| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| | <tex dpi = "200" >1 \mid\mid \sum w_i U_i</tex> | | <tex dpi = "200" >1 \mid\mid \sum w_i U_i</tex> |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |id=krit_dol3
| |
| − | |statement=
| |
| − | Критерии Делоне для ребер и треугольников равносильны.
| |
| − | |proof=
| |
| − | [[Файл:dol3.png|400px|thumb|right|]]
| |
| − | Из треугольника в ребра: если для каждого треугольника выполнен критерий, то для каждого ребра можно рассматривать плоскость при любом треугольнике при ребре.
| |
| − | Обратно: Рассмотрим треугольник <tex>ABC</tex>, для каждого из ребра можно провести плоскость и они образуют трехмерный угол, снаружи которого нет точек. В пересечении угла и плосокости <tex>ABC</tex> образуется тетраэдр. Если в нем есть точки, то точки есть внутри треугольника, тогда это не триангуляция <tex>\implies</tex> точек в тетраэдре нет <tex>\implies</tex> плоскостью <tex>ABC</tex> можно отделить пространство с точками <tex>\implies</tex> выполняется глобальный критерий.
| |
| − | }}
| |
| − | Будем называть '''хорошими''' те рёбра, для которых выполняется локальный критерий Делоне.
| |
| − | {{Лемма
| |
| − | |about=4
| |
| − | |id=fliplemmasphere
| |
| − | |statement=
| |
| − | Из двух рёбер, которые можно провести для пары треугольников, как минимум одно хорошее.
| |
| − | |proof=
| |
| − | }}
| |
| | | | |
| − | {{nohate2}}
| + | Для каждой работы заданы время выполнения <tex> p_i,</tex> дедлаин <tex>d_i</tex> и стоимось выполнения этой работы <tex>w_i (w_i \пeqslant 0)</tex> |
| − | {{wasted}}
| + | Необходимо сотавить такое расписание, что <tex>\sum w_i U_i</tex> будет минимальна. |
| − | {{под кат
| |
| − | |title = Заголовок блока
| |
| − | |content = Содержимое
| |
| − | |frame-style = border:1px solid Plum
| |
| − | |title-style = color:black;background-color:lavender;font-weight:bold
| |
| − | |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-align:center
| |
| − | |footer = См. [[другая статья|другую статью]]
| |
| − | |footer-style = background-color:lightgray;text-align:right
| |
| − | }}
| |
| − | {{Задача
| |
| − | |definition= Есть один станок и <tex>n</tex> работ. Для каждой работы заданы время выполнения <tex> p_i,</tex> дедлаин <tex>d_i</tex> и стоимось выполнения этой работы <tex>w_i \geqslant 0</tex>.
| |
| − | Необходим минимизировать <tex>\sum w_i U_i</tex>.
| |
| − | }}
| |
| | | | |
| | ==Решение== | | ==Решение== |
| − | Применим для решения данной задачи [[Динамическое программирование|динамическое программирование]].
| |
| | | | |
| − | Обозначим <tex>T = \sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.
| + | Эта задача может быть решена сведением к решению [[Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях | задачи о назначениях]]. |
| − | Для всех <tex>t = 0, 1, \ldots, T </tex> и <tex>j = 1, \ldots, n</tex> будем рассчитывать <tex>F_j(t)</tex> {{---}} значение целевой функции, при условии, что были рассмотрены первые <tex>j</tex> работ и общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, не превышает времени <tex>t</tex>.
| + | А именно, покажем, что решение задачи состоит в сопоставлении <tex>n</tex> различным заданиям различных времен начала выполнения работы. Если сопоставляем работе <tex>i</tex> время <tex>t</tex>, то вклад в целевую функцию будет <tex> f_i(t + 1) </tex>. |
| − | #Если <tex>0 \leqslant t \leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремя в расписании, соответствующем <tex>F_j(t)</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)</tex>, иначе <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i</tex>.
| + | |
| − | #Если <tex>t > d_j</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j}(d_j)</tex>, поскольку все работы с номерами <tex>j = 1, \ldots, j</tex>, законченные позже, чем <tex> d_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex>, будут выполнены с опозданием.
