Изменения

Ажтаи (Ajtai), Комлос (Komlos) и Шимереди (Szemeredi) сконструировали сортирующую сеть на N входов глубины <texdpi = "200" > O(1 \log N) mid\mid \sum w_i U_i</tex>{{Утверждение|id=krit_dol3|statement=Критерии Делоне для ребер и треугольников равносильны.|proof=[[Файл:dol3.png|400px|thumb|right|]]Из треугольника в ребра: если для каждого треугольника выполнен критерий, то для каждого ребра можно рассматривать плоскость при они не углублялись в исследование значения константы, получавшейся любом треугольнике при правильном соблюдении необходимой ассимптотикиребре. Впоследствии Патерсон выяснил, что Обратно: Рассмотрим треугольник <tex> O(\log N) ABC</tex> , для каждого из ребра можно заменить на провести плоскость и они образуют трехмерный угол, снаружи которого нет точек. В пересечении угла и плосокости <tex> c\log_2 N </tex> с константой приблизительно равной <tex> 6100 ABC</tex>образуется тетраэдр. Здесь будет описана более поздняя реализация, которая включает Если в себя меньшую константу <tex>c</tex>нем есть точки, а именното точки есть внутри треугольника, будет доказано, что для любого целого числа тогда это не триангуляция <tex>N\implies</tex> такого,что точек в тетраэдре нет <tex>N \ge 2^{78}implies</tex> существует сортирующая сеть на плоскостью <tex>NABC</tex> входов, такая, что глубина в худшем случае будет можно отделить пространство с точками <tex>1830 \log_2 N - 58657 implies</tex>выполняется глобальный критерий.}}Будем называть '''хорошими''' те рёбра, для которых выполняется локальный критерий Делоне.{{Лемма|about=4|id=fliplemmasphere|statement=Из двух рёбер, которые можно провести для пары треугольников, как минимум одно хорошее.|proof=}}

Основными составяющими этой конструкции будут сортирующие сети на <tex>M</tex> входов, такие ,что <tex>M</tex> относительно мало. Мы назовем их <tex>M</tex>{{nohate2}}{{wasted}}{{под кат|title = Заголовок блока |content = Содержимое |frame-style = border:1px solid Plum |title-style = color:black;background-color:lavender;font-weight:bold |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-сортировщикамиalign:center |footer = См. [[другая статья|другую статью]] Для любых выбранных положительных целых чисел <tex>M</tex> |footer-style = background-color:lightgray;text-align:right}}{{Задача|definition= Есть один станок и <tex>Nn</tex> таких что работ. Для каждой работы заданы время выполнения <tex> N \ge Mp_i,</tex>, конструкция будет включать в себя дедлаин <tex>Nd_i</tex> проводов, и будет сделана из стоимось выполнения этой работы <tex>M</tex>-сортировщиков, глубина которых в худшем случае <tex>(48 + о(1))w_i \log_MN + 115geqslant 0</tex> при .Необходим минимизировать <tex>M \to \infsum w_i U_i</tex>.(Стоит отметить, что асимптотическое <tex>o(1)</tex> здесь относится к <tex>M</tex>, а не к <tex>N</tex>).}}

== Разделители Решение==Применим для решения данной задачи [[Динамическое программирование|динамическое программирование]].

Сначала введем Обозначим <tex>T = \sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.Для всех <tex>t = 0, 1, \ldots, T </tex> и <tex>j = 1, \ldots, n</tex> будем рассчитывать <tex>F_j(t)</tex> {{---}} значение целевой функции, при условии, что были рассмотрены первые <tex>j</tex> работ и общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, не превышает времени <tex>t</tex>.#Если <tex>0 \leqslant t \leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремя в расписании, соответствующем <tex>F_j(t)</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)</tex>, иначе <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i</tex>.#Если <tex>t > d_j</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j}(d_j)</tex>, поскольку все необходимые понятия для построения сортирующей сетиработы с номерами <tex>j = 1, \ldots, j</tex>, законченные позже, чем <tex> d_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex>, будут выполнены с опозданием.

{{Определение|definition=Отсюда, получим соотношение:'''Идеальным разделителем''' будем называть сеть, выходные провода которой разделены на K блоков одинакового размера, таких, что принимая на вход любые <texp>a</tex> значенийF_j(t) =\left \{\begin{array}{ll} \min(F_{j-1}(t-p_j), F_{j-1}(t) + w_j), сеть размещает первые <tex>a/k</tex> минимальные по величине & 0 \leqslant t \leqslant ключи в первый блокd_j \\F_j(d_j), следующие & d_j <tex>a/kt </tex> по величине ключи – во второй, и т.д.T\end{array}}\right.Эти идеальные разделители могут быть использованы как модули для построения сортирующей сети на </tex>N</texp> входов, где В качестве начальных условий следует взять <tex>N F_j(t) = k^d\infty </tex> для некоторого положительного числа d. Такая сеть будет представлять собой композицию сетей при <tex>N_0t < 0, N_1j = 0, N_2 .. N_{d-1}\ldots, n </tex>, где и <tex>N_tF_0(t) = 0 </tex> – парраллельная композиция при <tex>k^t\geqslant 0 </tex> идеальных разделителей одинакового размера.

