{если $\alpha(t + 1)>\alpha(t)$.}
\end{cases}
</tex>



<tex> \pi(i,t) = \dfrac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(i,t),\qquad\quad  \text{если $\alpha(t) < i < \omega(t)$,}
</tex>



<tex> \pi(\omega(t),t) =
\begin{cases}
\dfrac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(\omega(t),t),&\text{ $\omega(t + 1)>\omega(t)$,}\\
\alpha(\omega(t),t),&\text{если $\omega(t + 1)<\omega(t)$,}
\end{cases}
</tex>



<tex> \chi(\alpha(t),t) =
\begin{cases}
\dfrac{1}{k}c(\alpha(t),t),&\text{ $\alpha(t + 1)>\alpha(t)$,}\\
\dfrac{Ak - \nu}{Ak^2}c(\alpha(t),t),&\text{если $\alpha(t + 1)<\alpha(t)$,}
\end{cases}
</tex>



<tex> \chi(i,t) = \dfrac{Ak - \nu}{Ak^2}c(i,t),\qquad\quad  \text{если $\alpha(t) < i < \omega(t)$,}
</tex>



<tex> \pi(\omega(t),t) =
\begin{cases}
\alpha(\omega(t + 1), t + 1)), &\text{ $\omega(t + 1)>\omega(t)$,}\\
0,&\text{если $\omega(t + 1)<\omega(t)$,}
\end{cases}
</tex>

<tex>\pi(i, t)</tex>

<tex>\chi(i, t)</tex>

<tex>\alpha(t + 1) < \alpha(t)</tex>

<tex>c(\alpha(t), t) = (A/\nu)c(\alpha(t + 1), t + 1) \ge 2Ak^2/\nu</tex>

лемма 3.1 Если <tex>\alpha(i, t) \neq 0</tex> тогда


<tex> \sum\limits^d_{j=0} k^{j-i}a(j, t) =
\begin{cases}
Nk^{-i}, &\text{ $i = \alpha(t)$,}\\
Nk^{-i} - \dfrac{c(i,t)}{A^2k^2}, &\text{ $i > \alpha(t)$,}
\end{cases}
</tex>


<tex>\sum\limits^d_{j=0} k^ja(j, t) = N </tex>


<tex> i = \alpha(t) </tex>


<tex> a(j,t) =
\begin{cases}
0, &\text{ $j \not\equiv i \mod 2$,}\\
c(j, t), &\text{ $j = \alpha(t)$,}\\
(1 - \dfrac{1}{A^2k^2})c(j, t) &\text{ $\alpha(t) < j < i, \quad j \equiv i \mod 2$}
\end{cases}
</tex>


<tex> c(j, t) = c(i, t)A^{j-i}</tex> когда <tex>i\ge\alpha(t)+2</tex>


лемма 3.2 Если <tex>\alpha(t + 1) > \alpha(t) </tex> тогда <tex>\alpha(t) = 0</tex> или <tex>c(\alpha(t),t)\le Ak^2/\nu</tex>

<tex>\alpha(t+1) > \alpha(t) > 0</tex> 

<tex>\alpha(t) - 1 < \alpha^*(t + 1) </tex>

<tex>c(\alpha(t),t) < 2Ak^2/\nu</tex>