Участник:Flanir1 — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Find)
(Поиск)
 
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
''' 2-3 дерево ''' — структура данных, представляющая собой сбалансированное дерево поиска, такое что из каждого узла может выходить две или три ветви и глубина всех листьев одинакова. Является частным случаем [[B-дерево#B.2B-.D0.B4.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.B2.D0.BE|B+-дерева]], когда нелистовые вершины могут иметь только 2 или 3 сыновей.
+
''' 2-3 дерево ''' — структура данных, представляющая собой сбалансированное дерево поиска, такое что из каждого узла может выходить две или три ветви и глубина всех листьев одинакова. Является частным случаем [[B-дерево#B.2B-.D0.B4.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.B2.D0.BE|B+ дерева]], когда нелистовые вершины могут иметь только 2 или 3 сыновей.
 
== Свойства ==
 
== Свойства ==
 
2-3 дерево {{---}} сбалансированное дерево поиска, обладающее следующими свойствами:
 
2-3 дерево {{---}} сбалансированное дерево поиска, обладающее следующими свойствами:
 
*нелистовые вершины имеют либо 2, либо 3 сына,
 
*нелистовые вершины имеют либо 2, либо 3 сына,
*нелистовая вершина, имеющая двух сыновей, хранит максимум левого поддерева. Нелистовая вершина, имеющая трех сыновей, хранит два значения.Первое значение хранит максимум левого поддерева, второе максимум центрального поддерева,
+
*нелистовая вершина, имеющая двух сыновей, хранит максимум левого поддерева. Нелистовая вершина, имеющая трех сыновей, хранит два значения. Первое значение хранит максимум левого поддерева, второе максимум центрального поддерева,
 
*сыновья упорядочены по значению максимума поддерева сына,
 
*сыновья упорядочены по значению максимума поддерева сына,
 
*все листья лежат на одной глубине,
 
*все листья лежат на одной глубине,
 
*Высота 2-3 дерева <tex>O(\log{n})</tex>, где <tex> n </tex> - количество элементов в дереве.
 
*Высота 2-3 дерева <tex>O(\log{n})</tex>, где <tex> n </tex> - количество элементов в дереве.
  
 
{{Теорема
 
|statement=  Высота 2-3 дерева <tex>O(\log{n})</tex>, где <tex> n </tex> - количество элементов в дереве.
 
|proof=
 
Из построения следует, что все листья лежат на одной глубине, так как элементов <tex>n</tex>, то получаем что высота равна <tex>O(\log{n})</tex>
 
}}
 
 
== Операции ==
 
== Операции ==
 
Введем следующие обозначения:
 
Введем следующие обозначения:
*<tex>\mathtt{root}</tex> - корень 2-3 дерева
+
*<tex>\mathtt{root}</tex> {{---}} корень 2-3 дерева.
 
Каждый узел дерева обладает полями:
 
Каждый узел дерева обладает полями:
*<tex>\mathtt{parent}</tex> - родитель узла,
+
*<tex>\mathtt{parent}</tex> {{---}} родитель узла,
*<tex>\mathtt{sons}</tex> - сыновья узла,  
+
*<tex>\mathtt{sons}</tex> {{---}} сыновья узла,  
*<tex>\mathtt{keys}</tex> - ключи узла,  
+
*<tex>\mathtt{keys}</tex> {{---}} ключи узла,  
*<tex>\mathtt{length}</tex> - количество сыновей.
+
*<tex>\mathtt{length}</tex> {{---}} количество сыновей.
 
=== Поиск ===
 
=== Поиск ===
*<tex>x</tex> - искомое значение.
+
*<tex>x</tex> {{---}} искомое значение,
*<tex>t</tex> - текущая вершина в дереве. Изначально <tex>t = \mathtt{root}</tex>
+
*<tex>t</tex> {{---}} текущая вершина в дереве. Изначально <tex>t = \mathtt{root}</tex>.
Будем просматривать ключи в узлах, пока узел не является листом.Рассмотрим два случая:
+
Будем просматривать ключи в узлах, пока узел не является листом. Рассмотрим два случая:
 
1)у текущей вершины два сына. Если её значение меньше <tex>x</tex>, то <tex>t = \mathtt{t.sons[1]}</tex>, иначе <tex>t = \mathtt{t.sons[0]}</tex>.
 
