Редактирование: Участник:Iloskutov/Матан 4сем

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> — суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| \le g(x)</tex><br>
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(\mathfrak B) \subset \mathfrak A</tex><br>
<tex>\nu \colon \mathfrak B \to \overline{\mathbb{R}}, \quad \nu(\mathfrak B) = \mu(\Phi^{-1}(\mathfrak B))</tex> — мера<br>
<tex>\nu</tex> — образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, ?)</tex><br>
<tex>w \geqslant 0</tex> — измеримая на <tex>X</tex> функция<br>
<tex>\Phi \colon X \to Y, \quad \Phi^{-1}(\mathfrak B) \subset \mathfrak A</tex><br>
Тогда <tex dpi=150>\nu(B) = \displaystyle\int\limits_{\Phi^{-1}(\mathfrak B)} w \,d\mu</tex> — взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> — вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) </tex><br>
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex><br>
<tex>w \geqslant 0</tex> — вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> — изм. на <tex>X</tex><br>
<tex>\nu(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex><br>
Тогда <tex>w</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu\colon \mathfrak A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности<br>
Тогда <tex>\mu</tex> — заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B \ (B \in \mathfrak A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) <br>
<tex>B \in \mathfrak A</tex> — множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, \nu \colon \mathfrak A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in \mathfrak A: \mu (a) = 0 \Rightarrow \nu (a) = 0</tex><br>
Тогда <tex>\nu</tex> — абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu)</tex><br>
<tex>X \times Y</tex> — декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b \mid a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex><br>
<tex>m \colon A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot \nu(b)</tex><br>
<tex>m</tex> — произведение мер <tex>\mu, \nu</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex><br>
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex><br>
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex><br>
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно<br>
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
  \displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
  \displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu 
\leq
  \left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
  \left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex><br>
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex><br><!--
--><tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
|proof=
}}

=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(E, \mu) \ \bigl|\  \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex><br>

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется <em>фундаментальной</em> в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
{{Определение
|definition=Ряд сходится, если существует элемент из гильбертового
пространства, являющийся пределом частичных сумм.
}}

=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{ikt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=<p>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости).<br>Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.
</p>
}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
{{Определение
|definition= Коэффициенты Фурье функции <tex>f</tex> — <tex>a_0(f), a_k(f), b_k(f), c_k(f)</tex> из формулы тригонометрического ряда.

Можно вычислить по формулам: 
<tex>
a_0 = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \,dx \\
a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \cos kx \,dx \\
b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \sin kx \,dx \\
c_k = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \exp(-ikx) \,dx </tex>
}}

=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле,<br>
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \  K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad  \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в совокупности: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===
{{Определение
|definition=<tex>\sum a_n = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n+1} \cdot \sum\limits_{k=0}^n S_k</tex>
}}

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
{{Определение
|definition=
<tex>\varphi \colon \mathbb R^2 \to M \subset \mathbb R^3</tex>.<br>

Мера в <tex>M</tex> — взвешенный образ меры Лебега в <tex>\mathbb R^2</tex> с весом <tex>|\varphi'_u \times \varphi'_v|</tex>
}}

=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в ℝ<sup>3</sup> ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
{{Определение
|definition=
<tex>
\gamma \colon [a, b] \to \mathbb R^m, \quad V = (A_1, \dotsc, A_m) \\
\displaystyle\int_\gamma A_1 \,dx_1 + \dotsb + A_m \,dx_m = \int_a^b \langle V, \gamma' \rangle \,dt
</tex>
}}

=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
{{Определение
|definition=Ориентация контура называется согласованной со стороной поверхности, если векторное произведение нормали и вектора скорости направлено внутрь контура.
}}

