Просмотр исходного текста страницы Участник:Fad Oleg

== Представление булевых функций ==

Теорема Поста открывает путь к представлению булевых функций синтаксическим способом, который в ряде случаев оказывается намного удобнее чем таблицы истинности. Отправной точкой здесь служит нахождение некоторой полной системы функций <tex>\Sigma = \{f_1,\ldots,f_n\}</tex>. Тогда каждая булева функция сможет быть представлена некоторым термом в сигнатуре <tex>\Sigma</tex>, который в данном случае называют также формулой. Относительно выбраной системы функций полезно знать ответы на следующие вопросы:
* Как построить по данной функции представляющую её формулу?
* Как проверить, что две разные формулы эквивалентны, то есть задают одну и ту же функцию?
** В частности: существует ли способ приведения произвольной формулы к эквивалентной её ''канонической'' форме, такой что, две формулы эквивалентны тогда и только тогда, когда их канонические формы совпадают?
* Как по данной функции построить представляющую её формулу с теми или иными заданными свойствами (например, наименьшего размера), и возможно ли это?

Положительные ответы на эти и другие вопросы существенно увеличивают прикладное значение выбранной системы функций.

=== Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) ===

{{main|ДНФ}}
{{Определение
|definition =
'''Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)''' (англ. ''disjunctive normal form, DNF'') {{---}} нормальная форма, в которой [[Определение булевой функции|булева функция]] задана как дизъюнкция некоторого числа простых конъюнктов.
}}
Любая булева формула благодаря использованию  закона двойного отрицания, закона де Моргана и закона дистрибутивности может быть записана в ДНФ.

'''Примеры ДНФ:'''

<tex>f(x,y,z) = (x \land y) \lor (y \land \neg {z})</tex>.

<tex>f(x,y,z,t,m) = (x \land z) \lor (y \land x \land \neg{t}) \lor (x \land \neg {m}) </tex>.

=== Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) ===

{{main|КНФ}}
{{Определение
|definition =
'''Конъюнктивная нормальная форма, КНФ''' (англ. ''conjunctive normal form, CNF'') {{---}} нормальная форма, в которой [[Определение булевой функции|булева функция]] имеет вид конъюнкции нескольких простых дизъюнктов.
}}
Любая булева формула с помощью использования  закона двойного отрицания, закона де Моргана и закона дистрибутивности может быть записана в КНФ.

'''Пример КНФ:'''

<tex>f(x,y,z) = (x \lor y) \land (y \lor \neg{z})</tex>

<tex>f(x,y,z,t) = (x \lor t) \land (y \lor \neg{t}) \land (\neg{t} \lor \neg{z}) \land (\neg{x} \lor \neg{y} \lor z)</tex>

<tex>f(x,y,z,t,m) = (x \lor m \lor \neg{y}) \land (y \lor \neg{t}) \land (y \lor t \lor \neg{x})</tex>

=== Полином Жегалкина ===

{{main|Полином Жегалкина}}
{{Определение
|definition =
'''Полином Жегалкина''' (англ. ''Zhegalkin polynomial'') {{---}} полином с коэффициентами вида <tex>0</tex> и <tex>1</tex>, где в качестве произведения берётся конъюнкция, а в качестве сложения исключающее или. 
}}
Полином Жегалкина имеет следующий вид:

<tex>P = a_{000\ldots000} \oplus a_{100\ldots0} x_1 \oplus a_{010\ldots0}  x_2 \oplus \ldots \oplus a_{00\ldots01}  x_n \oplus a_{110\ldots0} x_1 x_2 \oplus \ldots \oplus a_{00\ldots011} x_{n-1} x_n \oplus \ldots \oplus a_{11\ldots1} x_1 x_2 \ldots x_n  </tex>

С помощью полинома Жегалкина можно выразить любую булеву функцию, так как он строится из следующего набора функций:  <tex>\bigl\langle \wedge, \oplus, 1 \bigr\rangle</tex>, который, в свою очередь, по [[Теорема Поста о полной системе функций|теореме Поста]] является полным.

'''Примеры:'''

<tex>f(x_1,x_2) =  1 \oplus x_1 \oplus x_1 x_2  </tex>

<tex>f(x_1,x_2,x_3) =   x_1 \oplus x_1 x_2 \oplus x_2 x_3 </tex>

<tex>f(x_1,x_2,x_3,x_4) =  1 \oplus x_1  \oplus x_4   \oplus x_1 x_2 \oplus x_1 x_4 \oplus x_2 x_4 \oplus x_1 x_2 x_4 </tex>

===Тождественные функции. Выражение функций друг через друга===

{{Определение
|definition = '''Тождественные функции''' — функции, которые при любых одинаковых аргументах принимают равные значения.
}}
Приведение тождественной функции есть '''выражение булевой функции через другие'''. 

Запись булевой функции в ДНФ, КНФ, а также выражение с помощью полинома Жегалкина — способы выражения одних булевых функций через другие.
{{Пример
|example=Выразим следующие функции через систему функций <tex>\{\land, \lor, \lnot \} </tex>.