Ответом на задачу будет <tex>\alpha^*F_n(td_n) = \frac{t\log \frac{1}{\nu} - \log N + \log(2A\nu k^3)}{\log A}</tex>.

Приведенный ниже алгоритм вычисляет <tex>\omega^*F_j(t) </tex> для <tex>j = 0,\frac{ldots, n </tex> и <tex>t= 0,\log \frac{1}ldots, d_j </tex>. За <tex>p_{\nu} + \log(A\nu k)}{\log Akmax}</tex>обозначим самое большое из времен выполнения заданий.

отсортиртировать работы по неубыванию времен дедлайнов <tex>d_i</tex> <tex>t_1</tex> = <tex>r_1</tex> '''for''' <tex>t = -p_{max}</tex> '''to''' <tex>-1</tex> '''for''' <tex>j = 0</tex> '''to''' <tex>n</tex> F_j(t) = \alphainfty '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>T</tex> F_0(t) \ge \alpha^*= 0 '''for''' <tex>j = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex> '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>d_j</tex> '''if''' <tex> F_{j-1}(t),\quad + w_j \alpha< F_{j-1}(t-p_j) </tex> <tex> F_j(t)\equiv = F_{j-1}(t\; ) + w_j </tex> '''else''' <tex> mod\; 2 F_j(t) = F_{j-1}(t-p_j) </tex> '''for''' <tex>t = d_j + 1</tex> '''to''' <tex>T</tex> <tex> F_j(t) = F_{j}(d_j) </tex>

Для того, чтобы найти само расписание, по доказанной ниже лемме, нам достаточно найти множество работ, которые будут выполнены с опозданием. Это может быть сделано следующим способом: t = d_n L = \varnothing '''for''' <tex>j = n</tex> '''downto''' <tex>1</tex> <tex>t = \omegamin(t, d_j) \ge \omega^*</tex> '''if''' <tex> F_j(t),\quad \omega= F_{j-1}(t)+ w_j </tex> <tex> L = L \equiv tcup \; mod{j\; 2 } </tex> </tex> '''else''' <tex> t = t - p_j </tex>

{{Лемма|id=lemma1|statement= Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов <tex>d_i</tex>.Тогда существует оптимальное расписание вида <tex>i_1, i_2, \ldots, i_s, i_{s+1}, \ldots, i_n </tex>, такое, что <tex>i_1 < i_2 < \ldots < i_s </tex> O({{---}} номера работ, которые успеют выполниться вовремя, а <tex>i_{s+1}, \log N) ldots, i_n </tex> {{---}} номера просроченных работ.|proof= Пусть у нас есть некоторое оптимальное раписание <tex>S</tex>. Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ. #Если работа с номером <tex> i</tex> выполнится в <tex>S</tex> с опозданием, то переставим эту работу в конец. При этом, так как работа просрочна в оптимальном расписании <tex>S</tex>, при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции. #Если работы с номерами <tex>i</tex> и <tex>j</tex> в расписании <tex>S</tex> выполняются вовремя, но при этом <tex>d_i < d_j </tex>, но <tex>j</tex> стоит в <tex>S</tex> раньше <tex>i</tex>. Тогда переставим работу с номером <tex>j</tex> так, чтобы она выполнялась после работы <tex>i</tex>. Таким образом, каждая из работ, находившихся в <tex>S</tex> между <tex>j</tex> и <tex>i</tex>, включая <tex>i</tex>, будет выполняться в новом расписании на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше. Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:#*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в расписании <tex>S</tex>, не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время.#*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>S</tex> , как оптимального решения.#*Поскольку <tex> c\log_2 N d_i < d_j </tex> и работа <tex>i</tex> будет заканчиваться на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше, то стоящая сразу послее нее работа <tex>j</tex>тоже будет успевать выполниться.}}

==См. также ==* [[Классификация задач]]* [[1ripipsumwu|<tex> 1 \pi(\alpha(t)mid r_i,t) p_i=p \mid \sum w_i U_i</tex>]]* [[1pi1sumwu|<tex>1 \beginmid p_{casesi}0,&\text{если $\alpha(t + = 1)>\alpha(t)$,}\mid \\fracsum w_{\nui}U_{AKi}c(a(t),t), &\text{если $\alpha(t + 1)</tex>]]* [[R2Cmax|<tex>R2 \alpha(t)$.}mid \endmid C_{casesmax}</tex>]]

<tex> \pi(i,t) = \frac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(i,t),\quad \text{если $\alpha(t) < i < \omega(t)$,}</tex> <tex> \pi(\omega(t),t) = Источники информации ==\begin{cases}\frac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c* P. Brucker. Scheduling Algorithms (\omega(t2006),t)5th edition,&\text{ $\omega(t + 1)>\omega(t)$,}\\\alpha(\omega(t),t),&\text{если $\omega(t + 1)<\omega(t)$,}\end{cases}</tex>стр. 26 - 28