=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при почти всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int\limits_X \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int\limits_X U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
Пусть <tex>f_n(x) = U_1(x) + U_2(x) + \dotsb + U_n(x)</tex>, далее по т. Леви<br>
<tex>f = \lim f_n</tex><br>
<tex>0 \leqslant f_n \leqslant f_{n+1} \leqslant \dotsb</tex><br>
Тогда выражение слева от знака равенства равно <tex>\displaystyle\int\limits_X f \,d\mu</tex>, а справа — <tex> \displaystyle\lim \int\limits_X \sum_{k=1}^n U_k(x) \,d\mu = \lim_{n \to +\infty}\Bigl(\int\limits_X f_n \,d\mu\Bigr) = \int\limits_X f \,d\mu</tex>
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция<br>
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
<tex>X_n = X (|f| > n) \quad X_n \supset X_{n+1} \supset ... \quad \bigcap X_n  = e</tex>, т.к. <tex>f</tex> - суммируема, <tex>\mu e = 0</tex><br>
<tex>\nu E = \int\limits_E |f| d\mu</tex> - мера <tex>\nu</tex><br>
<tex>\nu X < + \infty</tex> (т.к. <tex>f</tex> - суммируема и <tex>\int\limits_X |f| d\mu < +\infty</tex>)<br>
Тогда по свойству непрерывности меры сверху: <tex>\nu X_n \to 0</tex><br>
Запишем данное высказывание как <tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_\epsilon : \nu(X_{n_\epsilon}) < \dfrac{\epsilon}{2}</tex>, т.е. <tex>\int\limits_{X_{n_\epsilon}} |f| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex><br>
Теперь пусть <tex>\delta := \dfrac{\epsilon}{2 \cdot n_\epsilon}</tex><br>
<tex>\int\limits_E |f| d\mu = \int\limits_{E \cap X_{n_\epsilon}} |f| d\mu + \int\limits_{E \cap X^C_{n_\epsilon}} |f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_{n_\epsilon}} |f| d\mu + \int\limits_{E \cap X^C_{n_\epsilon}} n_\epsilon d\mu \leqslant \dfrac{\epsilon}{2} + n_\epsilon \cdot \mu E < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex><br>
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex><br>
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> - суммируема, т.к. <tex>\int |f_n| \leqslant \int g < + \infty</tex><br>
<tex>f</tex> - суммируема, т.к. <tex>\exists f_{n_k} \to f</tex> почти везде, <tex> |f_{n_k}| \leqslant g \Rightarrow |f| \leqslant g</tex><br>
<tex>\int\limits_X |f_n - f| d\mu \to 0 ?</tex><br>
Рассмотрим два случая:<br>
1) <tex>\mu X < +\infty</tex><br>
Берём <tex>\epsilon > 0 \quad X_n := X (|f_n - f| > \epsilon) \quad \mu X_n \to 0</tex><br>
<tex>\int\limits_X |f_n - f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_n} |f_n - f| d\mu + \int\limits_{X^C_n} |f_n - f| d\mu</tex><br>
Для <tex>X_n</tex> выполнено <tex>|f_n - f| \leqslant |f_n| + |f| \leqslant 2 \cdot g</tex><br>
А для <tex>X^C_n</tex> выполнено <tex> |f_n - f| < \epsilon</tex><br>
Тогда <tex>\int\limits_{X_n} |f_n - f| d\mu + \int\limits_{X^C_n} |f_n - f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_n} 2 \cdot g d\mu + \int\limits_{X^C_n} \epsilon d\mu \leqslant 2 \cdot \int\limits_{X_n} g + \epsilon \cdot \mu X \leqslant \epsilon \cdot (2 + \mu X)</tex><br>
Получили <tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N: \forall n > N \quad \int\limits_X |f_n - f| d\mu < \epsilon \cdot (2 + \mu X)</tex><br>
Осталось найти номер <tex>N</tex>. Нужно взять такой, чтобы <tex>\mu X_n < \delta</tex>.<br>
2) <tex>\mu X = +\infty</tex><br>
TBD
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n \colon X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде <br>
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex><br>
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\displaystyle\int |f-f_n|d\mu \to 0, \int_X f_n \to \int_X f</tex>
|proof=
Легко видеть, что <tex>f, f_n</tex> — суммируемые.<br>
<tex>
h_n := \sup(|f_n - f|, |f_{n+1} - f|, \dotsc) \\
h_n \geqslant h_{n+1} \geqslant \dotsb; \qquad |f_n - f| \leqslant 2g \Rightarrow h_n \leqslant 2g
</tex>

Кстати, <tex>\lim h_n = \varlimsup |f_n - f| = 0</tex> при п.в. <tex>x</tex>.