1)у текущей вершины два сына. Если её значение меньше <tex>x</tex>, то <tex>t = \mathtt{t.sons[1]}</tex>, иначе <tex>t = \mathtt{t.sons[0]}</tex>.
  
Строка 45: Строка 39:
 
         '''else''' t = t.sons[0]
 
         '''else''' t = t.sons[0]
 
   '''return''' t
 
   '''return''' t
Пример поиска в 2-3 дереве, так как элемент 6 существует, то был возвращен корректный узел, так как элемента 10 нет, возвращается некорректный узел. На основе этого можно сделать метод <tex>\mathtt{exist}</tex>, проверяющий наличии элемента в дереве
+
Пример поиска в 2-3 дереве, так как элемент 6 существует, то был возвращен корректный узел, так как элемента 10 нет, возвращается некорректный узел. На основе этого можно сделать метод <tex>\mathtt{exist}</tex>, проверяющий наличии элемента в дереве.
  
 
[[Файл:23treesearch.png|border]]
 
[[Файл:23treesearch.png|border]]
  
 
=== Вставка элемента ===
 
=== Вставка элемента ===
*<tex>x</tex> - добавляемое значение.
+
*<tex>x</tex> {{---}} добавляемое значение,
*<tex>t</tex> - текущая вершина в дереве. Изначально <tex>t = \mathtt{root}</tex>
+
*<tex>t</tex> {{---}} текущая вершина в дереве. Изначально <tex>t = \mathtt{root}</tex>.
 
Если корня не существует {{---}} дерево пустое, то новый элемент и будет корнем (одновременно и листом). Иначе поступим следующим образом:
 
Если корня не существует {{---}} дерево пустое, то новый элемент и будет корнем (одновременно и листом). Иначе поступим следующим образом:
  
Найдем сперва, где бы находился элемент, применив search(x). Далее проверим есть ли у этого узла родитель, если его нет, то в дереве всего один элемент - лист. Возьмем этот лист и новый узел, и создадим для них родителя, лист и новый узел расположим в порядке возрастания.
+
Найдем сперва, где бы находился элемент, применив search(x). Далее проверим есть ли у этого узла родитель, если его нет, то в дереве всего один элемент {{---}} лист. Возьмем этот лист и новый узел, и создадим для них родителя, лист и новый узел расположим в порядке возрастания.
  
Если родитель существует, то подвесим к нему ещё одного сына. Если сыновей стало 4, то разделим родителя на два узла, и повторим разделение теперь для его родителя(перед разделением обновим ключи).
+
Если родитель существует, то подвесим к нему ещё одного сына. Если сыновей стало 4, то разделим родителя на два узла, и повторим разделение теперь для его родителя (перед разделением обновим ключи).
  
 
  splitParent('''Node''' t):
 
  splitParent('''Node''' t):
Строка 117: Строка 111:
 
   split(n)
 
   split(n)
 
  updateKeys(n)  
 
  updateKeys(n)  
Так как мы спускаемся один раз, и поднимаемся вверх при расщеплении родителей не более одного раза, то <tex>\mathtt{insert}</tex> работает за <tex>O(\log{n})</tex>Примеры добавления:
+
Так как мы спускаемся один раз, и поднимаемся вверх при расщеплении родителей не более одного раза, то <tex>\mathtt{insert}</tex> работает за <tex>O(\log{n})</tex>.
  
[[Файл:23treeinsert.png|border]]
+
Примеры добавления:
  
[[Файл:23treeinsert2.png|1150px|border]]
+
[[Файл:23treeinsert.png|border|600px]]
 +
 
 +
[[Файл:23treeinsert2.png|800px|border]]
 +
 
 +
[[Файл:23treeinsert3.png|800px|border]]
  
 
=== Удаление элемента ===
 
=== Удаление элемента ===
 
*<tex>x</tex> {{---}} значение удаляемого узла,
 
*<tex>x</tex> {{---}} значение удаляемого узла,
 
*<tex>t</tex> {{---}} текущий узел.
 
