Ажтаи (Ajtai), Комлос (Komlos) и Шимереди (Szemeredi) сконструировали сортирующую сеть на N входов глубины [math] O(\log N) [/math], при они не углублялись в исследование значения константы, получавшейся при правильном соблюдении необходимой ассимптотики. Впоследствии Патерсон выяснил, что [math] O(\log N) [/math] можно заменить на [math] c\log_2 N [/math] с константой приблизительно равной [math] 6100 [/math]. Здесь будет описана более поздняя реализация, которая включает в себя меньшую константу [math]c[/math], а именно, будет доказано, что для любого целого числа [math]N[/math] такого,что [math]N \ge 2^{78}[/math] существует сортирующая сеть на [math]N[/math] входов, такая, что глубина в худшем случае будет [math]1830 \log_2 N - 58657 [/math].
Основными составяющими этой конструкции будут сортирующие сети на [math]M[/math] входов, такие ,что [math]M[/math] относительно мало. Мы назовем их [math]M[/math]-сортировщиками. Для любых выбранных положительных целых чисел [math]M[/math] и [math]N[/math] таких что [math] N \ge M[/math], конструкция будет включать в себя [math]N[/math] проводов, и будет сделана из [math]M[/math]-сортировщиков, глубина которых в худшем случае [math](48 + о(1))\log_MN + 115[/math] при [math]M \to \inf[/math].
(Стоит отметить, что асимптотическое [math]o(1)[/math] здесь относится к [math]M[/math], а не к [math]N[/math]).
Представление в виде дерева и разделители
Сначала введем все необходимые понятия для построения сортирующей сети.
| Определение: |
| Идеальным разделителем будем называть сеть, выходные провода которой разделены на K блоков одинакового размера, таких, что принимая на вход любые [math]a[/math] значений, сеть размещает первые [math]a/k[/math] минимальные по величине ключи в первый блок, следующие [math]a/k[/math] по величине ключи – во второй, и т.д. |
Эти идеальные разделители могут быть использованы как модули для построения сортирующей сети на [math]N[/math] входов, где [math]N = k^d[/math] для некоторого положительного числа d. Такая сеть будет представлять собой композицию сетей [math]N_0, N_1, N_2 \dots N_{d-1}[/math], где [math]N_t[/math] – парраллельная композиция [math]k^t[/math] идеальных разделителей одинакового размера. [math]k^{d - t}[/math] Выходных проводов уровня [math]N_t[/math] разделены на [math]k[/math] блоков одинакового размерв и каждый из этих блоков формирует вход для идеального разделителя из N_{t+1}.
Можно рассмотреть другую интерпретацию этой конструкции. k^d входных данных мы будем рассматривать как листья полного k-ичного дерева глубины d; каждый модуль(разделитель) из N_t будем считать узлом, находящимся на высоте t в нашем дереве. Будем считать, что в каждый момент времени t = 0, 1, 2, ... в - 1 входные провода распределены по всему уровню t нашего дерева. В то же время, каждый узел х на t уровне принимает k^{d - t} проводов и эти провода затем используются как вход для идеального разделителя который разбивает их на k блоков одинакового размера в промежуток времени между t и t + 1. Выходные провода из j получившегося блока идут в j ребенка вершины x. К моменту времени d каждый лист дерева содершит в себе только один провод, а этот провод содержит в себе значение, которое и приписывается к листу.
К сожалению, эта схема описывает сортирующую сеть глубины [math]\Omega((\log_k N)(\log_m N)) [/math]: каждый идеальный разделитель на а проводов, если его делать из М-разделителей, должен иметь глубину более чем [math]\log_M(\dfrac{k-1}{k}a). (Чтобы осознать это, заметим, что для каждого выхода y должно быть более чем \lt tex\gt \dfrac{k -1}{k}a[/math] входов x , таких, что ключ мог бы дойти от x до y). К счастью, схему можно переделать так, чтобы она описывала сортирующую сеть глубины [math]O(\log_M N)[/math] : идеальные разделители можно заменить на более слабые модули константной глубины,чья слабость будет компенсироваться более сложным перемещением ключей через дерево.
Слабые модули мы назовем сепараторами. У каждого такого сепаратора есть а выходных проводов, которые делятся на блоки [math] F_1, B_1, B_2, \dots, B_k, F_2 [/math] так, что [math] |F_1| = |F_2|[/math] [math] |B_1| = |B_2| = \dots = |B_k| [/math];
Как правило, "обрамляющие блоки" [math]F_1[/math] и [math]F_2[/math] гораздо меньше всех остальных. В каком-то смысле, можно сказать, что сепаратор аппроксимирует идеальный разделитель. Тогда будем измерять точность аппроксимации величинами [math] \delta_F, \varepsilon_F [/math] и [math]\varepsilon_B[/math]. Сортирующая сеть, с такими же выходными проводами как и наш сепаратор, принимая на вход I, состоящее из a отдельных проводов, распределяет соответствующие [math]I_j[/math] в выходные блоки [math]B_j[/math]. Сераратор же распределяет вход [math]I[/math] таким образом, что 1) для каждого [math] j = 1, 2, \dots, k, [/math] не более [math]\varepsilon_B a[/math] ключей из [math]I_j[/math] не попадут в [math]B_j[/math].