Рассмотрим ф-ии <tex>2g - h_n \geqslant 0</tex> — возр.
: <tex>\lim \displaystyle\int_X (2g - h_n) = \int_X \lim(2g - h_n) = 2 \int_X g</tex>
С другой стороны,
: <tex>\lim \displaystyle\int_X (2g - h_n) = \lim\biggl(2 \int_X g - \int_X h_n\biggr) \Rightarrow \int_X h_n \to 0 \Rightarrow \int_X |f_n - f| \leqslant \int_X h_n</tex>
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C > 0: \forall n \displaystyle\int_X {f_n \;d\mu} \leqslant C</tex><br>
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu \leqslant C</tex>
|proof=
<tex dpi=150>
g_n = \inf(f_n, f_{n+1}, \dotsc)\\
g_n(x) \leqslant g_{n+1}(x) \leqslant \dotsb \quad \lim g_n = \varliminf f_n = f\\
\displaystyle\int g_n \leqslant \int f_n \leqslant C\\
\int f \;d\mu = \lim_{n \to +\infty} \int g_n \leqslant C
</tex>
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия:<br>
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <br> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> <br> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
Рассмотрим <tex>f_n(x) = f(x, y_n)</tex>, где <tex>y_n \rightarrow y_0, y_n \in (Y \cap U) \setminus \{a\}</tex>.
Применим теорему Лебега для <tex>f_n</tex>.
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток<br>

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex><br>Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
Пусть <tex>x \in X, y_0 + h \in Y, h \not = 0</tex><br>
<tex>F(x, h) = \frac{f(x, y_0 + h) - f(x, y_0)}{h}</tex> <br>
Т.к. <tex>\frac{I(y_0 + h) - I(y_0)}{h} = \int\limits_X \frac{f(x, y_0 + h) - f(x, y_0)}{h} d\mu(x) = \int\limits_X F(x, h) d\mu(x)</tex>, то при <tex>h \rightarrow 0</tex> сразу будет следовать теорема. Для доказательства законности этого перехода докажем, что <tex>F</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в <tex>h = 0</tex>:

<tex>f'_y</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}</tex>, поэтому найдутся такие <tex>\delta</tex> и <tex>g</tex>, что <tex>|f'_y(x, y)| \leq g(x)</tex> при почти всех <tex>x</tex> и при <tex>y \in Y, 0 < |y - y_0| < \delta</tex>.

Теорема Лагранжа о среднем применённая к <tex>y \rightarrow f(x, y)</tex> на <tex>(y_0, y_0 + h)</tex> даст <tex>F(x, h) = f'_y(x, y_0 + \theta h)</tex>. Поэтому <tex>F(x, h) \leq g(x)</tex>.
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x}  = \dfrac{\pi}{2} \cdot \operatorname{sgn}(\alpha)</tex>
|proof=
Можно, например, [[wikipedia:Dirichlet integral#Via the Dirichlet kernel|вот так]].
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex><br>
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция<br>
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex><br>
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес<br>
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
Это очевидно верно, если <tex>f -</tex> характеристическая функция. По линейности интеграла это также верно и для простой неотрицательной <tex>f</tex>.

Для произвольной неотрицательной <tex>f</tex> рассмотрим последовательность простых неотрицательных функций <tex>f_n</tex> и по теореме Леви (предельный переход) теорем доказана для неотрицательных <tex>f</tex>.