*<tex>t</tex> {{---}} текущий узел.
Пусть изначально <tex>t = \mathtt{search(x)}</tex>{{---}} узел, где находится x.
+
Пусть изначально <tex>t = \mathtt{search(x)}</tex> {{---}} узел, где находится x.
  
 
Если у <tex>t</tex> не существует родителя, то это корень. Удалим его.
 
Если у <tex>t</tex> не существует родителя, то это корень. Удалим его.
Строка 139: Строка 137:
 
*<tex>t</tex> {{---}} текущий узел.
 
*<tex>t</tex> {{---}} текущий узел.
 
В силу того, что наши узлы отсортированы по максимуму в поддереве, то следующий объект это соседний лист справа. Попасть туда можно следующим образом:
 
В силу того, что наши узлы отсортированы по максимуму в поддереве, то следующий объект это соседний лист справа. Попасть туда можно следующим образом:
Будем подниматься вверх, пока у нас не появится первой возможности свернуть направо вниз. Как только мы свернули направо вниз, будем идти всегда налево. Таким образом мы окажемся в соседнем листе. Если мы не смогли ни разу свернуть направо вниз, и пришли в корень, то следующего объекта не существует. Симметрично разбирается и случай с предыдущим.
+
будем подниматься вверх, пока у нас не появится первой возможности свернуть направо вниз. Как только мы свернули направо вниз, будем идти всегда влево. Таким образом, мы окажемся в соседнем листе. Если мы не смогли ни разу свернуть направо вниз, и пришли в корень, то следующего объекта не существует. Случай с предыдущим симметричен.
 
   Node next('''int x''')
 
   Node next('''int x''')
 
   Node t = search(x)
 
   Node t = search(x)
Строка 160: Строка 158:
 
*<tex>\mathtt{left}</tex> - левый лист.
 
*<tex>\mathtt{left}</tex> - левый лист.
 
Доработаем добавление. Когда мы уже добавили элемент и обновили ключи, найдем для него следующий, и запишем на него ссылку в <tex>\mathtt{right}</tex>, найдем предыдущий и запишем на него ссылку в <tex>\mathtt{left}</tex>,так же и его соседям укажем ссылка на него.
 
Доработаем добавление. Когда мы уже добавили элемент и обновили ключи, найдем для него следующий, и запишем на него ссылку в <tex>\mathtt{right}</tex>, найдем предыдущий и запишем на него ссылку в <tex>\mathtt{left}</tex>,так же и его соседям укажем ссылка на него.
 +
 
Доработаем удаление. При удалении элемента, мы просто связываем его соседей за <tex>O(1)</tex>.
 
Доработаем удаление. При удалении элемента, мы просто связываем его соседей за <tex>O(1)</tex>.
  
 
[[Файл:23treefind.png|border]]
 
[[Файл:23treefind.png|border]]
  
== Cсылки ==
+
== Источники информации ==
* [http://is.ifmo.ru/vis/tree23/tree23_ru.html is.ifmo.ru - Визуализатор 2-3 дерева — 1]
+
* [http://is.ifmo.ru/vis/tree23/tree23_ru.html is.ifmo.ru {{---}} Визуализатор 2-3 дерева]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/2-3-2002 rain.ifmo.ru - Визуализатор 2-3 дерева — 2]
+
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/2-3-2002 rain.ifmo.ru {{---}} Визуализатор 2-3 дерева]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/2-3-дерево Википедия 2-3 дерево]
+
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/2-3-дерево Википедия {{---}} 2-3 дерево]
 
* Д. Кнут «Искусство программирования. Сортировка и поиск», часть 6.2.4
 
* Д. Кнут «Искусство программирования. Сортировка и поиск», часть 6.2.4
 +
 
== См. также ==
 
== См. также ==
 
* [[B-дерево]]
 
* [[B-дерево]]

Текущая версия на 18:16, 10 мая 2015

2-3 дерево — структура данных, представляющая собой сбалансированное дерево поиска, такое что из каждого узла может выходить две или три ветви и глубина всех листьев одинакова. Является частным случаем B+ дерева, когда нелистовые вершины могут иметь только 2 или 3 сыновей.