<tex> x \oplus y = \left ( x \land \lnot y \right ) \lor \left ( \lnot x \land y \right ) = \left ( x \lor \lnot y \right ) \land \left ( \lnot x \lor y \right )</tex>

<tex> x \downarrow y = \lnot \left ( x \lor y \right) = \lnot x \land \lnot y</tex>

<tex>\langle x, y, z \rangle =  \left ( x \land y \right ) \lor \left ( y \land z \right ) \lor \left ( x \land z \right ) = \left ( x \lor y \right ) \land \left ( y \lor z \right ) \land \left ( x \lor z \right )</tex>
}}
=== Подстановка одной функции в другую ===

{{Определение
|definition =
'''Подстановкой''' (англ. ''substitution'') функции <tex>g</tex> в функцию <tex>f</tex> называется замена <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex> значением функции <tex>g</tex>:

<center><tex>h(x_{1}, \ldots, x_{n+m-1}) = f(x_{1}, \ldots, x_{i-1}, g(x_{i}, \ldots, x_{i+m-1}), x_{i+m}, \ldots, x_{n+m-1})</tex></center>
}}
Допускается также не только подстановка одной функции в другую, но и подстановка функции в саму себя.

При подстановке функции <tex>g</tex> вместо <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex>, результирующая функция <tex>h</tex> будет принимать аргументы, которые можно разделить на следующие блоки:

{|
 |1. <tex> x_{1}, \ldots, x_{i-1}</tex>
 |{{---}} аргументы функции <tex>f</tex> до подставленного значения функции <tex>g</tex>
 |-
 |2. <tex> x_{i}, \ldots, x_{i+m-1}   </tex>
 |{{---}} используются как аргументы для вычисления значения функции <tex>g(y_{1}, \ldots, y_{m})</tex>
 |-
 |3. <tex> x_{i+m}, \ldots, x_{n+m-1} </tex>
 |{{---}} аргументы функции <tex>f</tex> после подставленного значения функции <tex>g</tex>
 |}
{{Пример
|example=Исходные функции:
#<tex> f(a,b) = a \vee b </tex>
#<tex> g(a)   = \neg a </tex>

<tex> h(a,b) = f(a,g(b)) = a \vee \neg b </tex> {{---}} подстановка функции <tex>g</tex> вместо второго аргумента функции <tex>f</tex>. В данном примере при помощи подстановки мы получили функцию <tex>h(a,b)=a \leftarrow b</tex>.
}}
=== Отождествление переменных ===
{{Определение
|definition=
'''Отождествлением переменных''' (англ. ''identification of variables'') называется подстановка <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex> вместо <tex>j</tex>-того аргумента:

<center><tex>h(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, x_{j+1}, \ldots, x_{n}) = f(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{j-1}, x_{i}, x_{j+1}, \ldots, x_{n})</tex></center>
}}
Таким образом, при отождествлении <tex>c</tex> переменных мы получаем функцию <tex>h</tex> с количеством аргументов <tex>n-c+1</tex>.
{{Пример
|example=<tex> f(a,b) = a \vee b </tex> {{---}} исходная функция

<tex> h(a)   = a \vee a </tex> {{---}} функция с отождествленными первым и вторым аргументами

Очевидно, в данном примере мы получили функцию <tex>P_{1}</tex> {{---}} проектор единственного аргумента.
}}
=== Схемы из функциональных элементов ===
{{main|Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов}}
{{Определение
|definition =
'''Схема из функциональных элементов, логическая схема''' (англ. ''logic diagram'') {{---}} размеченный ориентированный граф без циклов, в некотором базисе <tex>B</tex>,  в котором:

1. вершины, в которые не входят ребра, называются входами схемы, и каждая из них помечена некоторой переменной (разным вершинам соответствуют разные переменные);

2. в каждую из остальных вершин входит одно или более ребер (зависит от выбранного базиса <tex>B</tex>). Такие вершины называются функциональными элементами и реализуют какую-либо булеву функцию из базиса <tex>B</tex>.
}}
Отождествление переменных осуществляется при помощи ветвления проводников.

Чтобы осуществить подстановку одной функции в другую нужно выход логического элемента, который реализует первую функцию, направить на вход логического элемента, который реализует вторую функцию.