Для отрицательных там надо что-то ещё сделать))))
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex><br>
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
<tex>\Rightarrow)</tex> Очевидно<br>
<tex>\Leftarrow)</tex> Пусть <tex>w > 0</tex> (без потери общности)<br>
<tex>A = \bigcup\limits_{k \in \mathbb{Z}} A_k (q^k \leqslant w \leqslant q^{k-1}) \quad q \in (0, 1)</tex><br>
<tex>q^k \cdot \mu A_k \leqslant \nu (A_k) \leqslant q^{k-1} \cdot \mu A_k</tex><br>
<tex>q^k \cdot \mu A_k \leqslant \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant q^{k-1} \cdot \mu A_k</tex><br>
<tex>q \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant q^k \cdot \mu A_k \leqslant \nu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot q^k \cdot \mu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu</tex><br>
<tex>q \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant \nu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu</tex><br>
<tex>q \to 1-0</tex><br>
<tex>\nu(A) = \int\limits_{A} w d\mu</tex>
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad A \in \mathfrak A, \quad \mu A \geqslant 0</tex><br>
Тогда <tex>\exists B \subset A</tex> — множество положительности: <tex>\mu(B) \geqslant \mu(A)</tex> 
|proof=
<div style="margin-left: 1em">
{{Определение
  |definition=<tex>C</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности,если <tex>\forall B \subset C \quad \mu B \geqslant -\varepsilon</tex>
}}
{{Утверждение
  |statement= <tex>\forall \varepsilon > 0 \ A</tex> содержит мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности.
  |proof=
#<tex>A</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности — очевидно
#<tex>A</tex> не явл. мн-вом <tex>\varepsilon</tex>-положительности: <tex>\exists B_1 \subset A : \mu B_1 < -\varepsilon</tex><br><!--
--><tex>C_1 := A \setminus B_1 \Rightarrow \mu C_1 > \mu A</tex>
##<tex>C_1</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности — ОК
##Иначе <tex>\exists B_2 \subset C_1 : \mu B_2 < -\varepsilon \quad C_2 := C_1 \setminus B_2 \quad \mu C_2 > \mu C_1</tex>
#Продолжаем в том же духе — и рано или поздно приходим к успеху, т.к. иначе <tex>\mu \left( \bigcup B_i \right) = -\infty</tex>
 }}</div>

<tex>C_1 \subset A</tex> — мн-во 1-положительности: &nbsp; <tex>\mu C_1 \geqslant \mu A</tex><br>
<tex>C_2 \subset C_1</tex> — мн-во <tex>1/2</tex>-положительности: &nbsp; <tex>\mu C_2 \geqslant \mu C_1</tex><br>
<tex>\vdots</tex><br>
<tex>C_n \subset C_{n-1}</tex> — мн-во <tex>1/n</tex>-положительности: &nbsp; <tex>\mu C_n \geqslant \mu C_{n-1}</tex><br>
Пусть <tex>B = \bigcap C_i</tex><br>
<tex>\mu B = \lim\limits_{i \to +\infty} \mu C_i \geqslant \mu A</tex>
}}

=== Теорема Радона — Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
==== Единственность ====
<div style="margin-left: 1em">
  {{Лемма
  |statement=Если <tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex> и <tex>\displaystyle \forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>, то <tex>f = g</tex> п.в.
  |proof=
<tex>h := f - g</tex>.

<tex>
\forall A \in \mathfrak A \quad \displaystyle\int_A h \,d\mu = 0 \\ \\
X = X(h \geqslant 0) \cup X(h < 0) \\ \\
\int\limits_{h \geqslant 0} h \,d\mu = 0, \quad \int\limits_{h < 0} h \,d\mu = 0
</tex><br>
Легко видеть, что <tex>\displaystyle\int_X |h| \,d\mu = 0 \ \Rightarrow h = 0</tex>&nbsp;п.в.
  }}
</div>
<h4>Существование</h4> <!-- мда чёт ==== не работают нифига((99 -->
TBD
}}

=== Теорема Радона--Никодима. Доказательство существования ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex><br>
Пусть <tex>c > |\det \varphi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex><br>
Тогда <tex>\exists U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \subset U(A), a \in Q</tex><br>
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi \colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм<br>
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |\det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\varphi\colon O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм<br>
Пусть <tex>O_1 := \varphi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex><br>
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \varphi)(x) \cdot |\det \varphi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu \times \nu</tex><br>
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B}</tex><br>
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \mapsto \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex><br>
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex><br>
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> — сигма-конечные, полные; <tex>m = \mu \times \nu</tex><br>
<tex>f \colon X \times Y \to \overline{\mathbb{R}}</tex> — <tex>m</tex>-сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \mapsto q(x) = \int f_x \,d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f \,d\nu = \int q \,d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
<tex>f = f_+ - f_- \quad \int\limits_{X \times Y} f_\pm \,dm</tex> — кон.<br>
<tex>\displaystyle\int_{X \times Y} f \,dm = \int_{X \times Y} f_+ \,dm - \int_{X \times Y} f_- \,dm</tex><br>
<tex>\displaystyle\int(f_x)_+ , \int(f_x)_-</tex> — кон. при п.в. <tex>x</tex><br>
Т.к. <tex>f_+ \geqslant 0 \Rightarrow \displaystyle\int_X \left( \int_Y (f_x)_+ \,d\nu \right) d\mu</tex> — кон. <tex> \Rightarrow \displaystyle\int_Y (f_x)_+\,d\nu</tex> — кон. при п.в. <tex>x</tex>