Свойства

2-3 дерево — сбалансированное дерево поиска, обладающее следующими свойствами:

  • нелистовые вершины имеют либо 2, либо 3 сына,
  • нелистовая вершина, имеющая двух сыновей, хранит максимум левого поддерева. Нелистовая вершина, имеющая трех сыновей, хранит два значения. Первое значение хранит максимум левого поддерева, второе максимум центрального поддерева,
  • сыновья упорядочены по значению максимума поддерева сына,
  • все листья лежат на одной глубине,
  • Высота 2-3 дерева [math]O(\log{n})[/math], где [math] n [/math] - количество элементов в дереве.

Операции

Введем следующие обозначения:

  • [math]\mathtt{root}[/math] — корень 2-3 дерева.

Каждый узел дерева обладает полями:

  • [math]\mathtt{parent}[/math] — родитель узла,
  • [math]\mathtt{sons}[/math] — сыновья узла,
  • [math]\mathtt{keys}[/math] — ключи узла,
  • [math]\mathtt{length}[/math] — количество сыновей.

Поиск

  • [math]x[/math] — искомое значение,
  • [math]t[/math] — текущая вершина в дереве. Изначально [math]t = \mathtt{root}[/math].

Будем просматривать ключи в узлах, пока узел не является листом. Рассмотрим два случая: 1)у текущей вершины два сына. Если её значение меньше [math]x[/math], то [math]t = \mathtt{t.sons[1]}[/math], иначе [math]t = \mathtt{t.sons[0]}[/math].

2)у текущей вершины три сына. Если второе значение меньше [math]x[/math], то [math]t = \mathtt{t.sons[2]}[/math]. Если первое значение меньше [math]x[/math], то [math]t = \mathtt{t.sons[1]}[/math], иначе [math]t = \mathtt{t.sons[0]}[/math].

Node search(int x):
  Node t = root
  while (t не является листом)
    if (t.length == 2)
      if (t.keys[0] < x)
        t = t.sons[1]
      else t = t.sons[0]
    else
      if (t.keys[1] < x)
        t = t.sons[2]
      else
        if (t.keys[0] < x)
          t = t.sons[1]
        else t = t.sons[0]
  return t

Пример поиска в 2-3 дереве, так как элемент 6 существует, то был возвращен корректный узел, так как элемента 10 нет, возвращается некорректный узел. На основе этого можно сделать метод [math]\mathtt{exist}[/math], проверяющий наличии элемента в дереве.

23treesearch.png

Вставка элемента

  • [math]x[/math] — добавляемое значение,
  • [math]t[/math] — текущая вершина в дереве. Изначально [math]t = \mathtt{root}[/math].

Если корня не существует — дерево пустое, то новый элемент и будет корнем (одновременно и листом). Иначе поступим следующим образом:

Найдем сперва, где бы находился элемент, применив search(x). Далее проверим есть ли у этого узла родитель, если его нет, то в дереве всего один элемент — лист. Возьмем этот лист и новый узел, и создадим для них родителя, лист и новый узел расположим в порядке возрастания.

Если родитель существует, то подвесим к нему ещё одного сына. Если сыновей стало 4, то разделим родителя на два узла, и повторим разделение теперь для его родителя (перед разделением обновим ключи).

splitParent(Node t):
 if (t.length > 3) 
    Node a;
    a.sons[0] = t.sons[2]
    a.sons[1] = t.sons[3]
    t.sons[2].parent = a
    t.sons[3].parent = a
    a.keys[0] = t.keys[2]
    a.length = 2
    t.length = 2
    t.sons[2] = null
    t.sons[3] = null
    if (t.parent != null)
      t.parent[t.length] = a
      t.length++
      сортируем сыновей у t.parent
      splitParent(t.parent)
    else                   //мы расщепили корень, надо подвесить его к общему родителю, который будет новым корнем
     Node t = root
     root.sons[0] = t
     root.sons[1] = a
     t.parent = root
     a.parent = root
     root.length = 2
     сортируем сыновей у root

