264
правки
Изменения
м
{{Лемма|id=lemma1|statement= Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов Обозначим <tex>d_iT = \sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.Тогда существует оптимальное расписание вида Для всех <tex>i_1, i_2, \ldotst = 0, i_s, i_{s+1}, \ldots, i_n T </tex>, такое, что и <tex>i_1 < i_2 < j = 1, \ldots < i_s , n</tex> {{---}} номера работ, которые успеют выполниться вовремя, а будем рассчитывать <tex>i_{s+1}, \ldots, i_n F_j(t)</tex> {{---}} номера просроченных работ.|proof= Пусть у нас есть некоторое оптимальное раписание значение целевой функции, при условии, что были рассмотрены первые <tex>Sj</tex>. Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ. #Если работа с номером <tex> i</tex> выполнится в <tex>S</tex> с опозданиеми общее время выполнения тех из них, то переставим эту работу в конец. При этомчто будут закончены вовремя, так как работа просрочна в оптимальном расписании не превышает времени <tex>St</tex>, при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции. #Если работы с номерами <tex>i0 \leqslant t \leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремя в расписании , соответствующем <tex>SF_j(t)</tex> выполняются вовремя, но при этом то <tex>d_i < d_j F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)</tex>, но иначе <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i</tex> стоит в .#Если <tex>S</text > раньше <tex>id_j</tex>. Тогда переставим работу с номером , то <tex>F_j(t) = F_{j}(d_j)</tex> так, чтобы она выполнялась после поскольку все работы с номерами <tex>i</tex>. Таким образомj = 1, каждая из работ\ldots, находившихся в <tex>S</tex> между <tex>j</tex> и <tex>i</tex>, включая <tex>i</tex>законченные позже, будет выполняться в новом расписании на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше. Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:#*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в расписании чем <tex>S</tex>, не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время.#*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>S</tex>, как оптимального решения.#*Поскольку <tex>d_i < d_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex> и работа <tex>i</tex> будет заканчиваться на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше, то стоящая сразу послее нее работа <tex>j</tex> тоже будет успевать выполниться будут выполнены с опозданием.}}
Применим для решения данной задачи [[Динамическое программирование|динамическое программирование]].
Обозначим <tex>T = \sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>/
Для всех <tex>t = 0, 1, \ldots, T </tex> и <tex>j = 1, \ldots, n</tex> будем рассчитывать <tex>F_j(t)</tex> {{---}} значение целевой функции при условии, что были рассмотрены первые <tex>j</tex> работ и общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, не превышает <tex>t</tex>.
Если <tex>0 \leqslant t \leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремя в расписании, соответствующем <tex>F_j(t)</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)</tex>, иначе <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i</tex>. Если <tex>t > d_j</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j}(d_j)</tex>, поскольку все работы с номерами <tex>j = 1, \ldots, j</tex>, законченные позже, чем <tex> d_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex>, будут выполнены с опозданием.
При этом, В качестве начальных условий следует взять <tex>F_j(t) = \infty </tex> при <tex>t < 0, j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>F_0(t) = 0 </tex> при <tex>t \geqslant 0 </tex>.
Нет описания правки
<tex dpi = "200" >1 \mid\mid \sum w_i U_i</tex>
{{Утверждение
|id=krit_dol3
|statement=
Критерии Делоне для ребер и треугольников равносильны.
|proof=
[[Файл:dol3.png|400px|thumb|right|]]
Из треугольника в ребра: если для каждого треугольника выполнен критерий, то для каждого ребра можно рассматривать плоскость при любом треугольнике при ребре.
Обратно: Рассмотрим треугольник <tex>ABC</tex>, для каждого из ребра можно провести плоскость и они образуют трехмерный угол, снаружи которого нет точек. В пересечении угла и плосокости <tex>ABC</tex> образуется тетраэдр. Если в нем есть точки, то точки есть внутри треугольника, тогда это не триангуляция <tex>\implies</tex> точек в тетраэдре нет <tex>\implies</tex> плоскостью <tex>ABC</tex> можно отделить пространство с точками <tex>\implies</tex> выполняется глобальный критерий.