'''Некоторые логические элементы:'''

{| class = "wikitable" border = "1"
!-align="center" |И
!-align="center" |ИЛИ
!-align="center" |НЕ
!Штрих Шеффера
!Стрелка Пирса
|-
|[[Image:AND_logic_element.png]]
|[[Image:OR_logic_element.png]]
|[[Image:NOT_logic_element.png]]
|[[Image:NAND_logic_element.png]]
|[[Image:NOR_logic_element.png]]
|}

==Стандартный базис==

{{Определение
|id = def1
|definition = '''Стандартный базис''' — система булевых функций: 
<tex>\{\land, \lor, \lnot \} </tex>
}}

Если рассматривать множество бинарных булевых функций <tex>P_2(2)</tex>, то для выражения любой булевой функции данного множества (кроме стрелки Пирса и штриха Шеффера) через стандартный базис достаточно выразить тождественные функции для эквиваленции, импликации и константы <tex> 0 </tex> с использованием функций, принадлежащих стандартному базису, т. к. все остальные операции можно выразить через данные 3 функции с помощью отрицания:

<tex> x \leftrightarrow y = \left ( x \rightarrow y \right ) \land \left ( y \rightarrow x \right ) </tex>

<tex> x \rightarrow y = \lnot x \lor y </tex>

<tex> 0 = x \land \lnot x </tex>

Функции <tex> \mid \ и \downarrow</tex> являются отрицаниями функций <tex> \land \ и \ \lor</tex> соответственно.

<tex> x \mid y = \lnot \left ( x \land y \right )</tex>

<tex> x \downarrow y = \lnot \left ( x \lor y \right )</tex>

Тождественность функций можно доказать с помощью таблицы истинности.

'''Пример:'''

Выразим через стандартный базис обратную импликацию <tex> \left (x \leftarrow y \right ) </tex>.

<tex>x \leftarrow y = \lnot x \rightarrow \lnot y = x \lor \lnot y </tex>

==Полнота стандартного базиса==

{{Утверждение
|statement = Стандартный базис является [[Полные системы функций. Теорема Поста о полной системе функций|полной системой булевых функций]]
|proof = Данное утверждение - следствие [[СДНФ|теоремы об СДНФ]]. Если рассмотреть функцию, не равную тождественному нулю, то она представима в виде СДНФ, в которой используются функции стандартного базиса. Способ выражения тождественного нуля через функции стандартного базиса уже был описан выше.
}}

'''Замечание:'''

По [[Множества|закону де Моргана]]:

<tex> x \land y = \lnot \left (\lnot x \lor \lnot y \right ) </tex>

<tex> x \lor y = \lnot \left (\lnot x \land \lnot y \right ) </tex>

Следовательно, стандартный базис является избыточным, в то время как безызбыточными являются подмножества системы:

<tex> \{ \land , \lnot \} </tex> (конъюнктивный базис Буля)

<tex> \{ \lor , \lnot \} </tex> (дизъюнктивный базис Буля)

==Теоремы о числе функций в базисе==
{{Теорема
|statement = Максимально возможное число булевых функций в безызбыточном базисе — четыре.
|proof = Рассмотрим произвольный безызбыточный базис <tex> X</tex>. Тогда по [[Полные системы функций. Теорема Поста о полной системе функций|теореме Поста]] <tex>X</tex> содержит следующие функции (не обязательно различные):

<tex>f_0 \notin T_0, f_1 \notin T_1, f_s \notin S, f_m \notin M, f_l \notin L</tex>, где <tex> T_0, T_1, S, M, L</tex> — классы Поста.

Значит, так как <tex>X</tex> — безызбыточный базис, а система <tex>\{f_0, f_1, f_s, f_m, f_l \}</tex> — полная, то <tex>\left | X \right | \le 5</tex>

Рассмотрим <tex>f_0</tex>. Возможны два случая:

1. <tex> f_0(1, 1, \ldots, 1) = 0 </tex>, тогда <tex>f_0</tex> также не сохраняет единицу и немонотонная, т.е.

<tex> f_0 = f_1 = f_m </tex>. Значит, <tex>\left | X \right | \le 3</tex>.

2. <tex> f_0(1, 1, \ldots, 1) = 1 </tex>, тогда <tex>f_0</tex> несамодвойственная, т.е.

<tex> f_0 = f_s </tex>. Значит, <tex>\left | X \right | \le 4</tex>.
}}

{{Теорема
|statement= Для любого числа <tex>k, 1 \le k \le 4 </tex> найдётся базис <tex> X</tex>, что <tex>\left | X \right | = k</tex>.
|proof=Приведём примеры базисов для каждого <tex>k</tex>:

<tex>k = 1 \Rightarrow X = \{ \downarrow \}</tex>;

<tex>k = 2 \Rightarrow X = \{ \lnot, \land \}</tex>;

<tex>k = 3 \Rightarrow X = \{ \land, \oplus, 1\}</tex>;

<tex>k = 4 \Rightarrow X = \{ 0, 1, x\land y, x\oplus y\oplus z\}</tex>;

Докажем, что последняя система является базисом:

<tex> 0 \notin T_1</tex>;

<tex> 1 \notin T_0</tex>;

<tex> x\land y \notin L\ и\ S</tex>;

<tex> x\oplus y\oplus z \notin M</tex> 

(доказывается с помощью таблицы истинности).
}}

==Источники==
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Булева_функция#Полные_системы_булевых_функций Полные системы булевых функций — Википедия]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

[[Категория: Булевы функции ]]