Изменения

{{nohate2}}{{wasted}}{{под кат|title = Заголовок блока |content = Содержимое |frame-style = border:1px solid Plum |title-style = color:black;background-color:lavender;font-weight:bold |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-align:center |footer = См. [[другая статья|другую статью]] |footer-style = background-color:lightgray;text-align:right}}{{Задача|definition= Есть один станок и <tex>n</tex> работ. Для каждой работы заданы время выполнения <tex> p_i,</tex> дедлаин <tex>d_i</tex> и стоимось выполнения этой работы <tex>w_i (w_i \пeqslant geqslant 0)</tex>.Необходимо сотавить такое расписание, что Необходим минимизировать <tex>\sum w_i U_i</tex> будет минимальна.}}

Эта задача может быть решена сведением к решению [[Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях | задачи о назначениях]].А именно, покажем, что решение задачи состоит в сопоставлении Обозначим <tex>T = \sum\limits_{i=1}^np_i</tex> различным заданиям различных времен начала выполнения работы. Если сопоставляем работе Для всех <tex>it = 0, 1, \ldots, T </tex> время и <tex>tj = 1, \ldots, n</tex>, то вклад в целевую функцию будет будем рассчитывать <tex> f_iF_j(t + 1) </tex>. Далее будет показано{{---}} значение целевой функции, при условии, что при построении оптимального расписания нам нужно будет рассмотреть всего были рассмотрены первые <tex>nj</tex> различных времен начала работ. Следовательнои общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, подобная задача может быть решена за не превышает времени <tex>O(n^3)t</tex>. Поскольку #Если <tex>f_i0 \leqslant t \leqslant d_j </tex> {{---}} монотонно неубывающие функции, то это значит, что в оптимальном расписании работы должны начинать исполняться как можно раньше. Первые и работа <tex>nj</tex> самых ранних для начала исполнения времен успевает выполниться вовремя в расписании, соответствующем <tex>t_iF_j(t)</tex> могут быть вычислены следующим алгоритмом :   отсортиртировать по неубыванию времена появления , то <tex>r_iF_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)</tex> , иначе <tex>t_1F_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i</tex> = .#Если <tex>r_1t > d_j</tex> '''for''' , то <tex> i \in \F_j(t) = F_{ 2 \ldots n \j} (d_j)</tex> , поскольку все работы с номерами <tex>t_ij = 1, \ldots, j</tex> = , законченные позже, чем <tex>d_j \max(r_i, t_{i-1} + 1)geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex>, будут выполнены с опозданием.

Для тогоОтсюда, чтобы найти оптимальное расписание, построим полный [[Основные_определения_теории_графов#Двудольный_граф |двудольный граф]], в котором будут доли <tex>V_1 = \left \{ 1,\ldots,n \right\} и V_2 = \left \{ t_1,\ldots,t_n \right\}</tex> и ребра <tex>c_{ij}</tex> между нимиполучим соотношение:

c_{ij} F_j(t) =\left \{\begin{array}{ll} f_i\min(F_{j-1}(t-p_j), F_{j-1}(t_j t) + 1w_j), & r_i 0 \leqslant t \leqslant t_i d_j \\\inftyF_j(d_j), & \mathrm{otherwise} d_j < t < T

Решив задачу о назначениях для данного графаДля того, получим оптимальное чтобы найти само расписание, по доказанной ниже лемме, нам достаточно найти множество работ, которые будут выполнены с опозданием.Это может быть сделано следующим способом: t = d_n L = \varnothing '''for''' <tex>j = n</tex> '''downto''' <tex>1</tex> <tex>t = \min(t, d_j)</tex> '''if''' <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex> <tex> L = L \cup \{j\} </tex> </tex> '''else''' <tex> t = t - p_j </tex>

|statement= Существует Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов <tex>d_i</tex>.Тогда существует оптимальное расписание вида <tex>Si_1, i_2, \ldots, i_s, i_{s+1}, \ldots, i_n </tex> в котором все , такое, что <tex>ni_1 < i_2 < \ldots < i_s </tex> задач распределены по всем временам {{---}} номера работ, которые успеют выполниться вовремя, а <tex>t_i (i = i_{s+1}, \ldots n), i_n </tex>, которые выбирает приведенный выше алгоритм{{---}} номера просроченных работ.|proof= Предположим, что в Пусть у нас есть некоторое оптимальное расписание раписание <tex>S</tex> входят времена . Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ. #Если работа с номером <tex> t_1 \ldots t_j, i</tex> где выполнится в <tex> j < nS</tex> и из всех возможных оптимальных расписаний мы возьмем с опозданием, топереставим эту работу в конец. При этом, у которого так как работа просрочна в оптимальном расписании <tex>jS</tex> будет максимально, при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции.Из того, как #Если работы с номерами <tex>i</tex> и <tex>j</tex> в алгоритме выбирались значения для расписании <tex>t_iS</tex> следуетвыполняются вовремя, что но при этом <tex>t_{j + 1}d_i < d_j </tex> {{---}} минимальное возможное время, большее но <tex>t_j,j</tex> стоит в которое можно начать выполнять какое-нибудь из оставшихся заданий<tex>S</tex> раньше <tex>i</tex>. Если во время Тогда переставим работу с номером <tex>t_{j+1}</tex> в расписании так, чтобы она выполнялась после работы <tex>Si</tex> не выполняется никакого задания. Таким образом, то какое-то заданиекаждая из работ, которое могло бы выполнится находившихся в момент времени <tex>t_{S</tex> между <tex>j+1}</tex> выполняется и <tex>i</tex>, включая <tex>i</tex>, будет выполняться в новом расписании на <tex>Sp_j</tex> позднееединиц времени раньше. Значит оно может быть перемещено Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:#*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в нашем расписании <tex>S</tex> , не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время .#*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>t_{j+1}S</tex> без увеличения целевой функции, как оптимального решения. Таким образом, наше новое расписание тоже #*Поскольку <tex>d_i < d_j </tex> и работа <tex>i</tex> будет оптимальным. Получили противоречие с максимальностью заканчиваться на <tex>jp_j</tex>. Значит из всех оптимальных расписаний нам подходят только теединиц времени раньше, в которых то стоящая сразу послее нее работа <tex>j = n</tex>тоже будет успевать выполниться.

* [[1precpmtnrifmax1ripipsumwu|<tex>1 \mid precr_i, pmtn, r_i p_i=p \mid \sum w_i U_i</tex>]]* [[1pi1sumwu|<tex>1 \mid p_{i} = 1 \mid f_\sum w_{i}U_{i}</tex>]]* [[R2Cmax|<tex>R2 \mid \mid C_{max}</tex>]] 

* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 19 26 - 2028