<tex>
\varphi(x)_+ = \displaystyle\int_Y (f_x)_+ \,d\nu \\
\varphi(x) = \displaystyle\int_Y (f_x)_+ \,d\nu - \displaystyle\int_Y (f_x)_- \,d\nu \\
\int_X |\varphi(x)| \,d\mu = {} \\
{} = \int_X \left| \int_Y (f_x)_+ - \int_Y (f_x)_- \right| \,d\mu \leqslant \int_X \left( \left| \int_Y (f_x)_+ \right| - \left|\int_Y (f_x)_-\right| \right) \,d\mu \\
\int\limits_{X \times Y} f \,dm = \left(\int\limits_{X \times Y} f_+ \right) - \left(\int\limits_{X \times Y} f_- \right) = \int\limits_X \int\limits_Y f_+ - \int\limits_X \int\limits_Y f_- = {} \\
{} = \int\limits_X \left(\int\limits_Y f_+ - \int\limits_Y f_- \right) = \int\limits_X \int\limits_Y f
</tex>
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex><br>
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля — Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> — измерима, почти везде конечна<br>
<tex>H</tex> — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex><br>
<tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex><br>
<tex>\mu_H</tex> — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex><br>
Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex><br>
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h < b - \dfrac1n\right)</tex><br>
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h < b - \dfrac1n\right) = \mu X(h<b)</tex> &nbsp; <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h < b - \dfrac1n\right) = X(h<b)\right)</tex><br>
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex>&nbsp;<tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
}}


{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex><br>
Остальное из прошлой леммы<br>
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r</tex>
|proof=
# Напрямую следует из 2
# Пусть<br><!--
--><tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex><br><!--
--><tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex><p><!--
-->Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant \left(\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}}\right)^\frac{s}{r} \cdot \left(\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}}\right)^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \cdot (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (по Гёльдеру)</p>
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex><br>
Строим кандидата на роль предела:<br>
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
     \varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
     \varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex><br>

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex><br>

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex><br>

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex><br>

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex><br>
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex><br>
<br>
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема<br>
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>.<br>
<br>
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex><br>
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex><br>
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна<br>
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex><br>
<br>
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex><br>
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex><br>
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex><br>
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex><br>
<br>
По теореме Фату:<br>
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая &nbsp;<tex dpi=160>{} = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times \chi_{E_k}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
#  <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\,sup} |f| < +\infty</tex><br><!--
-->Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex><br><!--
--><tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\,sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
#  <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия?<br><!--
--><tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex><br><!--
--><tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex><br><!--
--><tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex><br>
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>.<br>
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex><br>
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex><br>
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex><br>
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{x \in G_\alpha \mid \alpha</tex> — дв. рац. <tex> \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.  &nbsp;&nbsp;<tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \!\!\!\!\!\!\displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}}\!\!\!\!\!\! G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof= 
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex><br> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса — Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in  \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана — Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \subset \mathbb{R}</tex> — измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex><br>

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex><br>

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex><br>

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex><br>
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex><br>
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex><br>
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex><br>
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е.<br>
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> <br>
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex dpi=150>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>
<tex dpi=150>
\left|\dfrac{\sum_{k=0}^n S_k}{n+1} - S\right| = \left|\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}\right| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}\\
\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\varepsilon}{2} \\
\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \varepsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей.<br>
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле.<br>
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P \,dx + Q \,dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx\, dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая,<br>
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex><br>
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса — Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
<tex>D \subset \mathbb R^3 \quad \partial D</tex> — ориент. полем внешних нормалей,<br>
<tex>(P, Q, R)</tex> — гл. век. поле в <tex>D</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\iint\limits_{\partial D} P \,dy\,dz + Q \,dz\,dx + R \,dx\,dy = \iiint\limits_D (P'_x + Q'_y + R'_z)\,dx\,dy\,dz</tex>
|proof=
}}

=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}