Если сыновей стало 3, то ничего не делаем. Далее необходимо восстановить ключи на пути от новой вершины до корня:

updateKeys(Node t): 
  Node a = t.parent
  while (a != null)
   for i = 0 .. a.length - 1
     a.keys[i] = max(a.sons[i]) //max - возвращает максимальное значение в поддереве.
   a = a.parent                 //Примечание: max легко находить, если хранить максимум 
                                //правого поддерева в каждом узле — это значение и будет max(a.sons[i])

[math]\mathtt{updateKeys}[/math] необходимо запускать от нового узла. Добавление элемента:

insert(int x):
Node n = Node(x)
if (root == null) 
 root = n
 return
Node a = search(x)
if (a.parent == null) 
  Node t = root
  root.sons[0] = t
  root.sons[1] = n
  t.parent = root
  n.parent = root
  root.length = 2
  сортируем сыновей у root
else 
  Node p = a.parent
  p.sons[p.length] = n
  p.length++
  n.parent = p
  сортируем сыновей у p
  updateKeys(n) 
  split(n)
updateKeys(n) 

Так как мы спускаемся один раз, и поднимаемся вверх при расщеплении родителей не более одного раза, то [math]\mathtt{insert}[/math] работает за [math]O(\log{n})[/math].

Примеры добавления:

23treeinsert.png

23treeinsert2.png

23treeinsert3.png

Удаление элемента

  • [math]x[/math] — значение удаляемого узла,
  • [math]t[/math] — текущий узел.

Пусть изначально [math]t = \mathtt{search(x)}[/math] — узел, где находится x.

Если у [math]t[/math] не существует родителя, то это корень. Удалим его.

Если у [math]t[/math] существует родитель, и у него 3 сына, то просто удалим t. Обновим ключи, запустив [math]\mathtt{updateKeys}[/math] от любого брата [math]t[/math].

Если у родителя([math]\mathtt{t.parent}[/math]) 2 сына, то удалим [math]t[/math], а его брата([math]b[/math] перецепим к родителю соседнего листа(обозначим его за [math]p[/math]). Вызовем [math]updateKey(b)[/math] и [math]splitParent(p)[/math], так как у [math]p[/math] могло оказаться 4 сына. Удалим теперь и [math]\mathtt{t.parent}[/math]. После возврата из рекурсии обновим все ключи с помощью [math]\mathtt{updateKeys()}[/math], запустившись от [math]b[/math]. Treedelete.png

Следующий и предыдущий

  • [math]x[/math] — поисковый параметр,
  • [math]t[/math] — текущий узел.

В силу того, что наши узлы отсортированы по максимуму в поддереве, то следующий объект это соседний лист справа. Попасть туда можно следующим образом: будем подниматься вверх, пока у нас не появится первой возможности свернуть направо вниз. Как только мы свернули направо вниз, будем идти всегда влево. Таким образом, мы окажемся в соседнем листе. Если мы не смогли ни разу свернуть направо вниз, и пришли в корень, то следующего объекта не существует. Случай с предыдущим симметричен.

 Node next(int x)
 Node t = search(x)
 if (t.keys[0] > x) //x не было в дереве, и мы нашли следующий сразу
   return t
 while (t != null)
   t = t.parent
   if (можно свернуть направо вниз)
    в t помещаем вершину, в которую свернули
    while (пока t — не лист)
     t = t.sons[0]
     return t
 return t;
    

Treenext.png Treeprev.png

Find

B+ деревья, поддерживают операцию [math]\mathtt{find}[/math], которая позволяет находить m следующих элементов. Так как все листья отсортированы в порядке возрастания, то просто свяжем каждый лист с соседями.

  • [math]\mathtt{right}[/math] - правый лист,
  • [math]\mathtt{left}[/math] - левый лист.

Доработаем добавление. Когда мы уже добавили элемент и обновили ключи, найдем для него следующий, и запишем на него ссылку в [math]\mathtt{right}[/math], найдем предыдущий и запишем на него ссылку в [math]\mathtt{left}[/math],так же и его соседям укажем ссылка на него.

Доработаем удаление. При удалении элемента, мы просто связываем его соседей за [math]O(1)[/math].

23treefind.png

Источники информации

См. также