2)для каждого целого j такого, что [math]1\le j\le \delta_F|F_i|[/math]не более [math]\varepsilon_F j[/math] из [math]j[/math] самых маленьких чисел могут не попасть в [math]F_1[/math] и не более [math]\varepsilon_F j[/math] из [math]j[/math] самых больших чисел могут не попасть в [math]F_2[/math]
Что касается перемещения значений в дереве, то в момент времени [math]t = 0[/math] все [math]k^d[/math] проводов входят в корень. Между временами [math] t[/math] и [math]t + 1[/math] каждый узел [math]x[/math], в который входят какие-нибудь провода, использует эти а проводов как вход для сепаратора, с разумно выбранным размером для выходных блоков. Провода из каждого выходного блока [math]B_j[/math] посывлаются в [math]j[/math]того сына узла [math]x[/math]а провода попавшие в [math]F_1[/math] или [math]F_2/tex\gt посылаются обратно к родителю \lt tex\gt x[/math]. (Если [math]x[/math]. - корень, то [math]F_1[/math] и [math]F_2[/math] должны быть пустыми. Так как [math]F_1[/math] и [math]F_2/tex\gt сравнительно маленькие, то большинство значений провалится ниже к листам дерева; так как сепаратор не идеальный, то некоторые ключи могут быть посланы вниз в неправильном направлениии. Свойство 1) гарантирует, что очень малое количество собъется с пути, а свойство 2) гарантирует, что большинство из этих ключей вернутся назад и смогут исправить свое положение позже.
== Конструкция сети ==
\lt tex\gt \alpha^*(t) = \dfrac{t\log \dfrac{1}{\nu} - \log N + \log(2A\nu k^3)}{\log A}[/math]
[math]\omega^*(t) = \dfrac{t\log \dfrac{1}{\nu} + \log(A\nu k)}{\log Ak}[/math]
[math]\alpha(t) \ge \alpha^*(t),\quad \alpha(t)\equiv t\mod 2 [/math]
[math]\omega(t) \ge \omega^*(t),\quad \omega(t)\equiv t\mod 2 [/math]
[math] O(\log N) [/math]
[math] c\log_2 N [/math]
[math] \pi(\alpha(t),t) =
\begin{cases}
0,&\text{если $\alpha(t + 1)\gt \alpha(t)$,}\\
\dfrac{\nu}{AK}c(a(t),t), &\text{если $\alpha(t + 1)\gt \alpha(t)$.}
\end{cases}
[/math]
[math] \pi(i,t) = \dfrac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(i,t),\qquad\quad \text{если $\alpha(t) \lt i \lt \omega(t)$,}
[/math]
[math] \pi(\omega(t),t) =
\begin{cases}
\dfrac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(\omega(t),t),&\text{ $\omega(t + 1)\gt \omega(t)$,}\\
\alpha(\omega(t),t),&\text{если $\omega(t + 1)\lt \omega(t)$,}
\end{cases}
[/math]
[math] \chi(\alpha(t),t) =
\begin{cases}
\dfrac{1}{k}c(\alpha(t),t),&\text{ $\alpha(t + 1)\gt \alpha(t)$,}\\
\dfrac{Ak - \nu}{Ak^2}c(\alpha(t),t),&\text{если $\alpha(t + 1)\lt \alpha(t)$,}
\end{cases}
[/math]
[math] \chi(i,t) = \dfrac{Ak - \nu}{Ak^2}c(i,t),\qquad\quad \text{если $\alpha(t) \lt i \lt \omega(t)$,}
[/math]
[math] \pi(\omega(t),t) =
\begin{cases}
\alpha(\omega(t + 1), t + 1)), &\text{ $\omega(t + 1)\gt \omega(t)$,}\\
0,&\text{если $\omega(t + 1)\lt \omega(t)$,}
\end{cases}
[/math]
[math]\pi(i, t)[/math]
[math]\chi(i, t)[/math]
[math]\alpha(t + 1) \lt \alpha(t)[/math]
[math]c(\alpha(t), t) = (A/\nu)c(\alpha(t + 1), t + 1) \ge 2Ak^2/\nu[/math]
лемма 3.1 Если [math]\alpha(i, t) \neq 0[/math] тогда
[math] \sum\limits^d_{j=0} k^{j-i}a(j, t) =
\begin{cases}
Nk^{-i}, &\text{ $i = \alpha(t)$,}\\
Nk^{-i} - \dfrac{c(i,t)}{A^2k^2}, &\text{ $i \gt \alpha(t)$,}
\end{cases}
[/math]
[math]\sum\limits^d_{j=0} k^ja(j, t) = N [/math]
[math] i = \alpha(t) [/math]
[math] a(j,t) =
\begin{cases}
0, &\text{ $j \not\equiv i \mod 2$,}\\
c(j, t), &\text{ $j = \alpha(t)$,}\\
(1 - \dfrac{1}{A^2k^2})c(j, t) &\text{ $\alpha(t) \lt j \lt i, \quad j \equiv i \mod 2$}
\end{cases}
[/math]
[math] c(j, t) = c(i, t)A^{j-i}[/math] когда [math]i\ge\alpha(t)+2[/math]
лемма 3.2 Если [math]\alpha(t + 1) \gt \alpha(t) [/math] тогда [math]\alpha(t) = 0[/math] или [math]c(\alpha(t),t)\le Ak^2/\nu[/math]
[math]\alpha(t+1) \gt \alpha(t) \gt 0[/math]
[math]\alpha(t) - 1 \lt \alpha^*(t + 1) [/math]
[math]c(\alpha(t),t) \lt 2Ak^2/\nu[/math]