}}
Будем называть '''хорошими''' те рёбра, для которых выполняется локальный критерий Делоне.
{{Лемма
|about=4
|id=fliplemmasphere
|statement=
Из двух рёбер, которые можно провести для пары треугольников, как минимум одно хорошее.
|proof=
}}
{{nohate2}}{{wasted}}{{под кат|title = Заголовок блока |content = Содержимое |frame-style = border:1px solid Plum |title-style = color:black;background-color:lavender;font-weight:bold |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-align:center |footer = См. [[другая статья|другую статью]] |footer-style = background-color:lightgray;text-align:right}}{{Задача|definition= Есть один станок и <tex>n</tex> работ. Для каждой работы заданы время выполнения <tex> p_i,</tex> дедлаин <tex>d_i</tex> и стоимось выполнения этой работы <tex>w_i \geqslant 0</tex>.Необходимо сотавить такое расписание, что Необходим минимизировать <tex>\sum w_i U_i</tex> будет минимальна.}}
==Решение==
Применим для решения данной задачи [[Динамическое программирование|динамическое программирование]].
Отсюда, получим соотношение:
<p>
</tex>
</p>
Ответом на задачу будет <tex>F_n(d_n)</tex>.
Приведенный ниже алгоритм вычисляет <tex>F_j(t)</tex> для <tex>j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>t = 0,\ldots, d_j </tex>. За <tex>p_{max}</tex> обозначим самое большое из времен выполнения заданий.
отсортиртировать работы по неубыванию времен дедлайнов <tex>d_i</tex>
<tex> F_j(t) = F_{j}(d_j) </tex>
Время работы данного алгоритма {{---}} <tex>O(n \sum\limits_{i=1}^n p_i)</tex>.
Для того, чтобы найти само расписание, по доказанной ниже лемме, нам достаточно найти множество работ, которые будут выполнены с опозданием. Это может быть сделано следующим способом:
t = d_n
L = \varnothing
==Доказательство корректности и оптимальности==
{{Лемма
|id=lemma1
|statement= Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов <tex>d_i</tex>.
Тогда существует оптимальное расписание вида <tex>i_1, i_2, \ldots, i_s, i_{s+1}, \ldots, i_n </tex>, такое, что <tex>i_1 < i_2 < \ldots < i_s </tex> {{---}} номера работ, которые успеют выполниться вовремя, а <tex>i_{s+1}, \ldots, i_n </tex> {{---}} номера просроченных работ.
|proof= Пусть у нас есть некоторое оптимальное раписание <tex>S</tex>. Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ.
#Если работа с номером <tex> i</tex> выполнится в <tex>S</tex> с опозданием, то переставим эту работу в конец. При этом, так как работа просрочна в оптимальном расписании <tex>S</tex>, при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции.
#Если работы с номерами <tex>i</tex> и <tex>j</tex> в расписании <tex>S</tex> выполняются вовремя, но при этом <tex>d_i < d_j </tex>, но <tex>j</tex> стоит в <tex>S</tex> раньше <tex>i</tex>. Тогда переставим работу с номером <tex>j</tex> так, чтобы она выполнялась после работы <tex>i</tex>. Таким образом, каждая из работ, находившихся в <tex>S</tex> между <tex>j</tex> и <tex>i</tex>, включая <tex>i</tex>, будет выполняться в новом расписании на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше. Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:
#*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в расписании <tex>S</tex>, не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время.
#*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>S</tex>, как оптимального решения.
#*Поскольку <tex>d_i < d_j </tex> и работа <tex>i</tex> будет заканчиваться на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше, то стоящая сразу послее нее работа <tex>j</tex> тоже будет успевать выполниться.
}}
==См. также ==
* [[Классификация задач]]
* [[1precpmtnrifmax1ripipsumwu|<tex>1 \mid precr_i, pmtn, r_i p_i=p \mid \sum w_i U_i</tex>]]* [[1pi1sumwu|<tex>1 \mid p_{i} = 1 \mid f_\sum w_{i}U_{i}</tex>]]* [[R2Cmax|<tex>R2 \mid \mid C_{max}</tex>]]
== Источники информации ==
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 19 26 - 2028