| + | Далее будет показано, что при построении оптимального расписания нам нужно будет рассмотреть всего <tex>n</tex> различных времен начала работ. Следовательно, подобная задача может быть решена за <tex>O(n^3)</tex>. |
| | + | |
| | + | Поскольку <tex>f_i</tex> {{---}} монотонно неубывающие функции, то это значит, что в оптимальном расписании работы должны начинать исполняться как можно раньше. Первые <tex>n</tex> самых ранних для начала исполнения времен <tex>t_i</tex> могут быть вычислены следующим алгоритмом : |
| | + | |
| | + | отсортиртировать по неубыванию времена появления <tex>r_i</tex> |
| | + | <tex>t_1</tex> = <tex>r_1</tex> |
| | + | '''for''' <tex> i \in \{ 2 \ldots n \} </tex> |
| | + | <tex>t_i</tex> = <tex>\max(r_i, t_{i-1} + 1)</tex> |
| | + | |
| | | | |
| − | Отсюда, получим соотношение:
| + | Для того, чтобы найти оптимальное расписание, построим полный [[Основные_определения_теории_графов#Двудольный_граф |двудольный граф]], в котором будут доли <tex>V_1 = \left \{ 1,\ldots,n \right\} и V_2 = \left \{ t_1,\ldots,t_n \right\}</tex> и ребра <tex>c_{ij}</tex> между ними: |
| | <p> | | <p> |
| | <tex> | | <tex> |
| − | F_j(t) =
| + | c_{ij} = |
| − | \left \{\begin{array}{ll} \min(F_{j-1}(t-p_j), F_{j-1}(t) + w_j), & 0 \leqslant t \leqslant d_j \\ | + | \left \{\begin{array}{ll} f_i(t_j + 1), & r_i \leqslant t_i \\ |
| − | F_j(d_j), & d_j < t < T
| + | \infty, & \mathrm{otherwise} |
| | \end{array} \right. | | \end{array} \right. |
| | </tex> | | </tex> |
| | </p> | | </p> |
| − | В качестве начальных условий следует взять <tex>F_j(t) = \infty </tex> при <tex>t < 0, j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>F_0(t) = 0 </tex> при <tex>t \geqslant 0 </tex>.
| |
| − |
| |
| − | Ответом на задачу будет <tex>F_n(d_n)</tex>.
| |
| − |
| |
| − | Приведенный ниже алгоритм вычисляет <tex>F_j(t)</tex> для <tex>j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>t = 0,\ldots, d_j </tex>. За <tex>p_{max}</tex> обозначим самое большое из времен выполнения заданий.
| |
| − |
| |
| − | отсортиртировать работы по неубыванию времен дедлайнов <tex>d_i</tex>
| |
| − | <tex>t_1</tex> = <tex>r_1</tex>
| |
| − | '''for''' <tex>t = -p_{max}</tex> '''to''' <tex>-1</tex>
| |
| − | '''for''' <tex>j = 0</tex> '''to''' <tex>n</tex>
| |
| − | F_j(t) = \infty
| |
| − | '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>T</tex>
| |
| − | F_0(t) = 0
| |
| − | '''for''' <tex>j = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex>
| |
| − | '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>d_j</tex>
| |
| − | '''if''' <tex> F_{j-1}(t) + w_j < F_{j-1}(t-p_j) </tex>
| |
| − | <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex>
| |
| − | '''else'''
| |
| − | <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t-p_j) </tex>
| |
| − | '''for''' <tex>t = d_j + 1</tex> '''to''' <tex>T</tex>
| |
| − | <tex> F_j(t) = F_{j}(d_j) </tex>
| |
| − |
| |
| − | Время работы данного алгоритма {{---}} <tex>O(n \sum\limits_{i=1}^n p_i)</tex>.
| |
| | | | |
| − | Для того, чтобы найти само расписание, по доказанной ниже лемме, нам достаточно найти множество работ, которые будут выполнены с опозданием. Это может быть сделано следующим способом:
| + | Решив задачу о назначениях для данного графа, получим оптимальное расписание. |
| − | t = d_n
| |
| − | L = \varnothing
| |
| − | '''for''' <tex>j = n</tex> '''downto''' <tex>1</tex>
| |
| − | <tex>t = \min(t, d_j)</tex>
| |
| − | '''if''' <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex>
| |
| − | <tex> L = L \cup \{j\} </tex> </tex>
| |
| − | '''else'''
| |
| − | <tex> t = t - p_j </tex>
| |
| | | | |
| | ==Доказательство корректности и оптимальности== | | ==Доказательство корректности и оптимальности== |
| Строка 89: |
Строка 35: |
| | {{Лемма | | {{Лемма |
| | |id=lemma1 | | |id=lemma1 |
| − | |statement= Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов <tex>d_i</tex>. | + | |statement= Существует оптимальное расписание <tex>S</tex> в котором все <tex>n</tex> задач распределены по всем временам <tex>t_i (i = 1\ldots n)</tex>, которые выбирает приведенный выше алгоритм. |
| − | Тогда существует оптимальное расписание вида <tex>i_1, i_2, \ldots, i_s, i_{s+1}, \ldots, i_n </tex>, такое, что <tex>i_1 < i_2 < \ldots < i_s </tex> {{---}} номера работ, которые успеют выполниться вовремя, а <tex>i_{s+1}, \ldots, i_n </tex> {{---}} номера просроченных работ.
| + | |proof= Предположим, что в некоторое оптимальное расписание <tex>S</tex> входят времена <tex> t_1 \ldots t_j, </tex> где <tex> j < n</tex> и из всех возможных оптимальных расписаний мы возьмем то, у которого <tex>j</tex> будет максимально. |
| − | |proof= Пусть у нас есть некоторое оптимальное раписание <tex>S</tex>. Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ. | + | Из того, как в алгоритме выбирались значения для <tex>t_i</tex> следует, что <tex>t_{j + 1}</tex> {{---}} минимальное возможное время, большее <tex>t_j,</tex> в которое можно начать выполнять какое-нибудь из оставшихся заданий. Если во время <tex>t_{j+1}</tex> в расписании <tex>S</tex> не выполняется никакого задания, то какое-то задание, которое могло бы выполнится в момент времени <tex>t_{j+1}</tex> выполняется в <tex>S</tex> позднее. Значит оно может быть перемещено в нашем расписании <tex>S</tex> на время <tex>t_{j+1}</tex> без увеличения целевой функции. Таким образом, наше новое расписание тоже будет оптимальным. Получили противоречие с максимальностью <tex>j</tex>. Значит из всех оптимальных расписаний нам подходят только те, в которых <tex>j = n</tex>. |
| − | #Если работа с номером <tex> i</tex> выполнится в <tex>S</tex> с опозданием, то переставим эту работу в конец. При этом, так как работа просрочна в оптимальном расписании <tex>S</tex>, при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции.
| |
| − | #Если работы с номерами <tex>i</tex> и <tex>j</tex> в расписании <tex>S</tex> выполняются вовремя, но при этом <tex>d_i < d_j </tex>, но <tex>j</tex> стоит в <tex>S</tex> раньше <tex>i</tex>. Тогда переставим работу с номером <tex>j</tex> так, чтобы она выполнялась после работы <tex>i</tex>. Таким образом, каждая из работ, находившихся в <tex>S</tex> между <tex>j</tex> и <tex>i</tex>, включая <tex>i</tex>, будет выполняться в новом расписании на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше. Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:
| |
| − | #*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в расписании <tex>S</tex>, не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время.
| |
| − | #*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>S</tex>, как оптимального решения.
| |
| − | #*Поскольку <tex>d_i < d_j </tex> и работа <tex>i</tex> будет заканчиваться на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше, то стоящая сразу послее нее работа <tex>j</tex> тоже будет успевать выполниться.
| |
| | }} | | }} |
| | | | |
| | ==См. также == | | ==См. также == |
| | * [[Классификация задач]] | | * [[Классификация задач]] |
| − | * [[1ripipsumwu|<tex> 1 \mid r_i,p_i=p \mid \sum w_i U_i</tex>]] | + | * [[1precpmtnrifmax|<tex>1 \mid prec, pmtn, r_i \mid f_{\max}</tex>]] |
| − | * [[1pi1sumwu|<tex>1 \mid p_{i} = 1 \mid \sum w_{i}U_{i}</tex>]]
| |
| − | * [[R2Cmax|<tex>R2 \mid \mid C_{max}</tex>]]
| |
| − | | |
| | == Источники информации == | | == Источники информации == |
| − | * P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 26 - 28 | + | * P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 19 - 20 |
